عدد ترازو با فروبردن جسم در آب، اگر جسم از تکیه‌گاهی مستقل آویزان باشد، به اندازه نیروی شناوری افزایش می‌یابد؛ هم‌زمان عدد نیروسنجِ آویز به همان اندازه کم می‌شود. شرط این نتیجه، سکون، نبود سرریز و تماس‌نداشتن جسم با کف یا دیواره است. علت افزایش عدد ترازو، نیروی رو به پایینی است که جسم در واکنش به شناوری بر آب وارد می‌کند. در مسئله این صفحه، از افزایش خوانده ظرف از ۲۰ به ۲۲ نیوتن و خوانده ۳٫۴ نیوتنی آویز، حجم ۲۰۰ سانتی‌متر مکعب و چگالی ۲۷۰۰ کیلوگرم بر متر مکعب را به دست می‌آوریم.
صورت مسئله و فرض‌های مدل را مشخص کن
ظرفی حاوی آب روی ترازو قرار دارد و خوانده آن پیش از ورود جسم N₀ = 20 N است. جسمی جامد و نفوذناپذیر را با نخ نازک از یک نیروسنج آویزان می‌کنیم؛ پایه نیروسنج روی میز جداگانه است و هیچ بخشی از آن به ترازو یا ظرف تکیه ندارد. پس از غوطه‌وری کامل جسم و رسیدن به سکون، ترازوی ظرف N₁ = 22 N و نیروسنج آویز T = 3.4 N نشان می‌دهند. حجم، جرم، چگالی جسم و خوانده نیروسنج در هوا را پیدا کن.
جسم با کف و دیواره تماس ندارد، آب سرریز نمی‌شود و جسم آب جذب نمی‌کند. حجم و وزن نخ، شناوری هوا و اثر کشش سطحی بر نخ را ناچیز می‌گیریم. چگالی آب ρwater = 1000 kg/m³ و g = 10 N/kg است. همه خوانده‌های داده‌شده نیروی اندازه‌گیری‌شده بر حسب نیوتن‌اند، نه جرم بر حسب کیلوگرم.
این یک مسئله تألیفی با داده‌های آموزشی است، نه نقل سؤال یک آزمون. آرایش دو ابزار، مشابه نمایش آموزشی دانشگاه اورگن است که خوانده نیروسنج جسم و ترازوی ظرف را پیش و پس از فروبردن جسم مقایسه می‌کند.
- داده‌ها: N₀ = 20 N، N₁ = 22 N، T = 3.4 N
- مجهول‌ها: B، V، m، ρobject و خوانده آویز در هوا
- قید تعیین‌کننده: تکیه‌گاه آویز خارج از ترازوی ظرف است.
عدد ترازو با فروبردن جسم در آب را با دو دستگاه تحلیل کن
ابتدا فقط جسم را دستگاه بگیر و بالا را مثبت انتخاب کن. وزن mg رو به پایین است؛ کشش نخ T و شناوری B رو به بالا هستند. چون جسم ساکن است، T + B − mg = 0. نیروسنج کشش T را می‌خواند و لازم نیست تمام وزن واقعی جسم را تحمل کند.
اکنون دستگاه را «ظرف و آب» بگیر. وزن این مجموعه W₀ = N₀ رو به پایین و نیروی ترازو N₁ رو به بالاست. آب جسم را با نیروی B بالا می‌راند؛ طبق قانون سوم نیوتن، جسم نیز آب را با نیروی هم‌اندازه B به پایین می‌راند. بنابراین N₁ − W₀ − B = 0 و با جایگذاری W₀ = N₀، افزایش خوانده ظرف ΔN = N₁ − N₀ = B می‌شود.
دو نیروی کنش و واکنش شناوری را روی یک جسم رسم نکن: یکی بر جسم و دیگری بر آب وارد می‌شود. این تفکیک دستگاه، همان نکته‌ای است که اجازه می‌دهد از عدد ترازوی زیر ظرف، نیروی وارد بر جسم آویزان را پیدا کنیم.
