در پل وتستون، چهار مقاومت دو شاخه را میسازند و یک مقاومت یا آمپرسنج میان نقطههای میانی آنها قرار میگیرد. اگر نسبت مقاومت بالایی به پایینی در دو شاخه برابر باشد، پتانسیل دو نقطه میانی یکسان است؛ پس اختلاف پتانسیل و جریان شاخه میانی صفر میشود. با نامگذاری R₁ و R₂ در یک شاخه و R₃ و R₄ در شاخه دیگر، شرط تعادل R₁/R₂ = R₃/R₄ یا R₁R₄ = R₂R₃ است. این رابطه را فقط پس از تشخیص درست جای مقاومتها به کار ببر، نه صرفاً از روی ظاهر شکل.
ساختار پل را از روی گرهها بخوان
یک پل وتستون معمولی دو شاخه موازی میان دو سر منبع دارد. در شاخه چپ R₁ بالای گره A و R₂ پایین آن است؛ در شاخه راست R₃ بالای گره B و R₄ پایین آن قرار دارد. شاخه پنجم، گره A را به B وصل میکند. شکل ممکن است به صورت لوزی، مربع یا مدار کج رسم شود، اما اتصال گرهها تعیینکننده است.
برای بازطراحی، سیمهای پیوسته را یک گره واحد بدان و هر مقاومت را میان دو گره بنویس. سپس دو مسیر متوالی از سر مثبت تا سر منفی منبع را پیدا کن. این کار جلوی یک خطای رایج را میگیرد: مقاومتهایی که روی کاغذ روبهروی هم دیده میشوند لزوماً زوج متناظر شرط تعادل نیستند.
- R₁ و R₂ باید در یک شاخه و در دو سوی گره میانی A باشند.
- R₃ و R₄ نیز در شاخه دیگر و در دو سوی گره B قرار میگیرند.
- ابزار یا مقاومت میان A و B همان شاخه میانی پل است.
تعادل پل یعنی اختلاف پتانسیل شاخه میانی صفر است
در حالت تعادل، VA = VB است. بنابراین برای هر مقاومت محدود در شاخه میانی، از I = (VA − VB)/R نتیجه میشود جریان آن صفر است. اگر شاخه میانی یک آمپرسنج آرمانی باشد نیز عدد آن صفر خواهد بود. صفر بودن جریان به معنی حذف فیزیکی شاخه نیست؛ نتیجه برابری پتانسیل دو سر آن است.
وقتی جریان شاخه میانی صفر باشد، جریان شاخه چپ فقط از R₁ و R₂ میگذرد و این دو سریاند؛ در شاخه راست نیز R₃ و R₄ سریاند. دو مجموعه سری با هم موازی هستند. در این وضعیت، مقدار مقاومت شاخه میانی روی جریانهای بخشهای دیگر اثر نمیگذارد.
شرط تعادل را بهجای حفظکردن، بساز
اختلاف پتانسیل دو سر هر شاخه را V بگیر. جریان شاخه چپ I₁ = V/(R₁ + R₂) و جریان شاخه راست I₂ = V/(R₃ + R₄) است. اگر پتانسیل سر پایینی منبع را صفر بگیریم، پتانسیل گرههای میانی بهترتیب VA = I₁R₂ و VB = I₂R₄ میشود.
در تعادل VA = VB؛ پس VR₂/(R₁ + R₂) = VR₄/(R₃ + R₄). با سادهسازی به R₂R₃ = R₄R₁ میرسیم. شکل نسبتی آن R₁/R₂ = R₃/R₄ است. مزیت این استدلال این است که حتی اگر جای نامها در شکل عوض شود، میتوانی شرط درست را دوباره از تقسیم ولتاژ بسازی.
- حاصلضرب دو مقاومت قطریِ متناظر برابر میشود: R₁R₄ = R₂R₃.
- ولتاژ منبع در شرط نهایی حذف میشود؛ تعادل به نسبت مقاومتها وابسته است.
- شرط تعادل به معنی برابر بودن هر چهار مقاومت نیست.
مسئله پل وتستون را در پنج گام حل کن
یک: گرههای دو سر منبع و دو گره میانی را مشخص کن. دو: مقاومتهای بالا و پایین یک شاخه را R₁ و R₂ و مقاومتهای متناظر شاخه دیگر را R₃ و R₄ بنام. سه: بررسی کن صورت سؤال تعادل، صفر بودن جریان شاخه میانی یا صفر بودن عدد گالوانومتر را گفته است. چهار: شرط R₁R₄ = R₂R₃ را بنویس و مجهول را پیدا کن. پنج: نسبتهای دو شاخه و واحد پاسخ را کنترل کن.
