برای انتخاب ریشه فیزیکی در معادلات حرکت، مثبت یا منفی بودن جواب به‌تنهایی کافی نیست. هر ریشه را در معادله اصلی بگذار و سه شرط را بسنج: زمان باید داخل بازه اعتبار همان مدل باشد، رویداد توصیف‌شده واقعاً در آن لحظه رخ دهد و علامت سرعت یا مکان با محور انتخابی سازگار باشد. گاهی یک ریشه منفی فقط به زمانی پیش از شروع ساعت مسئله تعلق دارد؛ گاهی هر دو ریشه مثبت و معتبرند، چون جسم یک مکان را در رفت و برگشت طی می‌کند؛ و در مسئله شروع با تأخیر حتی یک ریشه مثبت می‌تواند خارج از بازه و نامعتبر باشد.
انتخاب ریشه فیزیکی در معادلات حرکت را با بازه انجام بده
پیش از حل، یک خط زمان بکش و کنار هر قطعه بنویس مدل از چه لحظه‌ای تا چه لحظه‌ای معتبر است. اگر ساعت را هنگام آغاز حرکت صفر کرده‌ای، شرط آن قطعه t ≥ 0 است. اگر جسم دوم دو ثانیه دیرتر راه می‌افتد و ساعت مشترک را T نامیده‌ای، رابطه حرکت آن فقط برای T ≥ 2 s معتبر است؛ پیش از آن باید رابطه دیگری برای سکون جسم بنویسی.
پس از حل معادله درجه‌دو، هر ریشه را جداگانه به یک رویداد ترجمه کن: «جسم در این لحظه در مکان خواسته‌شده است»، «دو متحرک در این لحظه هم‌مکان‌اند» یا «سرعت در این لحظه صفر است». سپس ریشه را در رابطه اصلی جای‌گذاری کن. اگر معادله هنگام توان‌دادن، مجذورگرفتن یا حذف یک عامل تغییر کرده باشد، ممکن است جواب اضافی تولید شده باشد و فقط جای‌گذاری دوباره آن را آشکار کند.
منفی‌بودن زمان به معنی خطای جبری نیست. این جواب ممکن است ادامه ریاضی همان سهمی را پیش از مبدأ انتخابی نشان دهد، اما اگر مدل مسئله از t = 0 آغاز شده باشد به رویداد مورد سؤال تعلق ندارد. معیار حذف، بیرون‌بودن از دامنه مسئله است، نه صرفاً علامت منفی.
مثال حل‌شده: هر دو ریشه مثبتِ پرتاب قائم را نگه دار
توپی از سطح زمین با سرعت اولیه 20 m/s رو به بالا پرتاب می‌شود. با g = 10 m/s² و محور رو به بالا، توپ چه زمان‌هایی در ارتفاع 15 m است؟ مدل از لحظه پرتاب تا بازگشت به زمین معتبر است و رابطه مکان y = 20t − 5t² خواهد بود.
شرط y = 15 می‌دهد 15 = 20t − 5t²، پس t² − 4t + 3 = 0 و دو ریشه t = 1 s و t = 3 s به دست می‌آید. هر دو زمان داخل بازه پروازند و با جای‌گذاری در رابطه مکان، y = 15 m می‌دهند؛ بنابراین حذف یکی از آن‌ها فقط به دلیل دو جواب بودن اشتباه است.
برای فهم رویداد هر ریشه، سرعت را از v = 20 − 10t حساب می‌کنیم. در t = 1 s سرعت +10 m/s است و توپ هنگام بالا رفتن از ارتفاع 15 m می‌گذرد؛ در t = 3 s سرعت −10 m/s است و همان ارتفاع را هنگام پایین آمدن طی می‌کند. علامت سرعت دو رویداد هندسیِ متفاوت را از هم جدا می‌کند.
- هر دو ریشه در بازه 0 ≤ t ≤ 4 s قرار دارند.
- هر دو ریشه معادله اصلی مکان را برقرار می‌کنند.
- سرعت‌های +10 و −10 m/s شاخه رفت و برگشت را مشخص می‌کنند.
