سرعت متوسط و تندی متوسط؛ تفاوت جابه‌جایی و مسافت در حل مسئله

مسافت و جابه‌جایی را پیش از محاسبه جدا کن

در حرکت یک‌بعدی، مکان آغازین xi و مکان نهایی xf را روی محور علامت بزن. جابه‌جایی برابر Δx = xf − xi است و می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. جابه‌جایی به جزئیات مسیر وابسته نیست؛ اگر جسم چند بار مسیرش را عوض کند، باز هم فقط دو مکان ابتدا و انتها در آن نقش دارند.

مسافت کل، طول واقعی مسیر طی‌شده است و منفی نمی‌شود. برای محاسبه آن، حرکت را در هر نقطه تغییر جهت به یک بخش جدا تقسیم کن و قدرمطلق تغییر مکان بخش‌ها را با هم جمع بزن: d = |Δx1| + |Δx2| + ... . همیشه d ≥ |Δx| است؛ این نامساوی یک کنترل سریع برای پاسخ است.

• جابه‌جایی کمیتی جهت‌دار است؛ مسافت فقط اندازه طول مسیر است.
• بازگشت به نقطه شروع، جابه‌جایی را صفر می‌کند نه مسافت را.
• واحد هر دو کمیت طول است، اما مفهوم یکسانی ندارند.

دو رابطه متوسط را با صورت درست بنویس

سرعت متوسط در بازه زمانی Δt از رابطه v̄ = Δx/Δt محاسبه می‌شود. علامت آن جهت جابه‌جایی خالص را نسبت به محور نشان می‌دهد. اگر مکان نهایی در سمت منفی مکان آغازین باشد، سرعت متوسط منفی است؛ حتی اگر جسم در بخشی از مسیر رو به جهت مثبت حرکت کرده باشد.

تندی متوسط برابر d/Δt است و منفی نمی‌شود. زمان کل برای هر دو رابطه یکسان است و همه مدت حرکت، از جمله زمان توقف، استراحت یا انتظار را در بر می‌گیرد. بنابراین حذف زمان توقف معمولاً تندی متوسط و اندازه سرعت متوسط را بیش از مقدار واقعی نشان می‌دهد.

مثال حل‌شده: حرکت رفت‌وبرگشتی روی یک خط

دانش‌آموزی از x = 0 در مدت ۳۰ ثانیه به نقطه x = 120 m می‌رود، ۲۰ ثانیه همان‌جا می‌ایستد و سپس در مدت ۴۰ ثانیه تا x = 40 m برمی‌گردد. زمان کل 30 + 20 + 40 = 90 s است. جابه‌جایی کل از ابتدا تا انتها Δx = 40 − 0 = +40 m می‌شود؛ پس سرعت متوسط v̄ = 40/90 ≈ +0.44 m/s است.

مسافت بخش رفت ۱۲۰ متر و مسافت بخش برگشت |40 − 120| = 80 m است؛ توقف مسافتی اضافه نمی‌کند. در نتیجه مسافت کل ۲۰۰ متر و تندی متوسط 200/90 ≈ 2.22 m/s است. اختلاف زیاد دو پاسخ طبیعی است: بخش بزرگی از مسیر برگشت، جابه‌جایی رفت را خنثی کرده ولی از مسافت کم نکرده است.

میانگین تندی در دو بخش را بدون میانگین‌گیری اشتباه پیدا کن

تندی متوسط معمولاً میانگین حسابی تندی‌های بخش‌ها نیست، زیرا هر تندی ممکن است برای زمان متفاوتی ادامه داشته باشد. راه عمومی این است که مسافت همه بخش‌ها و زمان لازم برای هر بخش را جداگانه پیدا کنی و سپس dکل/tکل را بنویسی.

مثلاً خودرویی نصف مسافت را با تندی 40 km/h و نصف دیگر را با 60 km/h می‌پیماید. اگر طول هر نیمه را L بگیریم، زمان‌ها L/40 و L/60 ساعت‌اند. تندی متوسط برابر 2L ÷ (L/40 + L/60) = 48 km/h است، نه 50 km/h. میانگین حسابی فقط وقتی درست است که زمان حرکت با هر تندی برابر باشد.

سرعت متوسط را از نمودار مکان–زمان بخوان

در نمودار مکان–زمان، سرعت متوسط بین دو لحظه برابر شیب خط واصل دو نقطه متناظر است: v̄ = (x2 − x1)/(t2 − t1). لازم نیست شکل نمودار میان این دو نقطه خط راست باشد. شیب مثبت، منفی یا صفرِ خط واصل به‌ترتیب سرعت متوسط مثبت، منفی یا صفر می‌دهد.

برای تندی متوسط، تنها دیدن دو سر بازه کافی نیست. باید از روی نمودار تمام نقاط تغییر جهت را پیدا کنی، تغییرات قدرمطلق مکان در هر بخش را جمع بزنی و سپس بر زمان کل تقسیم کنی. خط افقی نشان‌دهنده توقف است: به مسافت چیزی نمی‌افزاید، ولی طول زمانی آن همچنان بخشی از زمان کل است.

شرط برابری تندی متوسط و اندازه سرعت متوسط را تشخیص بده

چون مسافت همیشه بزرگ‌تر یا مساوی اندازه جابه‌جایی است، تندی متوسط نیز همیشه بزرگ‌تر یا مساوی اندازه سرعت متوسط خواهد بود. در حرکت یک‌بعدی، اگر جسم در تمام بازه بدون تغییر جهت پیش برود، مسافت و اندازه جابه‌جایی برابرند و در نتیجه این دو متوسط نیز اندازه برابر دارند.

توقف به‌تنهایی این برابری را از بین نمی‌برد، زیرا در زمان توقف نه مسافت تغییر می‌کند و نه جابه‌جایی. عامل اصلیِ نابرابری تغییر جهت و بازگشت روی بخشی از مسیر است. در رفت‌وبرگشت کامل به نقطه شروع، |v̄| = 0 اما تندی متوسط تا وقتی مسافتی طی شده باشد مثبت است.

مسیر حل پنج‌مرحله‌ای و خطاهای رایج را مرور کن

یک: محور و جهت مثبت را مشخص کن. دو: مکان ابتدا، انتها و همه نقاط تغییر جهت را بنویس. سه: برای سرعت متوسط فقط xf − xi و برای تندی متوسط مجموع قدرمطلق تغییر مکان بخش‌ها را بساز. چهار: همه زمان‌ها، حتی توقف‌ها، را جمع کن. پنج: واحدها را یکسان کن و پاسخ را با d ≥ |Δx| کنترل کن.

سه خطای رایج عبارت‌اند از تقسیم مسافت بر زمان و نامیدن آن به‌عنوان سرعت متوسط، حذف زمان توقف، و گرفتن میانگین حسابی چند تندی بدون توجه به زمان یا مسافت هر بخش. برای تمرین نمودارهای حرکت، راهنمای حرکت‌شناسی کنکور و برای تمایز سرعت‌های اندازه‌گیری‌شده در چارچوب‌های مختلف، مقاله سرعت نسبی قایق و رودخانه را بخوان.

• در محاسبات، ثانیه را با متر و ساعت را با کیلومتر سازگار نگه دار.
• علامت منفی سرعت متوسط جهت را نشان می‌دهد و به معنی منفی‌بودن تندی نیست.
• اگر جسم به نقطه شروع برگردد، برای سرعت متوسط نیازی به دانستن شکل مسیر نیست.
• میانگین تندی‌های داده‌شده را فقط پس از بررسی برابر بودن زمان‌ها حساب کن.