اگر مسئله نگفته پل متعادل است، ابتدا نسبتها را مقایسه کن. تنها اگر R₁/R₂ = R₃/R₄ بود میتوانی جریان شاخه میانی را صفر بگیری. در غیر این صورت، حذف آن شاخه باعث تغییر مدار میشود و باید جریانها را با روشی مانند قانونهای گره و حلقه کیرشهف به دست آوری.
مثال حلشده: یافتن مقاومت مجهول و جریان کل
در یک پل متعادل، شاخه چپ از مقاومتهای R₁ = 6 Ω در بالا و R₂ = 3 Ω در پایین تشکیل شده است. در شاخه راست R₃ = 10 Ω در بالا و مقاومت مجهول R₄ در پایین قرار دارد. منبع 12 V به دو سر پل وصل است و یک گالوانومتر میان گرههای میانی قرار دارد. R₄، عدد گالوانومتر و جریان کل منبع را بیاب.
از شرط تعادل R₁/R₂ = R₃/R₄ داریم 6/3 = 10/R₄؛ بنابراین R₄ = 5 Ω. چون پل متعادل است، دو سر گالوانومتر همپتانسیلاند و جریان آن صفر است. حال شاخه میانی در محاسبه مقاومت معادل نقشی ندارد: مقاومت شاخه چپ 6 + 3 = 9 Ω و مقاومت شاخه راست 10 + 5 = 15 Ω است.
دو شاخه با هم موازیاند؛ پس 1/Req = 1/9 + 1/15 = 8/45 و Req = 45/8 Ω. جریان کل منبع Itotal = V/Req = 12 ÷ (45/8) = 96/45 A، یعنی تقریباً 2.13 A است. برای کنترل تعادل، افت ولتاژ مقاومت پایینی چپ 12 × 3/9 = 4 V و افت مقاومت پایینی راست 12 × 5/15 = 4 V است؛ پس پتانسیل دو گره میانی واقعاً برابر است.
در پل نامتعادل، جهت جریان میانی را از پتانسیلها پیدا کن
اگر نسبتها برابر نباشند، ابتدا با فرض موقتِ باز بودن شاخه میانی میتوانی از تقسیم ولتاژ بفهمی کدام گره پتانسیل بیشتری دارد؛ اما پس از اتصال یک مقاومت محدود میان دو گره، مقدار دقیق جریانها عوض میشود. این مقایسه فقط برای حدس جهت اولیه جریان مفید است و جای حل کامل مدار بسته را نمیگیرد.
جریان قراردادی در شاخه میانی از گره با پتانسیل بیشتر به گره با پتانسیل کمتر است. برای محاسبه مقدار آن، شاخه را نگه دار و معادلههای کیرشهف بنویس. اگر ابزار میانی ولتسنج آرمانی با مقاومت بینهایت باشد، جریانی از آن نمیگذرد حتی وقتی دو گره همپتانسیل نیستند؛ در آن حالت عدد ولتسنج VA − VB است، نه لزوماً صفر.
چهار دام رایج را پیش از انتخاب گزینه بررسی کن
نخست، صفر بودن جریان شاخه میانی را بدون اثبات تعادل فرض نکن. دوم، مقاومتهای مجاور روی کاغذ را کورکورانه در نسبت قرار نده؛ جای بالا و پایین هر شاخه را از گرهها تعیین کن. سوم، گالوانومتر با عدد صفر را اتصال کوتاه تلقی نکن؛ در تعادل اختلاف پتانسیل دو سر آن صفر است و جریانی ندارد. چهارم، پس از یافتن مجهول برای محاسبه جریان کل، سری و موازی بودن بخشهای باقیمانده را دوباره از روی گرهها بررسی کن.
اگر مدار پیچیده یا شکل چرخیده بود، آن را تمیز بازطراحی کن. راهنمای مدارهای الکتریکی سایت برای تشخیص اتصالها و مقاله قانونهای کیرشهف برای پل نامتعادل، ادامههای مرتبط این بحثاند. برای خواندن عدد ابزار نیز راهنمای اتصال آمپرسنج و ولتسنج کمک میکند تفاوت جریان صفر و اختلاف پتانسیل صفر را روشن نگه داری.
پل وتستون در حالت تعادل با یک ایده ساده حل میشود: دو سر شاخه میانی همپتانسیلاند و از آن جریان نمیگذرد. ابتدا گرههای واقعی مدار را پیدا کن، مقاومتهای بالا و پایین هر شاخه را درست نامگذاری کن و سپس شرط R₁R₄ = R₂R₃ را بنویس. اگر این شرط برقرار نبود، شاخه میانی را حذف نکن؛ آن مدار به تحلیل کاملتری مانند قوانین کیرشهف نیاز دارد. کنترل نسبتها، واحد مقاومت و جانمایی پاسخ در شکل، سه بررسی کوتاه و مؤثر پایان حلاند.