در مسئله قایق و رودخانه، سرعت قایق نسبت به ساحل از جمع برداری سرعت قایق نسبت به آب و سرعت آب نسبت به ساحل به دست میآید: v⃗قایق/ساحل = v⃗قایق/آب + v⃗آب/ساحل. برای کمترین زمان عبور، قایق را عمود بر ساحل هدایت میکنیم تا تمام سرعتش در راستای عرض رودخانه باشد؛ در این حالت جریان آب قایق را پاییندست میبرد. برای رسیدن به نقطه دقیقاً روبهرو، باید قایق را مایل به بالادست گرفت تا مؤلفه سرعت آن در امتداد رودخانه، جریان آب را خنثی کند. پس پیش از محاسبه باید روشن کنیم خواسته سؤال «کمترین زمان» است یا «بدون رانش و کوتاهترین مسیر».
سرعت نسبی را با ذکر چارچوب مرجع بنویس
عبارت «سرعت قایق» بهتنهایی کامل نیست؛ قایق نسبت به آب یک سرعت و نسبت به ساحل سرعت دیگری دارد. نماد v⃗A/B یعنی سرعت A نسبت به B. رابطه زنجیرهای v⃗A/C = v⃗A/B + v⃗B/C کمک میکند مرجعها را گم نکنیم؛ حرف B در دو جمله میانی حذف میشود و A/C باقی میماند.
در رودخانه، آب نسبت به ساحل به سمت پاییندست حرکت میکند. موتور قایق سرعت قایق نسبت به آب را تعیین میکند و ناظر روی ساحل حاصل جمع این دو بردار را میبیند. سرعتها را عددی جمع نکن، مگر آنکه همراستا باشند؛ در حالت کلی باید مؤلفههای افقی و عمودی را جداگانه جمع کرد.
- قایق نسبت به ساحل = قایق نسبت به آب + آب نسبت به ساحل.
- اندازه سرعت قایق نسبت به آب معمولاً ثابت است، اما راننده جهت آن را انتخاب میکند.
- زمان عبور را مؤلفه سرعت عمود بر ساحل تعیین میکند.
محورها و مؤلفههای سرعت را چگونه انتخاب کنیم؟
محور x را در امتداد جریان و به سمت پاییندست و محور y را عمود بر ساحل و به سوی ساحل مقابل بگیر. اگر سرعت جریان u باشد، بردار آب نسبت به ساحل مؤلفههای (u, 0) دارد. اگر سرعت قایق نسبت به آب اندازه v و زاویه آن با راستای عمود بر ساحل θ به سمت بالادست باشد، مؤلفههای آن (−v sinθ, v cosθ) است.
بنابراین سرعت قایق نسبت به ساحل مؤلفههای (u − v sinθ, v cosθ) خواهد داشت. مؤلفه y زمان رسیدن به ساحل مقابل را تعیین میکند و مؤلفه x مقدار رانش در امتداد رودخانه را. این دو جمله تقریباً تمام مدل ریاضی مسئله را میسازند.
برای کوتاهترین زمان عبور، قایق را در چه جهتی بگیریم؟
اگر عرض رودخانه d باشد، زمان عبور t = d/vy است. برای کمینهکردن زمان باید مؤلفه عمود بر ساحلِ سرعت قایق بیشترین مقدار را داشته باشد. چون vy = v cosθ است، بیشترین مقدار آن در θ = 0 رخ میدهد؛ یعنی نوک قایق باید مستقیماً رو به ساحل مقابل باشد، نه به سمت بالادست.
در این جهتگیری، زمان کمینه tmin = d/v است. جریان رودخانه زمان عبور را تغییر نمیدهد، زیرا مؤلفهای عمود بر ساحل ندارد؛ اما قایق را به اندازه Δx = utmin = ud/v پاییندست میبرد. مسیر دیدهشده از ساحل مورب است و اندازه سرعت زمینی قایق √(v² + u²) میشود.
- کمترین زمان: θ = 0 و tmin = d/v.
- رانش پاییندست در این حالت: Δx = ud/v.
- سرعت بیشتر نسبت به ساحل الزاماً به معنی زمان عبور کمتر نیست؛ مؤلفه عمود بر ساحل مهم است.