گام اول: شناوری را از افزایش خوانده ظرف به دست آور
از معادله ظرف و آب داریم B = N₁ − N₀ = 22 − 20 = 2 N. پاسخ مثبت است: جسم آب را به پایین می‌فشارد و ترازو باید ۲ نیوتن نیروی بیشتری به مجموعه ظرف و آب وارد کند. با وجود نداشتن تماس مستقیم جسم و ظرف، نیرو از راه آب منتقل شده است.
تمام وزن جسم به ترازو منتقل نشده؛ بخشی از آن را هنوز تکیه‌گاه خارجی تحمل می‌کند. همچنین افزایش عدد ترازو به معنی اضافه‌شدن ۲ نیوتن وزن آب نیست: مقدار آب ثابت است و یک نیروی خارجی تازه بر دستگاه ظرف و آب وارد شده است.
گام دوم: حجم را با اصل ارشمیدس و تبدیل واحد حساب کن
چون جسم کاملاً غوطه‌ور و نفوذناپذیر است، حجم آب جابه‌جاشده با حجم خارجی جسم برابر است. از B = ρwater gV می‌نویسیم V = B/(ρwater g) = 2/(1000×10) = 2×10⁻⁴ m³. در این رابطه چگالی آب را وارد کردیم؛ چگالی جسم هنوز مجهول است.
هر متر مکعب برابر 10⁶ سانتی‌متر مکعب است؛ پس V = 2×10⁻⁴×10⁶ = 200 cm³. کنترل واحد نیز روشن است: N ÷ [(kg/m³)(N/kg)] = m³. اگر فقط بخشی از جسم در آب فرورفته بود، همین روش فقط حجم غوطه‌ور را می‌داد و برای محاسبه چگالی کل کافی نبود.
گام سوم: جرم، چگالی و خوانده آویز در هوا را پیدا کن
به معادله خود جسم برگرد: mg = T + B = 3.4 + 2 = 5.4 N. بنابراین جرم m = 5.4/10 = 0.54 kg است. تقسیم T بر g، فقط 0.34 kg می‌دهد و جرم واقعی جسم نیست؛ این خطا سهم حمایتی آب را حذف می‌کند.
اکنون چگالی متوسط جسم ρobject = m/V = 0.54/(2×10⁻⁴) = 2700 kg/m³، یعنی 2.7 g/cm³ است. اگر جسم را از آب بیرون بیاوریم و پس از جداشدن قطره‌های چسبیده، ساکن نگه داریم، با صرف‌نظر از شناوری هوا نیروسنج 5.4 N نشان می‌دهد. پس کاهش خوانده آویز در آب 5.4 − 3.4 = 2 N است؛ دقیقاً برابر افزایش خوانده ظرف.
- شناوری: 2 N
- حجم: 2×10⁻⁴ m³ = 200 cm³
- جرم: 0.54 kg
- چگالی: 2700 kg/m³ = 2.7 g/cm³
- خوانده نیروسنج در هوا: 5.4 N
جواب را با جمع نیروها و معقول‌بودن چگالی کنترل کن
یک کنترل مستقل، انتخاب دستگاه بزرگ‌تر «ظرف، آب و جسم» است. در این دستگاه شناوری و واکنش آن داخلی‌اند؛ نیروهای حمایتی خارجی N₁ و T هستند. بنابراین باید N₁ + T = N₀ + mg باشد. با عددها، 22 + 3.4 = 20 + 5.4 = 25.4 N؛ پس تعادل کل نیز برقرار است.
چگالی به‌دست‌آمده از آب بیشتر است و B = 2 N از mg = 5.4 N کمتر است؛ پس نیاز به کشش رو به بالای نخ معقول است. جسم را «شناور آزاد» فرض نکرده‌ایم. در این آرایش، اگر T منفی شود، مدل نخ آویزان از بالا معتبر نیست؛ نخ نمی‌تواند جسم را رو به پایین هل بدهد.
