در مسئله رها شدن جسم از بالون در حال حرکت، جسم در لحظه جدایی همان سرعت لحظهای بالون نسبت به زمین را دارد؛ «رها شدن» فقط یعنی پس از جدایی نیروی پرتاب تازهای وارد نمیشود، نه اینکه سرعت اولیه جسم حتماً صفر باشد. اگر جهت بالا را مثبت بگیریم، برای بالون صعودی v₀ = +u، برای بالون نزولی v₀ = −u و پس از رهاشدن a = −g است. سپس با y(t) = h + v₀t − ½gt² زمان برخورد را از شرط y = 0 پیدا میکنیم و سرعت برخورد را از v = v₀ − gt به دست میآوریم.
در رها شدن جسم از بالون در حال حرکت، سرعت اولیه را درست تعیین کن
تا لحظه جدایی، بسته و بالون با هم حرکت میکنند؛ بنابراین سرعت بسته نسبت به زمین درست پیش از جدایی با سرعت بالون برابر است. سرعت جسم نمیتواند فقط با بازشدن دست ناگهان از u به صفر برسد، مگر آنکه ضربه یا نیروی دیگری چنین تغییری ایجاد کند. پس واژه «رها میشود» را با «از سکون نسبت به زمین رها میشود» یکی نگیر.
پس از جدایی و با صرفنظر از مقاومت هوا، جسم در سقوط آزاد است و شتاب آن رو به پایین باقی میماند. اگر بالون رو به بالا باشد، جسم مدتی با سرعت کاهنده بالا میرود، در اوج لحظهای سرعتش صفر میشود و بعد پایین میآید. اگر بالون رو به پایین باشد، سرعت و شتاب از ابتدا همجهتاند و تندی جسم بیشتر میشود.
- بالون صعودی با تندی u: سرعت اولیه جسم v₀ = +u
- بالون نزولی با تندی u: سرعت اولیه جسم v₀ = −u
- بالون لحظهای ساکن: سرعت اولیه جسم v₀ = 0
زمان رسیدن جسم رهاشده از بالون به زمین را در چهار گام پیدا کن
یک محور قائم با جهت مثبت رو به بالا انتخاب کن و مبدأ را سطح زمین بگیر. در لحظه رهاشدن، مکان جسم y₀ = h و شتاب آن a = −g است. سرعت اولیه را با علامت جهت حرکت بالون وارد کن. معادله مکان به شکل y = h + v₀t − ½gt² نوشته میشود.
برای برخورد با زمین y = 0 قرار بده و معادله درجه دوم را حل کن. از میان ریشهها فقط زمان مثبتِ پس از رهاشدن معنا دارد. سپس همان زمان را در v = v₀ − gt بگذار. اگر پاسخ سرعت منفی شد، یعنی جهت برخورد رو به پایین است؛ تندی برخورد قدرمطلق همین مقدار است.
- دادهها را نسبت به زمین بنویس: h و v₀
- در تمام مسیر پس از جدایی: a = −g
- شرط برخورد: y = 0
- ریشه زمانی منفی را کنار بگذار
مثال بالون صعودی: ارتفاع اوج، زمان برخورد و سرعت برخورد
بالونی در ارتفاع 60 m با تندی 10 m/s رو به بالا حرکت میکند و بستهای را رها میکند. مقاومت هوا ناچیز و g = 10 m/s² است. چون بالون صعودی است، y₀ = 60 m، v₀ = +10 m/s و a = −10 m/s² داریم.
جسم ابتدا بالا میرود. در اوج v = 0 است؛ از 0 = 10 − 10t زمان رسیدن به اوج 1 s میشود. افزایش ارتفاع نیز از Δy = v₀²/(2g) برابر 5 m است؛ بنابراین بیشترین ارتفاع جسم از زمین 65 m خواهد بود.
برای برخورد با زمین مینویسیم 0 = 60 + 10t − 5t². پس t² − 2t − 12 = 0 و ریشه مثبت t = 1 + √13 ≈ 4.61 s است. سرعت در این لحظه v = 10 − 10(4.61) ≈ −36.1 m/s میشود؛ بنابراین جسم با تندی تقریبی 36.1 m/s و جهت رو به پایین برخورد میکند.
مثال بالون نزولی: علامت سرعت اولیه چه تغییری میسازد؟
اکنون همان ارتفاع 60 m و همان تندی 10 m/s را در نظر بگیر، اما بالون رو به پایین حرکت کند. این بار v₀ = −10 m/s است و معادله مکان 0 = 60 − 10t − 5t² میشود. ریشه مثبت آن t = −1 + √13 ≈ 2.61 s است؛ جسم زودتر از حالت صعودی به زمین میرسد.
