در نمودار مکان–زمان، مقدار عمودی هر نقطه مکان جسم و شیب نمودار سرعت آن است. شیب خط واصل دو نقطه سرعت متوسط و شیب مماس در یک لحظه سرعت لحظه‌ای را می‌دهد. شیب مثبت یعنی حرکت در جهت مثبت محور، شیب منفی یعنی حرکت در جهت منفی و بخش افقی یعنی سکون. برای تشخیص تغییر جهت باید عوض‌شدن علامت شیب را ببینی؛ عبور نمودار از x = 0 فقط عبور جسم از مبدأ است و لزوماً توقف یا برگشت نیست.
نمودار مکان–زمان چه چیزی را نشان می‌دهد؟
محور افقی زمان t و محور عمودی مکان x نسبت به مبدأ انتخابی است. نقطه (t, x) می‌گوید جسم در آن لحظه کجاست؛ ارتفاع نمودار تندی یا مسافت طی‌شده نیست. ممکن است x منفی باشد و جسم در حال حرکت به سمت مثبت باشد، زیرا مکان و جهت حرکت دو اطلاعات جدا هستند.
عرض از مبدأ نمودار، x₀، مکان جسم در t = 0 است. اگر نمودار محور زمان را قطع کند، جسم در همان لحظه از مبدأ مکان می‌گذرد. این تقاطع به‌تنهایی درباره ساکن‌بودن چیزی نمی‌گوید؛ برای سکون باید شیب صفر باشد. واحد شیب نیز از واحد محور عمودی بر واحد محور افقی ساخته می‌شود، مثلاً m/s.
- مختصات عمودی: مکان جسم، نه مسافت
- عرض از مبدأ: مکان اولیه
- تقاطع با محور زمان: حضور در x = 0
- شیب: سرعت جسم
شیب را به سرعت متوسط و لحظه‌ای تبدیل کن
بین دو لحظه t₁ و t₂، شیب خط واصل دو نقطه برابر v̄ = (x₂ − x₁)/(t₂ − t₁) است. این همان سرعت متوسط در آن بازه است. اگر قطعه نمودار خط راست باشد، شیب ثابت است و جسم در سراسر آن قطعه سرعت ثابت دارد؛ می‌توان هر دو نقطه مناسب روی همان خط را برای محاسبه انتخاب کرد.
روی نمودار خمیده، خط واصل فقط سرعت متوسط بازه را می‌دهد. برای سرعت لحظه‌ای در یک نقطه، خط مماس بر نمودار را در همان نقطه رسم و شیب مماس را حساب کن. هرچه نمودار در یک لحظه تندتر باشد، اندازه سرعت بیشتر است؛ بالاتربودن خود نقطه به معنی سریع‌تربودن جسم نیست.
- خط واصل دو نقطه: سرعت متوسط
- مماس در یک نقطه: سرعت لحظه‌ای
- شیب ثابت: سرعت ثابت
- بزرگی |شیب|: تندی
توقف و تغییر جهت را از علامت شیب تشخیص بده
شیب مثبت یعنی x با زمان زیاد می‌شود و سرعت مثبت است؛ شیب منفی یعنی x کم می‌شود و سرعت منفی است. خط افقی نشان می‌دهد مکان برای یک بازه تغییر نمی‌کند، پس جسم در تمام آن بازه ساکن است. در یک قله یا دره نرم نیز مماس می‌تواند فقط در یک لحظه افقی و سرعت لحظه‌ای صفر باشد.
تغییر جهت زمانی رخ می‌دهد که علامت سرعت عوض شود؛ روی نمودار یعنی شیب از مثبت به منفی یا برعکس برسد. صفرشدن شیب شرط لازم یک برگشت نرم است، اما کافی نیست: نمودار می‌تواند لحظه‌ای شیب صفر داشته باشد و سپس با همان علامت قبلی ادامه دهد. پس دو سوی لحظه موردنظر را نیز بررسی کن.
از تغییر تندی شیب، تندشدن یا کندشدن را بخوان
برای مقایسه تندی در دو لحظه، قدرمطلق شیب مماس‌ها را مقایسه کن. اگر نمودار با گذشت زمان تندتر شود، |v| بیشتر و جسم تندشونده است؛ اگر نمودار به حالت افقی نزدیک شود، |v| کمتر و جسم کندشونده است. این قاعده هم برای شیب‌های مثبت و هم منفی کار می‌کند.
در بخش با شیب منفی، پایین‌رفتن نمودار لزوماً کندشدن نیست. اگر شیب منفی از نظر قدرمطلق بزرگ‌تر شود، جسم در جهت منفی تندتر حرکت می‌کند. برای تشخیص علامت شتاب می‌توان روند تغییر شیب را دنبال کرد، اما مساحت زیر نمودار x–t معنای رایج سینماتیکی برای جابه‌جایی ندارد.
