پاسخ مستقیم این است: در پل وتستونِ متعادل، اختلاف پتانسیل دو سر شاخه میانی صفر است؛ پس از گالوانومتر یا مقاومت میانی جریانی نمیگذرد. اگر چهار مقاومتِ بازوها را بهترتیب R₁ و R₂ در یک مسیر، و R₃ و R₄ در مسیر موازی آن بنامیم و گرههای میانی را به هم وصل کنیم، شرط تعادل R₁/R₂ = R₃/R₄ است. این تناسب فقط در حالت تعادل معتبر است؛ در پل نامتعادل باید مدار را با قانونهای کیرشهف یا روش پتانسیل گره حل کرد.
آرایش پل را پیش از نوشتن تناسب بخوان
پل وتستون دو شاخه موازی میان دو سر منبع دارد. در شاخه بالا یا نخست، R₁ و R₂ پشت سر هماند و گره میان آنها را B مینامیم. در شاخه دوم، R₃ و R₄ پشت سر هماند و گره میان آنها C است. گالوانومتر یا یک مقاومت رابط میان B و C قرار میگیرد. این نامگذاری مهم است، چون شرط تعادل به همسایگی مقاومتها در شکل وابسته است، نه به شمارههایی که حفظ کردهایم.
وقتی پل متعادل باشد، V_B = V_C و بنابراین اختلاف پتانسیل دو سر رابط صفر است. از رابطه I = ΔV/R نتیجه میشود جریان رابط صفر است؛ حتی اگر مقاومت رابط مقدار محدودی داشته باشد. در این وضعیت میتوان برای محاسبه جریان کل، شاخه میانی را بیاثر دانست و هر مسیر سری را جداگانه بررسی کرد.
- تعادل پل: V_B = V_C
- در تعادل: I رابط = 0
- صفرشدن جریان رابط نتیجه همپتانسیلبودن گرههاست.
شرط تعادل را از تقسیم ولتاژ به دست آور
در تعادل، چون از شاخه میانی جریان نمیگذرد، R₁ و R₂ در یک مسیر سری و R₃ و R₄ در مسیر سری دیگر قرار دارند. هر دو مسیر به دو سر یک منبع وصلاند. پتانسیل گره B نسبت به سر پایینی مدار برابر سهم R₂ از ولتاژ مسیر نخست است: V_B = V R₂/(R₁ + R₂). به همین ترتیب V_C = V R₄/(R₃ + R₄).
با قرار دادن V_B = V_C، ولتاژ منبع حذف میشود: R₂/(R₁ + R₂) = R₄/(R₃ + R₄). ضرب طرفین و سادهسازی میدهد R₂R₃ = R₁R₄؛ پس R₁/R₂ = R₃/R₄. شکل معادل دیگر R₁R₄ = R₂R₃ است. بهتر است حاصلضربها را از جای واقعی بازوها بسازی تا چرخش یا وارونگی شکل تو را به تناسب اشتباه نکشاند.
- شرط تعادل: R₁R₄ = R₂R₃
- معادل آن: R₁/R₂ = R₃/R₄
- مقدار ولتاژ منبع در شرط تعادل نقشی ندارد.
مسئله پل وتستون را در پنج گام حل کن
یک: دو سر منبع و دو گره متصل به شاخه میانی را پیدا کن. دو: چهار مقاومت را بر اساس مسیرها، نه ظاهر مورب یا افقی شکل، نامگذاری کن. سه: بررسی کن صورت سؤال صفر بودن جریان رابط، صفر بودن عدد گالوانومتر یا همپتانسیلبودن گرهها را گفته است یا نه. چهار: فقط در این حالت شرط حاصلضرب متقاطع را بنویس و مجهول را به دست آور. پنج: جواب را با واحد اهم و جای مقاومتها در شکل کنترل کن.
اگر سؤال مقاومت معادل کل را نیز بخواهد، پس از اثبات تعادل شاخه رابط را کنار بگذار. آنگاه R₁ + R₂ با R₃ + R₄ موازی است و R_eq = [(R₁ + R₂)(R₃ + R₄)]/[(R₁ + R₂) + (R₃ + R₄)]. این سادهسازی برای پل نامتعادل درست نیست.
