پاسخ مستقیم این است: ناظر متحرک، باران را در جهت سرعت باران نسبت به خودش میبیند؛ پس باید بردار v⃗ باران/ناظر = v⃗ باران/زمین − v⃗ ناظر/زمین را بسازی. اگر باران نسبت به زمین قائم و رو به پایین با تندی u ببارد و شخص با تندی v افقی حرکت کند، مؤلفههای سرعت نسبی برای شخص برابر −v در افق و −u در قائماند. بنابراین باران از سمت روبهروی حرکت به نظر میرسد و شخص باید چتر را به همان سمت خم کند. زاویه چتر با قائم از tanθ = v/u به دست میآید.
سرعت باران را نسبت به ناظر بنویس
در سرعت نسبی، دو برچسب کنار هر بردار جلوی بیشتر خطاها را میگیرد. رابطه عمومی v⃗ A/B = v⃗ A/زمین − v⃗ B/زمین میگوید برای یافتن سرعت A از دید B، سرعت B را از سرعت A کم کن. در این مسئله A قطره باران و B شخص، دوچرخه یا خودرو است.
آنچه ناظر بهعنوان جهت حرکت قطره میبیند، جهت v⃗ باران/ناظر است. این بردار هم جهت ظاهری رگههای باران را تعیین میکند و هم نشان میدهد قطره با چه سرعتی به ناظر نزدیک میشود. تندی نسبی اندازه همین بردار است، نه جمع ساده تندیهای افقی و قائم.
- رابطه پایه: v⃗ باران/ناظر = v⃗ باران/زمین − v⃗ ناظر/زمین
- بردارها را فقط پس از تعیین محور و علامت کم کن.
- جهت ظاهری باران، جهت بردار سرعت نسبی است.
بارش قائم و حرکت افقی شخص را مؤلفهبندی کن
محور x را در جهت حرکت شخص و محور y را رو به بالا بگیر. اگر شخص با سرعت v حرکت کند، v⃗ شخص/زمین = (v,0) است. برای بارانی که قائم با تندی u میبارد، v⃗ باران/زمین = (0,−u)؛ پس سرعت نسبی باران برابر (−v,−u) میشود.
مؤلفه افقی منفی یعنی از دید شخص، قطرهها هنگام پایینآمدن به عقبِ دستگاه مختصات جابهجا میشوند و مبدأ ظاهری آنها در جلوی شخص است. هرچه شخص سریعتر حرکت کند، اندازه مؤلفه افقی نسبی بیشتر و رگههای باران نسبت به قائم مایلتر دیده میشوند.
زاویه و جهت درست چتر را تعیین کن
اگر θ زاویه راستای باران با خط قائم باشد، از مثلث مؤلفهها tanθ = |v_rel,x|/|v_rel,y| به دست میآید. در بارش قائم، این رابطه به tanθ = v/u تبدیل میشود. زاویه با قائم را با زاویه نسبت به افق اشتباه نکن؛ زاویه با افق متمم θ است.
برای جلوگیری از برخورد قطرهها، محور چتر را موازی مسیر نسبی قطرهها قرار بده و سایبان را به سمت جایی بگیر که باران از آن میآید؛ در بارش قائم و حرکت رو به جلو، چتر به جلو خم میشود. اگر شخص بایستد، v = 0 و θ = 0 است؛ این حد ساده جهت و فرمول را کنترل میکند.
- زاویه با قائم: tanθ = |v_rel,x|/|v_rel,y|
- بارش قائم: tanθ = v شخص/u باران
- حرکت سریعتر شخص: چتر مایلتر به سمت جلو
مسئله باران و چتر را در پنج گام حل کن
یک: زمین را مرجع اصلی و دو محور افقی و قائم را مشخص کن. دو: بردار سرعت باران و ناظر را نسبت به زمین با مؤلفه و علامت بنویس. سه: سرعت ناظر را از سرعت باران کم کن. چهار: جهت بردار حاصل را روی شکل بکش و مبدأ ظاهری باران را تعیین کن. پنج: برای زاویه از نسبت مؤلفه افقی به قائم و برای تندی نسبی از قضیه فیثاغورس استفاده کن.
