در تعادل جسم متصل به فنر در مایع، اگر جسم کاملاً غوطه‌ور و از فنر سقفی آویزان باشد، وزن رو به پایین و نیروی شناوری و فنر رو به بالا هستند؛ بنابراین kx + ρfluid gV = mg و کشیدگی فنر از x = (mg − ρfluid gV)/k به دست می‌آید. باید V را حجم غوطه‌ور بگیری، همه داده‌ها را به SI ببری و علامت x را تفسیر کنی. پس از خروج مایع، با صرف‌نظر از شناوری هوا، کشیدگی به mg/k می‌رسد و جسم به اندازه ρfluid gV/k پایین‌تر می‌رود.
صورت مسئله، داده‌ها و فرض‌ها را یک‌جا بنویس
جسمی با جرم ۰٫۶۰ kg و حجم ۲۰۰ cm³ از فنری قائم با ثابت ۵۰ N/m که سر دیگرش به سقف بسته است آویزان می‌شود. جسم ابتدا کاملاً در آب با چگالی ۱۰۰۰ kg/m³ فرو رفته و در تعادل است. با g = 10 m/s²، کشیدگی فنر را در آب بیاب؛ سپس آب را آرام تخلیه می‌کنیم و جسم در هوا به تعادل تازه می‌رسد. کشیدگی جدید و مقدار جابه‌جایی تعادل را حساب کن.
فرض می‌کنیم فنر بی‌جرم و در محدوده قانون هوک است، جسم با کف یا دیواره تماس ندارد، آب ساکن است، جسم در حالت اول کاملاً غوطه‌ور می‌ماند و شناوری هوا در حالت دوم ناچیز است. عبارت «آرام تخلیه می‌کنیم» یعنی فقط دو تعادل آغاز و پایان را مقایسه می‌کنیم؛ مسئله درباره نوسان گذرای جسم یا نیروی مقاومت آب نیست.
- m = 0.60 kg
- V = 200 cm³
- k = 50 N/m
- ρwater = 1000 kg/m³
- g = 10 m/s²
تعادل جسم متصل به فنر در مایع را با سه نیرو مدل کن
دستگاه را خود جسم بگیر. وزن mg همیشه رو به پایین است. چون جسم در آب قرار دارد، برآیند نیروهای فشاری آب یا نیروی شناوری Fb رو به بالاست. فنر سقفیِ کشیده نیز جسم را به سوی نقطه اتصال، یعنی رو به بالا، می‌کشد. پس در تعادل، دو نیروی رو به بالا باید وزن را جبران کنند.
محور بالا را مثبت می‌گیریم. شرط برآیند صفر چنین است: kx + Fb − mg = 0. با اصل ارشمیدس Fb = ρwater gVsub و چون جسم کاملاً غوطه‌ور است Vsub = Vobject. در نتیجه x = (mg − ρwater gV)/k. این رابطه را از نمودار نیروها ساخته‌ایم؛ علامت آن را نباید از ابتدا با قدرمطلق حذف کرد.
- رو به بالا: kx و Fb
- رو به پایین: mg
- شرط تعادل: kx + Fb − mg = 0
حجم را تبدیل و نیروی شناوری را حساب کن
چگالی آب بر حسب kg/m³ داده شده است، پس حجم نیز باید m³ باشد. چون 1 cm³ = 10⁻⁶ m³، داریم V = 200×10⁻⁶ = 2.00×10⁻⁴ m³. تبدیل اشتباه سانتی‌متر مکعب به 10⁻² متر مکعب، پاسخ را ده‌هزار برابر خراب می‌کند.
اکنون Fb = ρgV = 1000×10×2.00×10⁻⁴ = 2.0 N. وزن جسم mg = 0.60×10 = 6.0 N است. چون وزن از شناوری بیشتر است، جسم بدون فنر تمایل به فرورفتن دارد و یک فنر سقفیِ کشیده می‌تواند ۴ نیوتون باقی‌مانده را رو به بالا تأمین کند؛ پس مدل انتخاب‌شده از نظر جهت نیرو معقول است.
کشیدگی فنر در آب را مرحله‌به‌مرحله پیدا کن
در حالت غوطه‌ور، از kxwater + Fb = mg داریم 50xwater + 2.0 = 6.0. بنابراین 50xwater = 4.0 N و xwater = 4.0/50 = 0.080 m است.
پاسخ نهایی این مرحله xwater = 0.080 m = 8.0 cm است. کنترل واحد نیز درست است: N÷(N/m) = m. نیروی فنر 50×0.080 = 4.0 N می‌شود و با ۲ نیوتون شناوری جمعاً ۶ نیوتون وزن را خنثی می‌کند؛ پس جمع علامت‌دار نیروها واقعاً صفر است.