سرعت برخورد v = −10 − 10(2.61) ≈ −36.1 m/s است. در نبود مقاومت هوا، اندازه سرعت برخورد در این دو مثال برابر شد، زیرا ارتفاع آغازین و اندازه سرعت اولیه یکساناند و رابطه v² = v₀² + 2aΔy به جهت اولیه وابسته نیست. بااینحال زمان برخورد یکسان نیست، چون جسم صعودی ابتدا بخشی از مسیر را رو به بالا طی میکند.
اگر جسم نسبت به بالون پرتاب شود، سرعتها را جمع برداری کن
گاهی جسم فقط رها نمیشود و فرد داخل بالون آن را با سرعتی نسبت به بالون پرتاب میکند. در این حالت سرعت اولیه نسبت به زمین از جمع برداری سرعت بالون نسبت به زمین و سرعت جسم نسبت به بالون به دست میآید: v_object,ground = v_balloon,ground + v_object,balloon.
برای نمونه، اگر بالون با 8 m/s بالا برود و بسته با 3 m/s نسبت به بالون رو به پایین پرتاب شود، با جهت مثبت رو به بالا داریم v₀ = 8 − 3 = +5 m/s؛ بسته هنوز در لحظه نخست نسبت به زمین رو به بالا حرکت میکند. اگر پرتاب رو به پایین 12 m/s باشد، v₀ = 8 − 12 = −4 m/s و حرکت زمینی آن از ابتدا نزولی است.
بالون با حرکت افقی یا مایل را به مؤلفهها تجزیه کن
اگر بالون مؤلفه افقی سرعت داشته باشد، جسم هنگام جدایی همان مؤلفه را نیز حفظ میکند. در مدل بدون مقاومت هوا، شتاب افقی صفر و شتاب قائم −g است. بنابراین حرکت افقی با x = x₀ + v₀x t و حرکت قائم با y = h + v₀y t − ½gt² جداگانه حل میشوند و زمان مشترک دو حرکت آنها را به هم پیوند میدهد.
برای بالونی که فقط افقی حرکت میکند، v₀y = 0 است؛ زمان سقوط از ارتفاع h برابر √(2h/g) میشود و جابهجایی افقی از v₀x t به دست میآید. مسیر جسم نسبت به زمین سهمی است، هرچند شخص داخل بالون در لحظه رهاکردن هیچ هل افقی تازهای به بسته نداده باشد.
چکلیست حل و دامهای رایج سؤال بالون را مرور کن
پیش از حل مشخص کن سرعتها نسبت به زمیناند یا نسبت به بالون. جهت مثبت را یکبار انتخاب کن و در میانه حل عوض نکن. اگر بالون صعودی است، از لحظه رهاشدن تا اوج شتاب جسم همچنان رو به پایین است؛ صفرشدن سرعت در اوج به معنی صفرشدن شتاب نیست.
سه خطای پرتکرار عبارتاند از صفرگرفتن خودکار سرعت اولیه، استفاده از ارتفاع رهاشدن بهجای مکان نهایی در معادله و گزارش سرعت منفی بهعنوان تندی منفی. برای مرور رابطههای پایه، مقاله سقوط آزاد و پرتاب قائم را بخوان؛ برای کنترل علامتها و مساحت نمودار، راهنمای نمودار سرعت–زمان و برای جمع سرعتها، راهنمای سرعت نسبی مکمل این مسئلهاند.
- سرعت لحظه جدایی را از حرکت بالون به جسم منتقل کن.
- مکان و جابهجایی را با هم اشتباه نگیر.
- فقط ریشه زمانی مثبت را نگه دار.
- سرعت جهت دارد؛ تندی همیشه نامنفی است.
- در مدل واقعیِ دارای مقاومت هوا، این رابطههای شتاب ثابت کافی نیستند.
در رها شدن جسم از بالون، مهمترین تصمیم پیش از هر محاسبه تعیین سرعت اولیه نسبت به زمین است. جسم سرعت بالون را در لحظه جدایی حفظ میکند؛ پس در بالون صعودی ابتدا بالا میرود و در بالون نزولی از همان ابتدا پایین میآید. با یک محور ثابت، y₀ = h، v₀ علامتدار و a = −g بنویس، ریشه مثبت معادله مکان را برای زمان برخورد بردار و علامت سرعت نهایی را جدا از تندی گزارش کن. اگر حرکت بالون افقی یا مایل باشد، مؤلفهها را مستقل تحلیل کن.