پاسخ مستقیم این است: اگر ظرفی با شتاب افقی a حرکت کند، سطح آزاد مایع بر جهت گرانش مؤثر عمود میایستد و اندازه زاویه آن با افق از tanθ = a/g به دست میآید. سطح در سمتی بالاتر است که خلاف جهت شتاب ظرف قرار دارد. اگر فاصله افقی دو سر ظرف L باشد، اختلاف ارتفاع آنها Δh = (a/g)L است. برای شتابی که مؤلفه قائم هم دارد، بهجای g از اندازه گرانش مؤثر قائم استفاده کن؛ سپس جهت شیب، زاویه و تغییر ارتفاع را جداگانه کنترل کن.
گرانش مؤثر را در چارچوب ظرف بساز
پس از مدتی حرکت با شتاب ثابت، مایع نسبت به ظرف ساکن میشود و دیگر درون ظرف جریان ندارد. برای تحلیل این حالت از دید ناظر همراه ظرف، علاوه بر وزن، اثر لختی را با شتابی خلاف شتاب ظرف در نظر میگیریم. جمع برداری این دو، گرانش مؤثر g_eff را میسازد.
اگر ظرف به سمت راست شتاب a داشته باشد، مؤلفه افقی گرانش مؤثر به چپ و اندازهاش a است؛ مؤلفه قائم نیز g رو به پایین است. بنابراین g_eff مورب و رو به پایین–چپ خواهد بود. سطح آزادِ مایع در تعادل بر این بردار عمود میایستد، درست همانطور که سطح مایع ساکن در حالت عادی بر g قائم عمود است.
- شتاب مجازی در چارچوب ظرف، خلاف شتاب ظرف است.
- سطح آزاد بر بردار گرانش مؤثر عمود است.
- برای شتاب ظرف به راست، سطح مایع در سمت چپ بالاتر میرود.
زاویه و جهت سطح را بدون حفظکردن شکل پیدا کن
برای شتاب افقی، مثلث مؤلفههای g_eff یک ضلع افقی a و یک ضلع قائم g دارد. چون سطح آزاد بر g_eff عمود است، زاویه θ سطح با افق از tanθ = a/g به دست میآید. این θ اندازه زاویه است؛ جهت شیب را باید جدا از بردارها تعیین کنی.
راه کنترل جهت ساده است: مایع در چارچوب ظرف تمایل ظاهری دارد خلاف جهت شتاب جمع شود. پس اگر خودرو یا مخزن به راست شتاب بگیرد، سطح در چپ بالا و در راست پایین میرود. هنگام ترمز، شتاب خودرو خلاف جهت حرکت است و سطح مایع در جلوی خودرو بالا میآید؛ جهت سرعت بهتنهایی ملاک نیست.
- زاویه با افق: tanθ = a/g
- تندی ظرف زاویه را تعیین نمیکند؛ شتاب تعیین میکند.
- سمت بالاتر سطح: خلاف جهت شتاب افقی ظرف
اختلاف ارتفاع دو سر ظرف را از شیب سطح حساب کن
اگر فاصله افقی میان دو نقطه از سطح آزاد L و اختلاف تراز قائم آنها Δh باشد، از هندسه tanθ = Δh/L داریم. با ترکیب این رابطه و tanθ = a/g نتیجه میشود Δh = aL/g. پس عرض افقی ظرف مهم است، نه طول مایل سطح مایع.
این رابطه اختلاف ارتفاع دو سر را میدهد، نه مقدار بالاآمدن هر سر نسبت به حالت اولیه. در ظرفی با مقطع یکنواخت و بدون سرریز، پایستگی حجم باعث میشود یک سر به اندازه Δh/2 بالا و سر دیگر به اندازه Δh/2 پایین برود. اگر شکل ظرف یا سطح مقطع دو سمت یکسان نباشد، این نصفکردن معتبر نیست و باید حجم جابهجاشده را جدا بررسی کرد.
مثال حلشده: مخزن در خودروی شتابگیرنده
مخزن بازی با طول افقی 1.20 m روی خودرویی قرار دارد که با شتاب ثابت 2.5 m/s² به راست حرکت میکند. با g = 10 m/s²، زاویه سطح آب با افق و اختلاف ارتفاع دو انتهای آن را بیاب.
از tanθ = a/g داریم tanθ = 2.5/10 = 0.25؛ بنابراین θ ≈ 14.0° است. اختلاف ارتفاع نیز Δh = aL/g = (2.5×1.20)/10 = 0.30 m میشود.
