برای محاسبه تغییر طول فنر در آسانسور، جهت شتاب کابین را پیدا کن، نه جهت حرکت آن را. اگر جرم m از فنری با ثابت k آویزان و نسبت به کابین ساکن باشد، شتاب رو به بالای آسانسور با اندازه a کشیدگی تعادل را به Δl_eq = m(g + a)/k می‌رساند و شتاب رو به پایین با اندازه a آن را به Δl_eq = m(g − a)/k کاهش می‌دهد. با وجود جابه‌جایی نقطه تعادل، دوره نوسان فنر آرمانی در شتاب ثابت همان T = 2π√(m/k) می‌ماند، زیرا نیروی ثابت مؤثر فقط محل تعادل را عوض می‌کند.
تغییر طول فنر در آسانسور را از شتاب به دست آور
جرم را جدا کن. نیروی فنر kΔl رو به بالا و وزن mg رو به پایین است. اگر آسانسور و جرم با شتاب علامت‌دار a_e حرکت کنند و بالا را مثبت بگیریم، قانون دوم نیوتن می‌دهد kΔl − mg = ma_e. بنابراین برای جرمی که نسبت به کابین در تعادل است، Δl_eq = m(g + a_e)/k خواهد بود.
در این نوشتار a_e علامت دارد: برای شتاب رو به بالا مثبت و برای شتاب رو به پایین منفی است. اگر فقط اندازه شتاب a داده شده باشد، در شتاب بالا g + a و در شتاب پایین g − a را به کار ببر. حرکت رو به بالا یا پایین به‌تنهایی علامت را تعیین نمی‌کند؛ آسانسورِ رو به بالا و کندشونده شتاب رو به پایین دارد.
- شتاب رو به بالا: Δl_eq = m(g + a)/k
- شتاب رو به پایین با a < g: Δl_eq = m(g − a)/k
- سکون یا سرعت ثابت: Δl_eq = mg/k
- سقوط آزاد: Δl_eq = 0
گرانش مؤثر را بدون تغییر دادن گرانش واقعی تفسیر کن
می‌توان همین نتیجه را در چارچوب کابین با گرانش مؤثر نوشت. اندازه g_eff برای شتاب رو به بالا g + a و برای شتاب رو به پایین g − a است؛ سپس kΔl_eq = mg_eff. این یک ابزار محاسباتی برای چارچوب شتاب‌دار است و به معنی تغییر نیروی گرانش زمین یا جرم جسم نیست.
راه دیگر، همان تحلیل دستگاه لخت زمین است که در آن نیروی مجازی رسم نمی‌کنیم و جرم واقعاً همراه آسانسور شتاب ma_e دارد. هر دو روش باید به یک جواب برسند. آمیختن این دو روش، مثلاً افزودن نیروی مجازی و هم‌زمان نوشتن ma_e در سمت راست، اثر شتاب را دوبار حساب می‌کند.
چرا دوره نوسان فنر با شتاب ثابت آسانسور عوض نمی‌شود؟
فرض کن y جابه‌جایی جرم از تعادل تازه باشد. کشیدگی کل فنر Δl_eq + y است. در چارچوب کابین، جمله ثابت mg_eff با kΔl_eq خنثی می‌شود و معادله حرکت به mÿ = −ky می‌رسد. پس ω = √(k/m) و T = 2π√(m/k) است؛ a و g در دوره باقی نمی‌مانند.
این نتیجه با آونگ ساده فرق دارد. دوره آونگ به g_eff وابسته است، اما دوره جرم–فنر آرمانی فقط به جرم و ثابت فنر وابسته است. آسانسور شتاب‌دار کشیدگی تعادل فنر را تغییر می‌دهد، نه شیب نیروی بازگرداننده نسبت به تعادل را. فرض‌های لازم، شتاب ثابت کابین، فنر خطی و بی‌جرم و نبود میرایی‌اند.
