سقوط آزاد و پرتاب قائم؛ محاسبه سرعت، زمان و بیشینه ارتفاع

مدل سقوط آزاد را پیش از نوشتن رابطه مشخص کن

سقوط آزاد در مدل دبیرستانی یعنی حرکت جسمی که بعد از رهاشدن یا پرتاب‌شدن، اثر مقاومت هوا بر آن ناچیز فرض می‌شود و فقط گرانش به آن شتاب می‌دهد. نام «سقوط» به معنی رو به پایین بودن همیشگی سرعت نیست؛ توپ پرتاب‌شده به بالا نیز از لحظه جداشدن از دست تا بازگشت، حرکت سقوط آزاد دارد.

نزدیک سطح زمین، اندازه شتاب گرانش را در یک مسئله کوتاه ثابت می‌گیریم. مقدار g را از صورت سؤال بردار؛ اگر عددی داده نشده باشد، قرارداد همان سؤال یا کتاب را به کار ببر. این مقاله در مثال‌ها از g = 10 m/s² استفاده می‌کند و این انتخاب را نباید بدون توجه به داده مسئله به همه سؤال‌ها تعمیم داد.

• رهاشدن یعنی سرعت اولیه صفر است؛ پرتاب‌شدن لزوماً v₀ = 0 نیست.
• جهت شتاب گرانش در تمام مسیر رو به پایین است.
• ثابت‌گرفتن g و حذف مقاومت هوا، فرض‌های مدل مسئله‌اند.

محور و علامت‌ها را یک‌بار انتخاب کن

انتخاب جهت مثبت اختیاری است، اما نتیجه فیزیکی نباید به این انتخاب وابسته شود. اگر محور y را رو به بالا مثبت بگیری، سرعت جسم هنگام بالا رفتن مثبت، هنگام پایین آمدن منفی و شتاب در همه لحظه‌ها a = −g است. اگر پایین را مثبت بگیری، همین علامت‌ها برعکس می‌شوند و a = +g خواهد بود.

مبدأ مکان نیز لازم نیست سطح زمین باشد. می‌توانی محل پرتاب را y₀ = 0 بگیری تا جابه‌جایی مستقیماً Δy = y − y₀ شود. مهم این است که ارتفاع و جابه‌جایی را یکی نگیری: ارتفاع معمولاً فاصله عمودی از یک سطح مرجع است، اما جابه‌جایی می‌تواند مثبت، صفر یا منفی باشد.

• بالا مثبت: a = −g و سرعتِ فرود منفی است.
• پایین مثبت: a = +g و سرعتِ سقوط مثبت است.
• علامت منفی سرعت جهت را نشان می‌دهد، نه منفی‌بودن تندی را.

از میان سه رابطه حرکت، کوتاه‌ترین را انتخاب کن

با ثابت بودن شتاب، سه رابطه اصلی عبارت‌اند از v = v₀ + at، Δy = v₀t + ½at² و v² − v₀² = 2aΔy. رابطه سوم زمان ندارد و برای یافتن سرعت در یک ارتفاع یا بیشینه ارتفاع مناسب است. رابطه اول جابه‌جایی ندارد و زمان رسیدن به یک سرعت مشخص، مانند سرعت صفر در اوج، را سریع می‌دهد.

قبل از جای‌گذاری، داده‌های معلوم و خواسته را فهرست کن. رابطه‌ای را برگزین که کمیت مجهول اضافی نداشته باشد. فرمول مستقل تازه‌ای برای هر حالت حفظ نکن؛ همین سه رابطه، همراه با انتخاب درست علامت‌ها، سقوط از سکون، پرتاب رو به بالا و پرتاب رو به پایین را پوشش می‌دهند.

مسئله را با یک مسیر حل پنج‌مرحله‌ای پیش ببر

یک: بازه حرکت را مشخص کن؛ مثلاً از پرتاب تا اوج یا از اوج تا زمین. دو: محور، جهت مثبت و مبدأ را کنار شکل بنویس. سه: v₀، v، a، Δy و t را با علامت وارد جدول کوچک کن. چهار: رابطه‌ای را انتخاب کن که فقط یک مجهول داشته باشد. پنج: علامت و اندازه پاسخ را با وضعیت جسم کنترل کن.

