بیرون زمین، شتاب گرانش با مربع فاصله از مرکز زمین کاهش مییابد: در ارتفاع h از سطح، g_h = g₀[R/(R + h)]². درون زمین نمیتوان همین رابطه را با r = R − d و کل جرم زمین به کار برد، زیرا لایههای بیرون از شعاع r اثر خالصی بر جسم ندارند. در مدل ساده زمینِ کروی با چگالی یکنواخت، g با فاصله از مرکز متناسب است؛ پس در عمق d داریم g_d = g₀(1 − d/R). بنابراین ارتفاع را به فاصله از مرکز اضافه میکنیم، اما برای عمق از رابطه خطیِ مدل یکنواخت استفاده میکنیم.
شتاب گرانش سطح را نقطه مرجع بگیر
برای جسمی با جرم m در فاصله r از مرکز یک جرم کروی M، قانون گرانش نیوتن F = GMm/r² را میدهد. با قرار دادن F = mg، جرم جسم حذف میشود و g(r) = GM/r² به دست میآید. روی سطح زمین r = R است؛ بنابراین g₀ = GM/R².
در بیشتر مسئلههای مقایسهای لازم نیست G یا جرم زمین را بدانیم. تقسیم رابطه نقطه موردنظر بر رابطه سطح، ثابتهای مشترک را حذف میکند. این روش هم محاسبه را کوتاه میکند و هم احتمال خطای توان و واحد را کاهش میدهد.
- روی سطح: g₀ = GM/R²
- بیرون زمین: g(r) = GM/r²
- وزن جسم در هر نقطه: W = mg(r)
در ارتفاع، فاصله را از مرکز زمین حساب کن
اگر جسم در ارتفاع h از سطح باشد، فاصله آن تا مرکز زمین r = R + h است. با تقسیم g_h = GM/(R + h)² بر g₀ = GM/R² میرسیم به g_h/g₀ = [R/(R + h)]². پس ارتفاع باید به شعاع اضافه شود؛ جایگذاری خود h به جای r فقط وقتی معنا داشت که ارتفاع از مرکز سنجیده شده باشد، نه از سطح.
برای مثال، در ارتفاعی برابر شعاع زمین یعنی h = R، فاصله جسم تا مرکز 2R است و g_h = g₀/4 میشود. دو برابرشدن فاصله از مرکز، نه دو برابرشدن ارتفاع از سطح، شتاب گرانش را به یکچهارم میرساند.
در عمق، فقط جرم محصور را وارد رابطه کن
در عمق d، فاصله نقطه تا مرکز r = R − d است؛ اما استفاده از g = GM/(R − d)² با کل جرم زمین نادرست است و حتی کاهش فاصله را بهاشتباه به افزایش g تبدیل میکند. برای یک کره همگن، لایههای کروی بیرون از r میدان خالص صفر در نقطه داخلی دارند و تنها جرم محصور در شعاع r مؤثر است.
اگر چگالی یکنواخت ρ باشد، جرم محصور M_r با حجم و در نتیجه با r³ متناسب است. پس g(r) = GM_r/r² با r متناسب میشود. مقایسه با سطح میدهد g_d/g₀ = r/R = (R − d)/R؛ یعنی g_d = g₀(1 − d/R). این رابطه یک مدل آموزشی است و برای زمین واقعی با چگالی متغیر، رابطه دقیق محسوب نمیشود.
- فاصله تا مرکز در عمق d: r = R − d
- مدل چگالی یکنواخت: g_d = g₀(1 − d/R)
- در مرکز مدل: d = R و g = 0
مثال حلشده: مقایسه g در ارتفاع و عمق
دو نقطه را در نظر بگیر: نقطه A در ارتفاع h = R/2 از سطح و نقطه B در عمق d = R/4 قرار دارد. با فرض زمین کروی و چگالی یکنواخت، g را در هر نقطه بر حسب g₀ و نسبت g_B به g_A را پیدا کن.
برای A فاصله تا مرکز R + R/2 = 3R/2 است. بنابراین g_A/g₀ = [R/(3R/2)]² = (2/3)² = 4/9. برای B از رابطه عمق استفاده میکنیم: g_B/g₀ = 1 − 1/4 = 3/4.
نسبت خواستهشده g_B/g_A = (3/4)/(4/9) = 27/16 است. کنترل کیفی نیز سازگار است: هر دو مقدار از g₀ کمترند، اما نقطه کمعمق B نسبت به نقطه بلند A شتاب گرانش بیشتری دارد.
ارتفاع را از نسبت دادهشده به دست آور
اگر صورت سؤال بگوید g_h = αg₀، از α = [R/(R + h)]² شروع کن. ریشه مثبت میدهد √α = R/(R + h) و در نتیجه h = R(1/√α − 1). چون فاصله و ارتفاع نامنفیاند، ریشه منفی معنای فیزیکی ندارد.
مثلاً اگر g_h = g₀/9 باشد، √α = 1/3 و R + h = 3R است؛ پس h = 2R. توجه کن که نقطه در فاصله 3R از مرکز قرار دارد، ولی ارتفاع آن از سطح 2R است.
کاهش g را با تغییر جرم اشتباه نگیر
جرم جسم با جابهجایی از سطح به ارتفاع یا عمق تغییر نمیکند، اما وزن W = mg به اندازه g وابسته است. اگر g در نقطهای نصف مقدار سطح شود، عدد نیروسنج ایدئال برای جسم ساکن نیز نصف میشود؛ خود جرم همان مقدار قبلی باقی میماند.
عدد ترازو در یک دستگاه شتابدار همیشه صرفاً mg نیست و به نیروی عمودی تکیهگاه وابسته است. برای جداکردن اثر مکان از اثر شتاب آسانسور، ابتدا g محلی را پیدا کن و سپس قانون دوم نیوتن را با همان g بنویس.
پاسخ را با مرزها و فرض مدل کنترل کن
در h = 0 رابطه ارتفاع باید g₀ بدهد و با بزرگشدن h به صفر نزدیک شود. در مدل همگنِ عمق، d = 0 باید g₀ و d = R باید صفر بدهد. اگر پاسخ در ارتفاع از g₀ بیشتر شد یا در مرکز مقداری غیرصفر به دست آمد، فاصله مرجع یا جرم محصور را اشتباه انتخاب کردهای.
در حل دبیرستانی، رابطه خطی عمق فقط وقتی مجاز است که زمین کروی با چگالی یکنواخت فرض شده باشد یا سؤال همین مدل را بیان کند. برای بیرون یک توزیع کروی، رابطه عکس مجذور فاصله از مرکز به کار میرود. نوشتن r = R + h یا r = R − d در ابتدای حل، مرز میان این دو وضعیت را روشن نگه میدارد.
برای محاسبه تغییر g، نخست مشخص کن نقطه بیرون زمین است یا درون آن. در ارتفاع h، فاصله تا مرکز R + h و نسبت شتاب گرانش [R/(R + h)]² است. در عمق d، فقط با فرض زمین کروی و چگالی یکنواخت از g_d/g₀ = 1 − d/R استفاده کن. جرم جسم آزمایشی در هر دو نسبت حذف میشود. پاسخ را با سه مرز کنترل کن: در سطح g = g₀، با دورشدن از زمین g کاهش مییابد و در مرکز مدل یکنواخت g = 0 است.