- نقطه تعادل: وابسته به g_eff
- دوره جرم–فنر: وابسته به m و k
- دوره آونگ ساده: وابسته به g_eff
- شتاب متغیر کابین: خارج از مدل دوره ثابت
مثال حل‌شده: آسانسور با شتاب رو به بالا
جرم 0.50 kg از فنری با ثابت 100 N/m در آسانسور آویزان است. آسانسور ابتدا ساکن است و سپس با شتاب ثابت 2.0 m/s² رو به بالا حرکت می‌کند. با g = 10 m/s²، کشیدگی تعادل پیش و پس از شروع شتاب، دوره نوسان و دامنه ناشی از شروع ناگهانی شتاب را پیدا کن.
در حالت سکون، Δl_0 = mg/k = 0.50×10/100 = 0.050 m یا 5.0 cm است. در شتاب رو به بالا، Δl_eq = m(g + a)/k = 0.50×12/100 = 0.060 m یا 6.0 cm می‌شود. پس نقطه تعادل تازه یک سانتی‌متر پایین‌تر از تعادل قبلی قرار دارد.
دوره در هر دو حالت T = 2π√(0.50/100) ≈ 0.44 s است. اگر شتاب ناگهان آغاز شود و جرم در لحظه آغاز در تعادل قبلی و نسبت به کابین ساکن باشد، جرم یک سانتی‌متر بالاتر از تعادل تازه قرار دارد؛ بنابراین دامنه نوسان نسبت به تعادل تازه A = 1.0 cm است. در مدل بی‌میرایی، کشیدگی فنر میان 5.0 و 7.0 cm تغییر می‌کند.
تغییر ناگهانی شتاب را از تعادل آرام جدا کن
رابطه Δl_eq فقط مکان تعادل متناظر با شتاب ثابت را می‌دهد. اگر آسانسور مدتی با همان شتاب حرکت کند و میرایی وجود داشته باشد، جرم سرانجام در این مکان آرام می‌گیرد. اما اگر شتاب ناگهان عوض شود، جرم نمی‌تواند همان لحظه مکانش را تغییر دهد و معمولاً پیرامون تعادل تازه نوسان می‌کند.
برای شروع ناگهانی از سکون، ابتدا کشیدگی لحظه آغاز را با تعادل تازه مقایسه کن. فاصله این دو مکان، در صورت صفر بودن سرعت نسبی آغازین، دامنه است. اگر سرعت نسبی اولیه صفر نباشد، دامنه فقط از اختلاف مکان به دست نمی‌آید و باید مکان و سرعت اولیه را با معادله نوسان یا انرژی ترکیب کنی.
فنر در سقوط آزاد را با آونگ اشتباه نگیر
در سقوط آزاد کابین، a_e = −g و در نتیجه g_eff = 0 است؛ پس کشیدگی تعادل فنر صفر و تعادل در طول طبیعی قرار می‌گیرد. اگر کابین از حالت سکون ناگهان وارد سقوط آزاد شود، جرم در کشیدگی قبلی mg/k قرار دارد و با دامنه mg/k پیرامون طول طبیعی نوسان می‌کند.
دوره این نوسان همچنان 2π√(m/k) است، زیرا خود فنر نیروی بازگرداننده دارد. این رفتار با آونگ در سقوط آزاد متفاوت است: آونگ بدون گرانش مؤثر نیروی بازگرداننده معمول پیرامون قائم ندارد. اگر محاسبه برای جرم آویزان کشیدگی منفی بدهد، بررسی کن آیا اتصال می‌تواند فشار وارد کند؛ برای سامانه‌ای که فقط کشش را تحمل می‌کند ممکن است تماس یا کشش از بین برود و مدل تغییر کند.
در تغییر طول فنر در آسانسور، نخست جهت شتاب را از تند یا کندشدن کابین تشخیص بده. با محور مثبت رو به بالا، کشیدگی تعادل Δl_eq = m(g + a_e)/k است؛ a_e مثبت برای شتاب بالا و منفی برای شتاب پایین. شتاب ثابت نقطه تعادل را جابه‌جا می‌کند، اما در مدل فنر بی‌جرم و خطی دوره T = 2π√(m/k) را تغییر نمی‌دهد. اگر شتاب ناگهانی عوض شود، فاصله مکان اولیه تا تعادل تازه دامنه نوسان را تعیین می‌کند؛ در سقوط آزاد نیز تعادل به طول طبیعی می‌رسد، ولی سامانه جرم–فنر برخلاف آونگ هنوز می‌تواند نوسان کند.