اگر حرکت چند بخش دارد، برای هر بخش ابتدا و انتهای روشن تعیین کن. سرعت انتهای بخش اول، سرعت ابتدای بخش دوم است. شکستن بی‌دلیل حرکت به «بالا رفتن» و «پایین آمدن» همیشه لازم نیست؛ برای بازگشت به یک تراز می‌توان یک معادله جابه‌جایی را روی کل بازه نوشت.

مثال حل‌شده: پرتاب توپ از بام و رسیدن به زمین

توپی از بامی به ارتفاع 15 m با سرعت اولیه 20 m/s رو به بالا پرتاب می‌شود. با فرض g = 10 m/s² و ناچیز بودن مقاومت هوا، زمان رسیدن به اوج، افزایش ارتفاع نسبت به بام، زمان برخورد با زمین و سرعت لحظه برخورد را بیاب.

بالا را مثبت و محل پرتاب را y₀ = 0 می‌گیریم؛ پس a = −10 m/s² و زمین در y = −15 m است. در اوج v = 0، بنابراین از v = v₀ + at داریم 0 = 20 − 10t و زمان رسیدن به اوج t = 2 s است. برای افزایش ارتفاع از v² − v₀² = 2aΔy استفاده می‌کنیم: 0 − 20² = 2(−10)Δy؛ در نتیجه Δy = 20 m و بیشترین ارتفاع از زمین 35 m می‌شود.

برای کل حرکت تا زمین می‌نویسیم Δy = v₀t + ½at²: −15 = 20t − 5t². پس 5t² − 20t − 15 = 0 و ریشه فیزیکی t = 2 + √7، یعنی تقریباً 4.65 s است؛ ریشه منفی زمان این بازه را توصیف نمی‌کند. سرعت برخورد v = 20 − 10(2 + √7) = −10√7 m/s، تقریباً −26.5 m/s است. علامت منفی یعنی جهت سرعت رو به پایین و تندی برخورد 26.5 m/s است.

تقارن رفت و برگشت را فقط در ارتفاع یکسان به کار ببر

در مدل بدون مقاومت هوا، اگر جسم از یک ارتفاع بالا برود و دوباره به همان ارتفاع برگردد، زمان رفت از آن تراز تا اوج با زمان برگشت از اوج تا همان تراز برابر است. اندازه سرعت در دو عبور نیز برابر و جهت‌ها مخالف‌اند. این نتیجه را می‌توان از رابطه‌های شتاب ثابت به دست آورد.

اگر نقطه برخورد پایین‌تر یا بالاتر از نقطه پرتاب باشد، کل زمان حرکت دو برابر زمان اوج نیست و اندازه سرعت برخورد لزوماً با سرعت پرتاب برابر نمی‌شود. در مثال قبل، توپ پس از بازگشت به تراز بام هنوز 15 متر تا زمین فاصله دارد؛ بنابراین استفاده از 2 × 2 s به‌عنوان زمان برخورد نادرست است.

نمودارها و چهار خطای رایج را کنترل کن

با محور مثبت رو به بالا، نمودار سرعت–زمان خطی با شیب −g است و در لحظه اوج محور زمان را قطع می‌کند. نمودار مکان–زمان سهمیِ رو به پایین است و در اوج شیب آن صفر می‌شود. نمودار شتاب–زمان یک خط افقی در a = −g است؛ پس صفر شدن شیب نمودار مکان به معنی صفر شدن شتاب نیست.

چهار خطای رایج عبارت‌اند از صفرگرفتن شتاب در اوج، مثبت‌گذاشتن g در محوری که بالا مثبت است، برابرگرفتن مسافت و جابه‌جایی در رفت‌وبرگشت، و پذیرفتن هر دو ریشه معادله درجه‌دو بدون بررسی بازه زمانی. برای تمرین حرکت دوبعدی، راهنمای پرتاب افقی را بخوان؛ آنجا نیز حرکت عمودی با همین شتاب گرانش تحلیل می‌شود، اما حرکت افقی هم‌زمان وجود دارد.