مثال حلشده: مقاومت مجهول و مقاومت معادل پل
در یک پل متعادل، R₁ = 20 Ω و R₂ = 30 Ω در مسیر نخست قرار دارند. در مسیر دوم R₃ = 40 Ω و R₄ = Rₓ است. مقاومت مجهول و مقاومت معادل دیدهشده از دو سر منبع را پیدا کن.
از شرط تعادل R₁/R₂ = R₃/Rₓ داریم 20/30 = 40/Rₓ. بنابراین 20Rₓ = 1200 و Rₓ = 60 Ω. کنترل حاصلضربها نیز نتیجه را تأیید میکند: R₁R₄ = 20×60 و R₂R₃ = 30×40 که هر دو 1200 Ω² هستند.
اکنون جریان شاخه میانی صفر است و میتوان آن را حذف کرد. مقاومت مسیر نخست 20 + 30 = 50 Ω و مقاومت مسیر دوم 40 + 60 = 100 Ω است. اتصال این دو مسیر موازی است؛ پس R_eq = (50×100)/(50 + 100) = 100/3 Ω، یعنی تقریباً 33.3 Ω.
در پل نامتعادل جهت جریان میانی را تشخیص بده
اگر نسبتها برابر نباشند، دو گره میانی همپتانسیل نیستند. برای تشخیص جهت جریان رابط، ابتدا رابط را موقتاً باز در نظر بگیر و پتانسیل هر گره را با تقسیم ولتاژ حساب کن. جریان متعارف پس از اتصال رابط از گره با پتانسیل بیشتر به گره با پتانسیل کمتر میرود.
مثلاً منبع 12 V است، سر پایینی را صفر میگیریم، R₁ = R₂ = 10 Ω و در مسیر دیگر R₃ = 10 Ω و R₄ = 20 Ω است. گره B در میانه مسیر نخست پتانسیل 12×10/(10+10) = 6 V دارد؛ گره C نسبت به سر پایین 12×20/(10+20) = 8 V است. پس با وصلشدن رابط، جهت جریان متعارف از C به B خواهد بود. این روش جهت را میدهد؛ برای اندازه جریان، اثر خود رابط بر پتانسیلها را باید با معادلات کیرشهف وارد کرد.
چهار خطای رایج را پیش از پاسخ کنترل کن
خطای اول، استفاده از شرط تعادل بدون آن است که جریان رابط صفر باشد. خطای دوم، سری دانستن دو مقاومتی است که گره مشترکشان به شاخهای با جریان غیرصفر وصل است. خطای سوم، صفر فرضکردن مقاومت گالوانومتر به دلیل صفر بودن جریان آن است؛ جریان صفر از اختلاف پتانسیل صفر میآید. خطای چهارم، جابهجا کردن بازوها در تناسب بدون دنبالکردن مسیر واقعی مدار است.
برای کنترل، دو سوی رابطه R₁R₄ = R₂R₃ باید یکای Ω² داشته باشند و مقاومت مجهول باید مثبت به دست آید. اگر پل متعادل نیست، راهنمای قانونهای کیرشهف مسیر نوشتن معادلات کامل را نشان میدهد؛ مقاله گرههای همپتانسیل توضیح میدهد چه زمانی یک شاخه بیاثر است و راهنمای آمپرسنج و ولتسنج نقش ابزار اندازهگیری را مرور میکند.
در پل وتستون ابتدا جای چهار بازو و دو گره میانی را مشخص کن، نه اینکه یک تناسب حفظشده را بیبررسی بنویسی. تعادل یعنی اختلاف پتانسیل گرههای میانی و در نتیجه جریان شاخه رابط صفر است. از برابری افت پتانسیلها شرط R₁/R₂ = R₃/R₄ به دست میآید و میتوان مقاومت مجهول را یافت. حذف شاخه میانی فقط پس از اثبات تعادل مجاز است؛ اگر نسبتها برابر نباشند، جهت جریان رابط را از مقایسه پتانسیل گرهها تعیین کن و برای مقدار آن سراغ معادلات کامل مدار برو.