برای محاسبه سرعت حد میله رسانا روی ریل، حرکت رو به پایین سطح را مثبت بگیر و سه رابطه را زنجیروار بساز: ε = BLv، سپس I = ε/R و در پایان Fmag = BIL. نیروی مغناطیسی طبق قانون لنز رو به بالای سطح است و با افزایش سرعت بزرگ‌تر می‌شود. در سرعت حد، شتاب صفر است؛ بنابراین mg sinθ = B²L²vحد/R و از آن vحد = mgR sinθ/(B²L²) به دست می‌آید. این جواب فقط برای میدان عمود بر صفحه ریل‌ها، مدار بسته، سطح بدون اصطکاک و مقاومت کل ثابت معتبر است.
سرعت حد میله رسانا روی ریل را چگونه مدل کنیم؟
دو ریل رسانای موازی روی سطح شیب‌داری با زاویه θ قرار دارند و انتهای بالایی آن‌ها با یک مقاومت بسته شده است. میله‌ای به جرم m و طول مؤثر L عمود بر ریل‌هاست و بدون اصطکاک به پایین می‌لغزد. میدان مغناطیسی یکنواخت B بر صفحه ریل‌ها عمود است. R را مقاومت کل حلقه، شامل مقاومت خارجی، میله و ریل‌ها، می‌گیریم.
فرض می‌کنیم میله تماس الکتریکی خود را با هر دو ریل حفظ می‌کند، میدان و مقاومت با زمان تغییر نمی‌کنند، مقاومت هوا و خودالقایی مدار ناچیزند و اندازه میدان آن‌قدر نیست که تماس مکانیکی را برهم بزند. مجهول، تندی حدی میله است؛ تندی کمیتی نامنفی است، اما برای نوشتن نیروها محور موازی سطح و رو به پایین را مثبت انتخاب می‌کنیم.
- داده‌های مکانیکی: m، θ و g
- داده‌های الکتریکی و مغناطیسی: B، L و Rکل
- هندسه لازم: B عمود بر صفحه ریل‌ها
- محور مثبت: رو به پایین سطح شیب‌دار
رابطه‌ها و جهت نیروی ترمزی را انتخاب کن
وقتی میله با تندی v پایین می‌رود، مساحت حلقه و شار مغناطیسی تغییر می‌کند. در هندسه عمود، اندازه نیروی محرکه حرکتی ε = BLv است. مدار بسته است، پس قانون اهم جریان I = ε/R = BLv/R را می‌دهد. اگر مدار باز بود، اختلاف پتانسیل ایجاد می‌شد اما I = 0 و این مدل نیروی ترمزی نداشت.
جریان القایی در میدان خارجی به میله نیروی Fmag = BIL وارد می‌کند. با جای‌گذاری جریان، اندازه نیرو Fmag = B²L²v/R می‌شود. جهت آن را از قانون لنز می‌یابیم: اثر القایی باید با افزایش شار ناشی از پایین‌رفتن میله مخالفت کند، پس نیروی مغناطیسی رو به بالای سطح است. در محور انتخابی، این نیرو علامت منفی دارد.
- نیروی محرکه: ε = BLv
- جریان: I = BLv/R
- اندازه نیروی مغناطیسی: Fmag = B²L²v/R
- علامت نیرو در محور رو به پایین: منفی
معادله حرکت و شرط سرعت حد را بنویس
مؤلفه وزن در امتداد سطح mg sinθ و رو به پایین است. نیروی عمودی سطح بر حرکت موازی ریل‌ها اثری ندارد. قانون دوم نیوتون در محور انتخابی می‌دهد ma = mg sinθ − B²L²v/R. نیروی دوم با v تغییر می‌کند؛ بنابراین شتاب از آغاز تا رسیدن به حالت حدی ثابت نیست.
در لحظه رهاسازی v = 0 است، پس جریان و نیروی مغناطیسی صفر و شتاب اولیه g sinθ است. با زیادشدن v، نیروی ترمزی بیشتر و شتاب کمتر می‌شود. سرعت حد حالتی است که a = 0 و دو نیروی موازی سطح برابرند: mg sinθ = B²L²vحد/R. در نتیجه vحد = mgR sinθ/(B²L²). میله در مدل آرمانی به این مقدار نزدیک می‌شود و از آن عبور پایدار نمی‌کند.
مثال حل‌شده: میله روی ریل ۳۰ درجه
میله‌ای با جرم m = 0.20 kg و طول L = 0.50 m روی دو ریل بدون اصطکاک با زاویه 30° می‌لغزد. مقاومت کل مدار R = 2.0 Ω و میدان یکنواخت عمود بر صفحه ریل‌ها B = 0.80 T است. با g = 10 m/s²، سرعت حد، جریان حدی و نیروی مغناطیسی را پیدا کن.