مثال حل‌شده: سرعت، مسافت و توقف در حرکت چندبخشی
نمودار جسمی از چهار نقطه با پاره‌خط‌های مستقیم می‌گذرد: A(0 s, −2 m)، B(2 s, 4 m)، C(5 s, 4 m) و D(8 s, −2 m). سرعت هر بازه، مدت توقف، جابه‌جایی، مسافت و سرعت و تندی متوسط کل حرکت را بیاب.
در AB شیب برابر [4 − (−2)]/(2 − 0) = 3 m/s است؛ جسم در جهت مثبت حرکت می‌کند. در BC مکان ثابت است، پس v = 0 و جسم 3 s متوقف می‌ماند. در CD شیب (−2 − 4)/(8 − 5) = −2 m/s است؛ جسم در جهت منفی برمی‌گردد. تغییر علامت شیب از مثبت به منفی با یک بازه سکون میان آن‌ها، برگشت جهت را تأیید می‌کند.
جابه‌جایی کل xD − xA = −2 − (−2) = 0 m است. مسافت باید برای هر بازه جدا و با قدرمطلق جمع شود: |4 − (−2)| + |4 − 4| + |−2 − 4| = 6 + 0 + 6 = 12 m. بنابراین سرعت متوسط کل 0/8 = 0 m/s و تندی متوسط 12/8 = 1.5 m/s است.
کنترل پاسخ: جسم به مکان آغازین برگشته، پس جابه‌جایی و سرعت متوسط صفر معقول است؛ اما واقعاً 12 m حرکت کرده، پس مسافت و تندی متوسط صفر نیست. همچنین واحد همه شیب‌ها متر بر ثانیه است و مسافت 12 m از |جابه‌جایی| = 0 کمتر نیست.
تقاطع دو نمودار را ملاقات دو متحرک تفسیر کن
اگر مکان دو جسم روی یک دستگاه مختصات رسم شود، هر تقاطع دو نمودار یعنی در آن زمان مکان‌هایشان برابر است؛ پس دو جسم ملاقات می‌کنند. مقدار افقی نقطه، زمان ملاقات و مقدار عمودی آن، مکان ملاقات است. برابرشدن مکان به معنی برابرشدن سرعت نیست.
فقط اگر دو نمودار در محل تقاطع شیب یکسان نیز داشته باشند، سرعت دو جسم در همان لحظه برابر است. ممکن است دو منحنی یکدیگر را قطع کنند و با سرعت‌های متفاوت عبور کنند، یا بر هم مماس شوند و لحظه‌ای مکان و سرعت برابر داشته باشند. هر تقاطع باید در دامنه زمانی معتبر هر دو حرکت باشد.
چک‌لیست خواندن نمودار و حذف دام‌های رایج
پیش از محاسبه، واحد دو محور و مکان اولیه را بنویس. برای هر بازه علامت شیب، ثابت یا متغیربودن آن و لحظه‌های شیب صفر را مشخص کن. اگر مسافت خواسته شده است، نمودار را در توقف‌ها و تغییر جهت‌ها قطعه‌بندی و قدرمطلق تغییر مکان هر قطعه را جمع کن.
برای مرور رابطه این نمودار با دیگر نمایش‌های حرکت، از راهنمای حرکت‌شناسی شروع کن؛ صفحه نمودار سرعت–زمان تفاوت شیب و مساحت را تکمیل می‌کند و راهنمای سرعت متوسط و تندی متوسط نیز محاسبه مسیرهای رفت‌وبرگشتی را بسط می‌دهد. این صفحه‌ها مکمل‌اند: این راهنما مشخصاً خواندن نمودار x–t را تمرین می‌کند.
- ارتفاع نقطه را با تندی اشتباه نکرده‌ام؟
- برای سرعت لحظه‌ای از مماس استفاده کرده‌ام؟
- تغییر جهت را از عوض‌شدن علامت شیب سنجیده‌ام؟
- مساحت زیر x–t را جابه‌جایی نگرفته‌ام؟
- برای مسافت، قدرمطلق تغییر مکان بازه‌ها را جمع کرده‌ام؟
- واحد شیب با واحد سرعت سازگار است؟
برای خواندن نمودار مکان–زمان، اول محور و واحدها را مشخص کن و سپس به شیب نگاه کن: شیب خط واصل سرعت متوسط و شیب مماس سرعت لحظه‌ای است. بخش افقی سکون را نشان می‌دهد و تغییر علامت شیب، نه عبور از مبدأ، نشانه تغییر جهت است. جابه‌جایی از xپایانی − xآغازین و مسافت از جمع قدرمطلق تغییر مکان هر بازه به دست می‌آید. در پایان، واحد شیب، علامت سرعت و سازگاری مسافت با قدرمطلق جابه‌جایی را کنترل کن.