برای رسیدن به نقطه روبهرو، زاویه بالادست را پیدا کن
رسیدن به نقطه دقیقاً روبهرو یعنی جابهجایی و در نتیجه سرعت خالص در راستای جریان صفر باشد. پس باید u − v sinθ = 0 یا sinθ = u/v برقرار شود. قایق مؤلفهای به اندازه u به سمت بالادست میسازد تا سرعت جریان را خنثی کند.
این راهحل فقط وقتی ممکن است که v ≥ u باشد. اگر سرعت قایق نسبت به آب از سرعت جریان کمتر باشد، هیچ زاویهای نمیتواند رانش را کاملاً حذف کند. پس از یافتن زاویه، سرعت عبور برابر vy = v cosθ = √(v² − u²) و زمان عبور t = d/√(v² − u²) است؛ این زمان از کمترین زمان d/v بیشتر است.
مثال حلشده: کمترین زمان و مقدار رانش قایق
رودخانهای 120 متر عرض دارد. سرعت قایق نسبت به آب 6 m/s و سرعت جریان 2 m/s است. برای کمترین زمان، قایق عمود بر ساحل حرکت میکند. زمان عبور برابر t = 120/6 = 20 s است.
در این 20 ثانیه، آب قایق را به اندازه Δx = ut = 2×20 = 40 m پاییندست میبرد. سرعت قایق نسبت به ساحل اندازه √(6² + 2²) = √40 m/s دارد، اما برای محاسبه زمان نباید عرض رودخانه را بر √40 تقسیم کرد؛ زیرا این سرعت در راستای مسیر مورب است و مؤلفه عمود بر ساحل همان 6 m/s باقی میماند.
مثال حلشده: رسیدن به نقطه دقیقاً روبهرو
همان رودخانه را در نظر بگیر. برای حذف رانش باید sinθ = u/v = 2/6 = 1/3 باشد؛ پس قایق با زاویهای که سینوس آن 1/3 است، نسبت به خط عمود بر ساحل و به سوی بالادست هدایت میشود. لازم نیست برای ادامه حل مقدار اعشاری زاویه را پیدا کنیم.
مؤلفه عبوری سرعت برابر √(v² − u²) = √(36 − 4) = 4√2 m/s است. بنابراین زمان رسیدن به نقطه روبهرو t = 120/(4√2) = 15√2 s، حدود 21.2 s، میشود. این مقدار از 20 s بیشتر است؛ حذف رانش بخشی از توان حرکتی قایق را صرف مقابله با جریان کرده است.
مسیر حل عمومی و خطاهای رایج سرعت نسبی
ابتدا مرجع هر سرعت را بنویس و جهت جریان را روی شکل مشخص کن. سپس محورها را در امتداد و عمود بر ساحل بگیر، رابطه جمع برداری را به مؤلفهها تبدیل کن و شرط خواسته را اعمال کن: برای کمترین زمان، مؤلفه عبوری را بیشینه کن؛ برای نقطه روبهرو، مؤلفه امتداد رودخانه را صفر بگذار. در پایان زمان را از عرض تقسیم بر مؤلفه عمود بر ساحل به دست آور.
اشتباههای رایج شامل جمعکردن اندازه دو سرعت، تقسیم عرض رودخانه بر اندازه سرعت مورب، یکیگرفتن کوتاهترین زمان با کوتاهترین مسیر و اندازهگیری زاویه از محوری متفاوت با تعریف رابطه است. برای مرور مؤلفهها و نمودارهای حرکت، راهنمای حرکتشناسی کنکور را بخوان؛ مقاله تحلیل ابعادی و کنترل واحد نیز برای سنجش رابطههای بهدستآمده مفید است.
- روی هر سرعت، متحرک و مرجع را مشخص کن.
- شرط مسئله را پیش از جایگذاری عدد بنویس.
- زمان عبور به مؤلفه سرعت در راستای عرض وابسته است.
- امکانپذیری جواب را بررسی کن: برای حذف رانش باید v ≥ u باشد.
مسئله سرعت نسبی با یک رابطه برداری و یک انتخاب مرجع روشن میشود: سرعت متحرک نسبت به زمین برابر سرعت آن نسبت به محیط بهعلاوه سرعت محیط نسبت به زمین است. در قایق و رودخانه، کمترین زمان با جهتگیری عمود بر ساحل به دست میآید، اما رسیدن به نقطه روبهرو نیازمند مؤلفهای به سمت بالادست است. شکل محورها، نوشتن برچسب مرجع روی هر سرعت و کنترل مؤلفهها، سه راه ساده برای جلوگیری از اشتباهاند.