مثال حل‌شده: ریشه مثبتِ خارج از بازه را در شروع با تأخیر حذف کن
متحرک A از لحظه T = 0 با سرعت ثابت 5 m/s از مبدأ می‌گذرد. متحرک B تا T = 2 s در مبدأ ساکن است و سپس از سکون با شتاب 2 m/s² در همان جهت راه می‌افتد. برای T ≥ 2 داریم xA = 5T و زمان حرکت B برابر τ = T − 2 است؛ پس xB = ½(2)(T − 2)² = (T − 2)².
از شرط برخورد 5T = (T − 2)² می‌رسیم به T² − 9T + 4 = 0. ریشه‌ها تقریباً T = 0.47 s و T = 8.53 s هستند. هر دو مثبت‌اند، اما رابطه xB = (T − 2)² فقط پس از شروع B یعنی T ≥ 2 معتبر است؛ پس ریشه 0.47 s باید حذف شود. در آن لحظه B هنوز در مبدأ ساکن است و استفاده از رابطه شتاب‌دار برایش مجاز نیست.
برای کنترل ریشه باقی‌مانده، xA = 5×8.53 ≈ 42.65 m و xB = (8.53 − 2)² ≈ 42.64 m می‌شود؛ اختلاف کوچک از گردکردن است. این مثال نشان می‌دهد قاعده «هر ریشه مثبت فیزیکی است» نادرست است و بازه اعتبار از علامت ریشه مهم‌تر است.
علامت مثبت و منفی سرعت را از جهت حرکت تعیین کن
در رابطه v² = v0² + 2aΔx، گرفتن جذر به v = ±√(...) می‌رسد. علامت را نباید همیشه مثبت انتخاب کرد، زیرا سرعت برداری است. باید ببینی جسم در رویداد مورد نظر در جهت مثبت محور حرکت می‌کند یا جهت منفی. در مثال پرتاب قائم، توپ در ارتفاع 15 m یک بار سرعت +10 m/s و بار دیگر سرعت −10 m/s دارد.
اگر سؤال تندی را بخواهد، اندازه سرعت نامنفی گزارش می‌شود؛ اما اگر سرعت یا جهت حرکت را بخواهد، علامت بخشی از پاسخ است. همچنین وجود دو علامت لزوماً به معنی وقوع هر دو حالت نیست: اگر مسئله فقط بازه بالا رفتن را تعریف کرده باشد، شاخه سرعت منفی بیرون از بازه است.
چک‌لیست پنج‌مرحله‌ای اعتبار هر ریشه را اجرا کن
برای حرکت چندبخشی، این چک‌لیست را برای هر قطعه جدا اجرا کن. صفحات حرکت با شتاب ثابت و ترمز، تعقیب دو متحرک و سقوط آزاد و پرتاب قائم، مدل‌های پایه‌ای هستند که در بخش «ادامه مسیر» به آن‌ها دسترسی داری؛ این مقاله جای آن مدل‌ها را نمی‌گیرد و فقط مرحله تفسیر جواب‌های چندگانه را کامل می‌کند.
اگر دو ریشه از همه کنترل‌ها عبور کردند، هر دو را همراه معنای رویداد گزارش کن. اگر هیچ ریشه‌ای معتبر نبود، به‌جای انتخاب نزدیک‌ترین عدد، فرض‌ها و معادله را بازبینی کن؛ ممکن است رویداد در بازه داده‌شده اصلاً رخ ندهد یا مدل شتاب ثابت برای آن بخش تعریف نشده باشد.
- مبدأ زمان و ساعت مشترک را مشخص کن.
- بازه اعتبار رابطه هر متحرک را بنویس.
- ریشه را در معادله اصلی جای‌گذاری کن.
- مکان، جهت سرعت و ترتیب رویدادها را کنترل کن.
- ریشه معتبر را با واحد و معنای فیزیکی گزارش کن.
ریشه معادله فقط یک نامزد ریاضی است. برای تبدیل آن به جواب فیزیکی، مبدأ زمان، بازه اعتبار هر قطعه حرکت، شرط رویداد و جهت سرعت را کنترل کن. ریشه منفی را خودکار حذف نکن، هر دو ریشه مثبت را خودکار نپذیر و پس از انتخاب، جواب را در معادله اصلی و خط زمان بازسازی کن. این روش در حرکت با شتاب ثابت، پرتاب قائم، تعقیب و حرکت‌های چندبخشی از حفظ‌کردن قاعده «جواب مثبت» مطمئن‌تر است.