پیش از جایگذاری عددی، خواسته را بخوان: ممکن است سؤال زاویه با قائم، زاویه با افق، تندی برخورد قطره با ناظر یا جهت خمکردن چتر را بخواهد. پاسخ این چهار خواسته از یک بردار مشترک میآید، اما عبارت عددی یا توصیف جهت آنها یکسان نیست.
مثال حلشده: دوچرخهسوار زیر باران قائم
باران نسبت به زمین قائم و با تندی u = 8 m/s میبارد. دوچرخهسواری با تندی v = 6 m/s در مسیر افقی حرکت میکند. زاویه ظاهری باران با قائم، جهت چتر و تندی نسبی قطرهها را پیدا کن.
سرعت باران نسبت به دوچرخهسوار برابر (0,−8) − (6,0) = (−6,−8) m/s است. بنابراین tanθ = 6/8 = 0.75 و θ ≈ 36.9° با قائم به دست میآید. چون مبدأ ظاهری باران جلوی دوچرخهسوار است، او باید چتر را حدود 37 درجه به جلو خم کند.
اندازه سرعت نسبی نیز √(6² + 8²) = 10 m/s است. این مقدار نه 14 و نه 2 متر بر ثانیه است، زیرا دو سرعت بر یک راستا نیستند. اگر دوچرخهسوار متوقف شود، مؤلفه افقی حذف میشود و باران دوباره قائم دیده خواهد شد.
باران مایل یا باددار را با همان روش حل کن
اگر باران نسبت به زمین مؤلفه افقی w و مؤلفه قائم رو به پایین u داشته باشد، بردار آن را (w,−u) بنویس. برای ناظری که با سرعت v در جهت مثبت x حرکت میکند، سرعت نسبی (w−v,−u) است و tanθ = |w−v|/u خواهد بود.
علامت w−v جهت مبدأ ظاهری باران را مشخص میکند. اگر w = v باشد، مؤلفه افقی نسبی صفر است و ناظر با وجود حرکت، باران را قائم میبیند. اگر w−v مثبت یا منفی شود، چتر باید متناسب با جهت باد خالص از دید ناظر به عقب یا جلو متمایل شود؛ پس حفظ علامت تا پایان مهم است.
چهار خطای رایج را پیش از پاسخ کنترل کن
خطای اول، جمعکردن تندیها بدون توجه به برداریبودن سرعت است. خطای دوم، نوشتن v⃗ ناظر/باران به جای v⃗ باران/ناظر و برعکسشدن جهت است. خطای سوم، گرفتن tanθ = مؤلفه قائم بر افقی در حالی است که زاویه با قائم خواسته شده. خطای چهارم، گفتن «چتر در جهت حرکت قطره» بدون روشنکردن اینکه سایبان باید رو به مبدأ ظاهری باران باشد.
برای کنترل نهایی، واحد هر دو مؤلفه باید یکسان باشد، اندازه سرعت نسبی نباید منفی شود و در حالت v = 0 پاسخ باید به جهت واقعی باران برگردد. راهنمای سرعت نسبی قایق و رودخانه همین قانون را در محیط متحرک تمرین میدهد؛ مقاله تجزیه بردارها انتخاب سینوس و کسینوس و راهنمای سرعت و تندی متوسط تفاوت کمیت برداری و نردهای را تکمیل میکنند.
برای حل مسئله باران و ناظر متحرک، ابتدا یک محور و قرارداد علامت انتخاب کن و سپس v⃗ باران/ناظر = v⃗ باران/زمین − v⃗ ناظر/زمین را مؤلفهبهمؤلفه بنویس. جهت چتر خلاف مسیر قطره نیست؛ دسته چتر باید در راستای سرعت نسبی رو به پایین و سایبان آن به سمت مبدأ ظاهری باران متمایل شود. در حالت بارش قائم، tanθ = v شخص/u باران است. اگر باد یا حرکت افقی باران وجود دارد، مؤلفه افقی را پیش از محاسبه زاویه کم کن و پاسخ را با حالت شخص ساکن کنترل کن.