برای حل شناوری جسم در مرز دو مایع، نیروی شناوری هر بخش را جدا حساب و سپس جمع کن. اگر جسم با حجم کل V، حجمی برابر V₁ در مایع بالایی با چگالی ρ₁ و حجمی برابر V₂ در مایع پایینی با چگالی ρ₂ داشته باشد، در تعادل قائم داریم ρ₁gV₁ + ρ₂gV₂ = ρobject gV. وقتی جسم کاملاً زیر سطح آزاد و فقط میان این دو مایع است، V₁ + V₂ = V نیز برقرار است. پس به‌جای استفاده از یک چگالی میانگینِ حدسی، وزن واقعی هر مایع جابهجاشده را وارد کن.
شناوری جسم در مرز دو مایع را با دو حجم جابهجاشده بنویس
اصل ارشمیدس می‌گوید نیروی شناوری برابر وزن شاره جابهجاشده است. وقتی یک بخش جسم در مایع بالا و بخش دیگر در مایع پایین قرار دارد، جسم از هر دو مایع حجم جابه‌جا می‌کند. بنابراین نیروی بالاسوی کل برابر Fb = ρ₁gV₁ + ρ₂gV₂ است؛ V₁ و V₂ حجم‌های جسم در دو مایع‌اند، نه حجم کل مایع‌های داخل ظرف.
برای جسم آزاد و ساکن، نیروی بالاسوی کل با وزن جسم برابر می‌شود: ρ₁gV₁ + ρ₂gV₂ = mg. اگر جسم یکنواخت یا چگالی متوسط آن معلوم باشد، m = ρobjectV و g از دو طرف حذف می‌شود. این حذف به معنی نبودن گرانش نیست؛ فقط همه جمله‌های تعادل ضریب مشترک g دارند.
- مایع بالایی: چگالی کمتر ρ₁ و حجم جابهجاشده V₁
- مایع پایینی: چگالی بیشتر ρ₂ و حجم جابهجاشده V₂
- تعادل قائم: ρ₁V₁ + ρ₂V₂ = ρobjectV
شرط ماندن جسم در مرز دو مایع چیست؟
در مدل رایج، دو مایع نامخلوط‌اند و مایع چگال‌تر پایین ظرف قرار دارد؛ یعنی ρ₁ < ρ₂. اگر جسم کاملاً در مجموعه دو مایع غوطه‌ور باشد، برای ماندن در مرز باید چگالی متوسط جسم میان چگالی دو مایع قرار گیرد: ρ₁ ≤ ρobject ≤ ρ₂. در حالت بینابینیِ دقیق ρ₁ < ρobject < ρ₂، بخشی از جسم در هر مایع قرار می‌گیرد.
اگر چگالی جسم از هر دو مایع کمتر باشد، معادله دوحجمی جواب مثبتی برای ماندن کامل در مرز نمی‌دهد و جسم به سوی سطح آزاد بالا می‌رود. اگر از هر دو بیشتر باشد، نیروی شناوریِ بیشینه نیز وزن را جبران نمی‌کند و جسم پایین می‌رود. برابری چگالی جسم با یکی از مایع‌ها یک حالت مرزی است و می‌تواند یکی از حجم‌ها را صفر کند.
فرمول کسر حجم در مایع بالا و پایین را به دست آور
وقتی کل جسم در دو مایع است، V₁ + V₂ = V. با جای‌گذاری V₁ = V − V₂ در معادله تعادل می‌رسیم به ρ₁(V − V₂) + ρ₂V₂ = ρobjectV. پس کسر حجم جسم در مایع پایینی برابر V₂/V = (ρobject − ρ₁)/(ρ₂ − ρ₁) است.
به همین روش، کسر حجم در مایع بالایی V₁/V = (ρ₂ − ρobject)/(ρ₂ − ρ₁) می‌شود. جمع این دو کسر باید دقیقاً یک باشد. اگر یکی از کسرها منفی یا بزرگ‌تر از یک شد، مسئله خطای حسابی ندارد؛ فرض تعادل کامل در مرز با چگالی‌های داده‌شده ناممکن است.
- سهم مایع پایین: V₂/V = (ρobject − ρ₁)/(ρ₂ − ρ₁)
- سهم مایع بالا: V₁/V = (ρ₂ − ρobject)/(ρ₂ − ρ₁)
- کنترل فوری: V₁/V + V₂/V = 1
مثال حل‌شده: جسم در مرز روغن و مایع چگال‌تر
جسم یکنواختی با حجم 400 cm³ و چگالی 950 kg/m³ کاملاً در مرز دو مایع نامخلوط قرار دارد. چگالی مایع بالایی 800 kg/m³ و چگالی مایع پایینی 1200 kg/m³ است. حجم جسم در هر مایع را پیدا کن. اثر کشش سطحی و تماس با دیواره ناچیز است.