تعادل دوم و جابه‌جایی پس از تخلیه آب را حساب کن
پس از تخلیه آب و رسیدن دوباره به سکون، شناوری هوا را طبق فرض مسئله صفر می‌گیریم. اکنون فقط نیروی فنر وزن را جبران می‌کند: kxair = mg. پس xair = 6.0/50 = 0.120 m = 12.0 cm.
نقطه تعادل از کشیدگی ۸ سانتی‌متر به ۱۲ سانتی‌متر می‌رسد، بنابراین جسم ۴ سانتی‌متر پایین‌تر می‌رود. یک راه کنترل مستقل این است که دو معادله تعادل را از هم کم کنیم: k(xair − xwater) = Fb. پس Δx = 2.0/50 = 0.040 m، همان ۴ سانتی‌متر.
علامت و معقول‌بودن جواب را با سه آزمون کنترل کن
نخست، آب بخشی از وزن را تحمل می‌کند؛ پس باید xwater < xair باشد و جواب‌های ۸ و ۱۲ سانتی‌متر این انتظار را برآورده می‌کنند. دوم، نیروی شناوری نمی‌تواند در این مثال از وزن بیشتر باشد: چگالی متوسط جسم m/V = 0.60/(2.00×10⁻⁴) = 3000 kg/m³ است که از چگالی آب بیشتر است. سوم، اگر چگالی مایع را صفر بگیریم، رابطه حالت هوا یعنی x = mg/k را بازمی‌گرداند.
اگر محاسبه x = (mg − ρgV)/k عدد منفی بدهد، آن را «کشیدگی منفی» گزارش نکن. در آرایش فنر سقفی، فنر معمولی نمی‌تواند جسم را برای حفظ غوطه‌وری به پایین هل دهد؛ جسم کم‌چگال بالا می‌رود و ممکن است فنر شل شود یا جسم فقط بخشی از آب بیرون بماند. در آن وضعیت، فرض کاملاً غوطه‌ور و فنر کشیده با هم سازگار نیست و مدل باید عوض شود.
خطاهای رایج و مسیر کوتاه حل را مرور کن
خطای رایج اول، نوشتن kx = mg و فراموش‌کردن شناوری در حالت آب است. خطای دوم، استفاده از چگالی جسم به جای چگالی مایع در Fb است. خطای سوم، قرار دادن ۲۰۰ به جای 2×10⁻⁴ در رابطه SI است. خطای چهارم، رسم نیروی فنر رو به پایین فقط به این دلیل است که جسم پایین فنر قرار دارد؛ جهت نیروی فنر روی جسم به سوی تکیه‌گاه است.
مسیر مطمئن این تیپ چنین است: آرایش و میزان غوطه‌وری را مشخص کن؛ نیروها را با جهت رسم کن؛ حجم را به واحد سازگار ببر؛ Fb را جدا حساب کن؛ معادله تعادل را برای هر حالت بنویس؛ و در پایان ترتیب کشیدگی‌ها، واحد متر و بازسازی برآیند صفر را کنترل کن. راهنمای اصل ارشمیدس انتخاب حجم جابه‌جا‌شده، مقاله فنر قائم مرجع طول و کشیدگی، و راهنمای نمودار جسم آزاد تشخیص جهت نیروها را تکمیل می‌کنند.
- حجم غوطه‌ور، نه لزوماً حجم کل، وارد Fb می‌شود.
- نیروی شناوری همیشه جای وزن را کامل نمی‌گیرد.
- علامت منفی نشانه ناسازگاری فرض آرایش است، نه عددی برای قدر کشیدگی.
- هر حالت تعادل معادله نیروی مستقل دارد.
برای تعادل جسم متصل به فنر در مایع، اول آرایش را به سه نیروی واقعی تبدیل کن، سپس حجم غوطه‌ور را به متر مکعب ببر و از kx + Fb = mg استفاده کن. در مثال این راهنما کشیدگی در آب ۸ سانتی‌متر و در هوا ۱۲ سانتی‌متر است؛ اختلاف ۴ سانتی‌متری نیز مستقیماً از Fb/k به دست می‌آید. مثبت یا منفی‌شدن x بخشی از جواب فیزیکی است: نتیجه منفی در آرایش فنر سقفی یعنی فرض کشیده‌بودن فنر معتبر نیست و باید تماس، شل‌شدن یا آرایش اتصال دوباره بررسی شود.