پاسخ مستقیم این است: در تعادل الکتروستاتیکی، میدان در حجم ماده رسانا صفر و تمام نقاط پیوسته رسانا همپتانسیلاند؛ بار اضافی روی سطحها قرار میگیرد و میدان درست بیرون سطح، عمود بر آن است. اگر در حفره بسته رسانا بار q بگذاریم، بار القایی کل سطح داخلی برابر −q میشود و باقی بار خالص رسانا روی سطح خارجی مینشیند. برای حل تستها کافی است ابتدا ناحیه «ماده رسانا» را از «حفره» جدا کنی، سپس یک سطح گاوسی کاملاً درون ماده رسانا بسازی و پایستگی بار را به کار ببری.
چهار نتیجه تعادل الکتروستاتیکی را از یک ایده بساز
بارهای آزاد رسانا تا وقتی نیروی خالص داشته باشند حرکت میکنند. در تعادل الکتروستاتیکی دیگر حرکت جهتداری وجود ندارد؛ پس میدان الکتریکی در حجم ماده رسانا باید صفر باشد. از E = 0 و رابطه ΔV = −∫E·dl نتیجه میشود اختلاف پتانسیل میان هر دو نقطه از یک رسانای پیوسته صفر است و رسانا یک جسم همپتانسیل محسوب میشود.
اگر بار اضافی در حجم رسانا باقی میماند، یک سطح گاوسی کوچک پیرامون آن با وجود E = 0 شار صفر اما بار محصور ناصفر داشت و قانون گاوس نقض میشد. پس بار اضافی روی سطحهای رسانا قرار میگیرد. همچنین مؤلفه مماسی میدان روی سطح باید صفر باشد؛ وگرنه بارها روی سطح حرکت میکردند. بنابراین میدان درست بیرون رسانا بر سطح عمود است.
- در حجم ماده رسانا: E = 0
- رسانای پیوسته: V ثابت
- بار اضافی: روی سطحها
- میدان نزدیک سطح: بدون مؤلفه مماسی
حجم رسانا، حفره و فضای بیرون را با هم اشتباه نگیر
جمله «میدان داخل رسانا صفر است» درباره خود ماده رساناست، نه هر فضای خالی که از نظر هندسی داخل آن دیده میشود. میدان در یک حفره ممکن است صفر یا ناصفر باشد. اگر حفره بسته هیچ باری نداشته باشد و میدان خارجی ثابت باشد، سطح رسانا همپتانسیل میماند و در حالت الکتروستاتیکی میدان حفره صفر است؛ این همان پایه حفاظ الکتریکی است.
اگر داخل حفره بار قرار گیرد، میدان حفره معمولاً ناصفر میشود، اما میدان در دیواره فلزی همچنان صفر است. پس در شکل مسئله ناحیهها را رنگ یا نامگذاری کن: فلز، فضای حفره و فضای بیرون. هر بار که E = 0 مینویسی، کنار آن مشخص کن منظور کدام ناحیه است.
بار سطحهای حفره را در سه گام پیدا کن
گام یک: یک سطح گاوسی بسته رسم کن که کاملاً در ضخامت ماده رسانا باشد و حفره را دور بزند. چون در تمام نقاط این سطح E = 0 است، شار صفر و طبق قانون گاوس بار کل محصور نیز صفر است. اگر مجموع بارهای آزاد داخل حفره q_in باشد، باید q_in + Q_inner = 0 و در نتیجه Q_inner = −q_in باشد.
گام دو: بار خالص خود رسانا را Q_conductor بنام. این بار میان سطح داخلی و خارجی تقسیم میشود، پس Q_inner + Q_outer = Q_conductor. بنابراین Q_outer = Q_conductor + q_in. گام سه: تنها در صورت وجود تقارن کافی، این بار کل را بر مساحت تقسیم کن و چگالی سطحی یکنواخت بنویس؛ نزدیکبودن بار به یک سوی حفره توزیع بار داخلی را نامتقارن میکند، ولی مقدار کل −q_in تغییر نمیکند.
- سطح گاوسی را درون ماده رسانا قرار بده.
- از شار صفر، Q_inner = −q_in را بگیر.