کسر حجم در مایع پایینی برابر (950 − 800)/(1200 − 800) = 150/400 = 0.375 است. پس V₂ = 0.375×400 = 150 cm³. حجم باقی‌مانده در مایع بالایی قرار دارد: V₁ = 400 − 150 = 250 cm³.
کنترل نیرو را بدون تبدیل cm³ نیز می‌توان نسبتی انجام داد: 800×250 + 1200×150 = 380000 و 950×400 = 380000؛ پس وزن دو مایع جابهجاشده با وزن جسم برابر است. همچنین 950 میان 800 و 1200 قرار دارد و هر دو حجم مثبت‌اند، بنابراین وضعیت مرزی ممکن است.
اگر بخشی از جسم بیرون مایع باشد، رابطه را تغییر بده
رابطه V₁ + V₂ = V فقط وقتی درست است که هیچ بخشی از جسم بالای سطح آزاد نباشد. اگر حجمی مانند Vair بیرون مایع باشد، باید V₁ + V₂ + Vair = V بنویسی. در مسائل دبیرستانی معمولاً شناوری هوا در برابر مایع‌ها ناچیز فرض می‌شود، اما حجم بیرون را نمی‌توان در مجموع هندسی حذف کرد.
در این حالت معادله تعادل ρ₁V₁ + ρ₂V₂ = ρobjectV باقی می‌ماند، ولی دو مجهول حجمی را فقط با همین یک معادله نمی‌توان یافت. صورت سؤال باید یکی از ارتفاع‌ها، شکل هندسی، نسبت حجم‌ها یا محل سطح آزاد را نیز بدهد. ساختن یک جواب یکتا بدون این داده اضافه، بیش‌حل‌کردن مسئله است.
دو لایه مایع را با مخلوط همگن اشتباه نگیر
در ظرف دولایه، هر قسمت جسم شاره‌ای با چگالی متفاوت جابه‌جا می‌کند؛ پس دو جمله ρ₁V₁ و ρ₂V₂ لازم‌اند. اما اگر دو مایع کاملاً مخلوط و همگن شده باشند، دیگر مرز جداگانه‌ای وجود ندارد و باید چگالی نهایی مخلوط را برای کل حجم غوطه‌ور به کار برد. این دو مدل با وجود شباهت واژه «دو مایع»، مسئله‌های متفاوتی‌اند.
همچنین نیروی شناوری را با نیروی سطح مشترک دو مایع جمع نکن. در مدل ایدئال این مقاله، اثر کشش سطحی ناچیز است و جسم به کف یا دیواره تماس ندارد. اگر نخ، تکیه‌گاه یا تماس وجود داشته باشد، آن نیرو باید جدا در نمودار جسم آزاد وارد شود.
چک‌لیست حل مسئله شناوری بین دو مایع را اجرا کن
ابتدا مایع بالا و پایین را از روی چگالی مرتب کن و حجمِ قرارگرفته در هر کدام را روی شکل نام‌گذاری کن. سپس برای هر بخش، وزن مایع جابهجاشده را بنویس و فقط در حالت تعادل آزاد آن‌ها را با وزن جسم برابر قرار بده. بعد رابطه هندسی حجم‌ها را متناسب با بیرون‌بودن یا نبودن بخشی از جسم اضافه کن.
برای مرور مبنای نیرو به راهنمای اصل ارشمیدس و نیروی شناوری برو. اگر مسئله به اختلاف ارتفاع ستون‌های دو مایع مربوط است، راهنمای ظروف مرتبط مدل فشار را توضیح می‌دهد؛ و اگر جرم، حجم یا فضای خالی جسم مجهول است، مقاله چگالی مخلوط و جسم توخالی ابزار لازم را کامل می‌کند.
- چگالی‌ها را مرتب و فرض نامخلوط‌بودن را بررسی کن.
- V₁ و V₂ را از روی بخش واقعی جسم تعریف کن.
- نیروی شناوری کل را از جمع دو وزن جابهجاشده بساز.
- رابطه هندسی حجم‌ها را جدا بنویس.
- مثبت‌بودن کسرها، جمع حجم‌ها و تعادل نیرو را کنترل کن.
در شناوری جسم در مرز دو مایع، هر مایع فقط به اندازه حجم جسمی که در همان مایع قرار دارد نیروی شناوری می‌سازد. برای جسم کاملاً غوطه‌ور، دو رابطه ρ₁V₁ + ρ₂V₂ = ρobjectV و V₁ + V₂ = V، سهم هر مایع را تعیین می‌کنند. پاسخ فقط وقتی پذیرفتنی است که هر دو حجم نامنفی و مجموعشان برابر حجم کل باشد؛ در غیر این صورت جسم در مرز فرض‌شده تعادل ندارد یا مدل باید بخش بیرون از مایع، نخ، تماس یا کشش سطحی را نیز در نظر بگیرد.