ابتدا نیروی محرک مکانیکی را حساب می‌کنیم: mg sinθ = 0.20×10×0.50 = 1.0 N. ضریب نیروی ترمزی برابر B²L²/R = (0.80)²(0.50)²/2.0 = 0.080 N/(m/s) است. پس در حالت حدی 1.0 = 0.080vحد و vحد = 12.5 m/s به دست می‌آید.
اکنون εحد = BLvحد = 0.80×0.50×12.5 = 5.0 V و Iحد = εحد/R = 5.0/2.0 = 2.5 A است. نیروی مغناطیسی Fmag = BIL = 0.80×2.5×0.50 = 1.0 N و رو به بالای سطح می‌شود؛ برابری آن با mg sinθ = 1.0 N شرط شتاب صفر را تأیید می‌کند.
واحد و معقول‌بودن جواب را با توان کنترل کن
در زنجیره محاسبه، BLv باید ولت، I باید آمپر و BIL باید نیوتون شود. در مثال، ضریب B²L²/R نیروی ترمزی بر واحد سرعت است و واحد N/(m/s) دارد؛ تقسیم نیروی 1.0 N بر این ضریب به‌درستی m/s می‌دهد. استفاده از سانتی‌متر به‌جای متر یا مقاومت خارجی به‌جای مقاومت کل این کنترل را خراب می‌کند.
کنترل مستقل انرژی نیز داریم. در سرعت حد، آهنگ کاهش انرژی پتانسیل برابر Pgravity = mg sinθ vحد = 1.0×12.5 = 12.5 W است. توان گرمایی مدار I²R = (2.5)²×2.0 = 12.5 W می‌شود. برابری این دو عدد نشان می‌دهد انرژی مکانیکی ورودی با همان آهنگ در مقاومت‌ها به گرما تبدیل می‌شود.
روند پارامترها نیز باید معقول باشد: افزایش R جریان و ترمز را برای یک سرعت معین کم می‌کند، پس vحد بیشتر می‌شود؛ افزایش B یا L نیروی ترمزی را تقویت و vحد را کم می‌کند. اگر B به صفر میل کند، فرمول سرعت حد به بی‌نهایت میل می‌کند؛ معنای فیزیکی آن نبودن سرعت حد مغناطیسی در این مدل است، نه بی‌نهایت‌شدن واقعی سرعت میله.
خطاهای رایج و مرز اعتبار راه‌حل را بررسی کن
خطای رایج نخست این است که چون در انتها سرعت ثابت است، از آغاز حرکت a = 0 فرض شود. شرط صفرشدن شتاب فقط برای حالت حدی است. خطای دوم، هم‌جهت‌گرفتن نیروی مغناطیسی و حرکت است؛ قانون لنز نشان می‌دهد این نیرو با تغییر شار مخالفت می‌کند. خطای سوم، نوشتن I = BLv/Rخارجی و جاانداختن مقاومت میله یا ریل‌هاست.
اگر اصطکاک جنبشی وجود داشته باشد، باید نیروی آن را نیز با علامت منفی وارد کرد. اگر میدان بر صفحه ریل‌ها عمود نباشد، مؤلفه مناسب میدان در ε و نیرو ظاهر می‌شود و رابطه نهایی این صفحه مستقیم قابل استفاده نیست. برای ساخت سه حلقه استدلال، راهنمای نیروی محرکه حرکتی، مقاله قانون لنز و راهنمای نیروی مغناطیسی بر سیم حامل جریان را به‌ترتیب مرور کن.
- حرکت تا سرعت حد، شتاب ثابت ندارد.
- جهت نیروی القایی را از تغییر شار تعیین کن.
- R مقاومت کل مسیر بسته است.
- پاسخ باید هم تعادل نیرو و هم تعادل توان را بگذراند.
در مسئله سرعت حد میله رسانا روی ریل، ابتدا هندسه و جهت مثبت را مشخص کن. از حرکت میله ε = BLv، از مدار I = BLv/R و از نیروی سیم Fmag = B²L²v/R را بساز. چون این نیرو خلاف حرکت است، معادله دینامیکی ma = mg sinθ − B²L²v/R خواهد بود. در حالت حدی a = 0 و vحد = mgR sinθ/(B²L²). پاسخ را با واحد m/s، برابری دو نیرو و برابری توان mg sinθ vحد = I²R کنترل کن؛ شتاب را در مسیر رسیدن به سرعت حد ثابت فرض نکن.