حجم ۲۰۰ سانتی‌متر مکعب، ۰٫۲۰ کیلوگرم آب جابه‌جا می‌کند و وزن این مقدار آب با g داده‌شده ۲ نیوتن است؛ این هم بازسازی مستقیم شناوری است. پس از غوطه‌وری کامل، پایین‌بردن بیشتر جسم در آب با چگالی ثابت، بدون تماس و در حالت ساکن، B و خوانده‌ها را تغییر نمی‌دهد.
اگر پایه هم روی همان ترازو باشد، نتیجه چگونه عوض می‌شود؟
این بار ظرف، آب، پایه نیروسنج و جسم آویزان را همگی روی یک ترازو قرار بده و خوانده کل را پیش و پس از غوطه‌وری مقایسه کن. جسم پیش از ورود به آب نیز از همین پایه آویزان است؛ وزن پایه در هر دو خواندن حضور دارد. اگر هیچ آب یا جسمی از دستگاه خارج نشود و همه بخش‌ها ساکن باشند، خوانده کل تغییر نمی‌کند.
پس از غوطه‌وری، سهم بار منتقل‌شده از راه پایه به اندازه B کم و سهم بار منتقل‌شده از راه آب به اندازه B زیاد می‌شود. مجموع ثابت است. برای نمونه، اگر وزن پایه و ابزار بالایی 6 N باشد، در هر دو حالت خوانده کل 20 + 6 + 5.4 = 31.4 N است. این عدد را نباید با 22 N مسئله اصلی یکی گرفت؛ محل تکیه‌گاه و مرز دستگاه عوض شده است.
ترازوی گرم‌خوان و خطاهای رایج را بررسی کن
اگر ترازوی زیر ظرف به جای نیوتن، گرم یا کیلوگرم نمایش دهد، اختلاف خوانده جرمی را به نیرو تبدیل کن: ΔN = gΔm_display. شتاب مرجع درجه‌بندی ترازو را برابر g همین مسئله فرض می‌کنیم. مثلاً افزایش نمایش از 2000 g به 2200 g، Δm_display = 0.200 kg و ΔN = 0.200×10 = 2 N می‌دهد. عدد ۲۰۰ را مستقیماً به عنوان نیروی شناوری وارد نکن؛ واحد آن گرم است.
خطای اول، اضافه‌کردن کل mg به عدد ظرف در آرایش تکیه‌گاه خارجی است. خطای دوم، کم‌کردن B از خوانده ظرف است؛ B روی جسم بالاست اما واکنش آن روی آب پایین است. خطای سوم، گرفتن m = T/g در آب است. خطای چهارم، استفاده از حجم غوطه‌ور به جای حجم کل برای جسم نیمه‌غوطه‌ور است.
اگر آب سرریز شود یا جسم به کف و دیواره تکیه کند، دیگر افزایش عدد ظرف را بی‌بررسی برابر B نگیر؛ وزن آب خارج‌شده یا نیروی تماس نیز باید وارد موازنه شود. راهنمای اصل ارشمیدس برای حجم جابه‌جاشده، راهنمای رسم نمودار جسم آزاد برای تفکیک دستگاه‌ها و مقاله چگالی مخلوط و جسم توخالی برای تفاوت حجم خارجی و حجم ماده، سه ادامه مرتبط این حل‌اند.
برای حل این تیپ، محل تکیه‌گاه را پیش از فرمول مشخص کن. با تکیه‌گاه خارجی، افزایش عدد ترازوی ظرف برابر B است؛ سپس V = B/(ρwater g)، وزن جسم mg = T + B و چگالی m/V محاسبه می‌شوند. در مثال، B = 2 N، حجم 200 cm³، جرم 0.54 kg و چگالی 2700 kg/m³ است. کنترل N₁ + T = N₀ + mg همه نیروهای تکیه‌گاهی را یکجا می‌سنجد. اگر پایه نیز روی همان ترازو باشد، باید وزن کل دستگاه را بررسی کرد؛ شناوری درون آن دستگاه نیروی داخلی است.