چون شتاب خودرو به راست است، انتهای چپ سطح آب 30 cm بالاتر از انتهای راست قرار میگیرد. اگر مخزن مقطع مستطیلی یکنواخت داشته باشد و آب سرریز نکند، سطح چپ نسبت به تراز اولیه 15 cm بالا و سطح راست 15 cm پایین میرود. جمع این دو تغییر همان اختلاف ارتفاع 30 cm است.
شتاب قائم یا ترکیبی را با مؤلفههای گرانش مؤثر حل کن
اگر ظرف افزون بر شتاب افقی a_x، شتاب قائم a_y هم داشته باشد، یک دستگاه مختصات با جهت مثبت رو به بالا انتخاب کن. در چارچوب ظرف، مؤلفه قائم رو به پایینِ گرانش مؤثر اندازه g + a_y دارد؛ بنابراین وقتی ظرف رو به بالا شتاب میگیرد، گرانش مؤثر بیشتر میشود و tanθ = |a_x|/(g + a_y) خواهد بود.
اگر شتاب قائم ظرف رو به پایین باشد، a_y منفی است و مخرج کاهش مییابد. در سقوط آزاد ایدئال، a_y = −g و گرانش مؤثر صفر میشود؛ مایع بیوزن است و دیگر نمیتوان سطح آزاد افقی یا شیبدار معمول را با این رابطه تعریف کرد. پس پیش از تقسیم، صفر یا بسیار کوچکشدن مؤلفه قائم را بررسی کن.
فشار را در راستای گرانش مؤثر مقایسه کن
در مایعِ ساکن نسبت به ظرف شتابدار، فشار در جهت g_eff افزایش مییابد. دو نقطه روی سطح آزاد هر دو فشار جو دارند؛ به همین دلیل خط وصلکننده آنها بر g_eff عمود است. این نگاه، رابطه زاویه را به قانون فشار هیدروستاتیکی پیوند میدهد و مانع حدسزدن شیب میشود.
برای اختلاف فشار میان دو نقطه، فقط اختلاف عمق قائم معمولی را بهکار نبر؛ وقتی شتاب افقی وجود دارد، تغییر مکان افقی نیز بر فشار اثر میگذارد. در دستگاهی با x به راست و y به بالا، برای شتاب افقی a به راست میتوان نوشت ΔP = ρ(−aΔx − gΔy). روی سطح آزاد ΔP = 0 است و از همین شرط، Δy/Δx = −a/g به دست میآید.
مسیر حل و خطاهای رایج را در شش گام کنترل کن
یک: جهت شتاب ظرف را با پیکان رسم کن. دو: در چارچوب ظرف، پیکان شتاب مجازی را خلاف آن بکش. سه: این پیکان را با g جمع و g_eff را بساز. چهار: سطح آزاد را عمود بر g_eff رسم کن. پنج: زاویه را از نسبت مؤلفه افقی به قائم و اختلاف ارتفاع را از Δh = Ltanθ حساب کن. شش: با حالت a = 0، واحدها و سمت بالاتر سطح پاسخ را کنترل کن.
سه خطای رایج عبارتاند از تعیین شیب از جهت سرعت بهجای شتاب، گرفتن L بهعنوان طول مایل سطح، و یکیدانستن Δh با بالاآمدن یک سر. همچنین رابطه tanθ = a/g فقط برای شتاب کاملاً افقی است. برای مرور فشار در عمق به راهنمای فشار هیدروستاتیکی، برای ساخت مؤلفهها به مقاله تجزیه بردار و برای تشخیص نیروها و جهتها به راهنمای نمودار جسم آزاد مراجعه کن.
در ظرفی که با شتاب ثابت حرکت میکند، مسئله را در چارچوب همراه ظرف حل کن: گرانش مؤثر از جمع g رو به پایین و شتاب مجازی خلاف شتاب ظرف ساخته میشود و سطح آزاد بر آن عمود است. برای شتاب افقی، tanθ = a/g و Δh = aL/g؛ سمت خلاف شتاب بالاتر میرود. در شتاب ترکیبی، مؤلفههای گرانش مؤثر را بساز و نسبت افقی به قائم را در تانژانت قرار بده. زاویه را با افق، L را فاصله افقی و Δh را اختلاف تراز بگیر و در پایان حد a = 0 و جهت پاسخ را بررسی کن.