- از پایستگی بار، Q_outer = Q_conductor + q_in را به دست آور.
- بار کل را با چگالی بار موضعی یکی نگیر.
مثال حلشده: بار نقطهای در حفره رسانای باردار
پوسته رسانایی با بار خالص +2 μC یک حفره بسته دارد. بار نقطهای +5 μC بدون تماس با دیواره داخل حفره قرار میگیرد. بار کل سطح داخلی و خارجی پوسته را پیدا کن. آیا میتوان گفت بار روی هر سطح یکنواخت است؟
سطح گاوسی را در ضخامت فلز و پیرامون حفره میگیریم. میدان روی آن صفر است، پس بار محصور صفر میشود: +5 + Q_inner = 0 و Q_inner = −5 μC. اکنون پایستگی بار خود پوسته را مینویسیم: Q_inner + Q_outer = +2 μC؛ بنابراین Q_outer = +7 μC.
از دادههای مسئله فقط بار کل دو سطح معلوم است. اگر حفره کروی باشد اما بار نقطهای در مرکز آن نباشد، چگالی بار سطح داخلی یکنواخت نیست. یکنواختی سطح خارجی نیز به هندسه سطح بیرونی و میدانها یا اجسام باردار پیرامون وابسته است. پس نبود اطلاعات تقارنی اجازه تقسیم ساده Q/A را نمیدهد.
قفس فاراده را با بازآرایی بار توضیح بده
وقتی یک رسانای بسته در میدان خارجی قرار میگیرد، بارهای آزاد آن بازآرایی میشوند تا میدان در ماده رسانا صفر و سطح آن همپتانسیل شود. در تعادل، این شرط مرزی باعث میشود حفره بسته و خالی از بار از میدان الکتروستاتیکی بیرون محافظت شود. لازم نیست رسانا خنثی باشد؛ بار خالص میتواند روی سطح خارجی قرار گیرد و در عین حال میدان حفره خالی صفر بماند.
این نتیجه برای وضعیت الکتروستاتیکی و پوسته بسته بیان میشود. سوراخ بزرگ، اتصال مستقیم یک رسانا به داخل حفره یا میدانهای متغیر با زمان مسئله متفاوتی میسازند و نباید نتیجه الکتروستاتیکی را بدون بررسی به آنها تعمیم داد. در تست دبیرستان، عبارتهای «تعادل الکتروستاتیکی»، «رسانای بسته» و «حفره خالی» نشانههای اصلیاند.
دامهای رایج تستی را با یک چکلیست حذف کن
دام نخست این است که صفر بودن میدان را به فضای حفره باردار تعمیم دهی. دام دوم، صفر دانستن بار سطح داخلی فقط به دلیل صفر بودن میدان در فلز است؛ در حضور بار داخل حفره، سطح داخلی باید بار القایی داشته باشد. دام سوم، یکی گرفتن بار خالص رسانا با بار سطح خارجی است. دام چهارم، فرض توزیع یکنواخت بار بدون تقارن است.
در پایان سه کنترل انجام بده: جمع بارهای سطح داخلی و خارجی باید بار خالص اولیه رسانا را بدهد؛ مجموع بارهای داخل حفره و سطح داخلی باید صفر باشد؛ و هیچ خط میدان الکتروستاتیکی نباید از حجم ماده رسانا عبور کند. برای تمرین ابزار اصلی این مسیر، راهنمای قانون گاوس را بخوان؛ مقاله القای الکتریکی نیز بازآرایی بار و اتصال زمین را تکمیل میکند.
در سؤالهای رسانای الکتروستاتیکی، ابتدا مطمئن شو دستگاه به تعادل رسیده است. سپس E = 0 را فقط در حجم ماده رسانا به کار ببر، از همپتانسیلبودن رسانا نتیجه بگیر و برای حفره باردار یک سطح گاوسی داخل ماده رسم کن. این سطح بار کل محصور صفر میدهد؛ بنابراین بار سطح داخلی دقیقاً منفی مجموع بارهای داخل حفره است. بار سطح خارجی هم از پایستگی بار رسانا به دست میآید. تقارن میتواند چگالی بار را یکنواخت کند، اما بدون تقارن فقط درباره بار کل هر سطح حکم قطعی بده.