پاسخ مستقیم این است: برای سطحی که با زاویه β رو به پایین میرود و پرتابهای که با تندی v₀ و زاویه θ بالای افق پرتاب میشود، دستگاه افقی–قائم را نگه دار و معادله سطح y = −x tanβ را با معادلههای x = v₀cosθ·t و y = v₀sinθ·t − ½gt² ترکیب کن. زمان برخورد دوباره t = 2v₀sin(θ+β)/(g cosβ) و برد روی سطح s = 2v₀²cosθ sin(θ+β)/(g cos²β) است. برای تندی اولیه ثابت، زاویه بهینه نسبت به افق θ = 45° − β/2 میشود؛ زاویه پرتاب نسبت به خود سطح نیز 45° + β/2 است.
شکل مسئله و مرجع زاویهها را دقیق مشخص کن
مبدأ را نقطه پرتاب بگیر، محور x را افقی به سمت حرکت و محور y را قائم رو به بالا انتخاب کن. سطح مستقیم در سمت راست مبدأ رو به پایین میرود و با افق زاویه β میسازد؛ پس هرچه x بیشتر شود، y منفیتر است و معادله سطح y = −x tanβ خواهد بود. زاویه θ نیز از افق تا بردار سرعت اولیه اندازهگیری میشود.
این قرارداد علامت بخش اصلی حل است. اگر شکل سؤال زاویه پرتاب را نسبت به سطح بدهد و آن زاویه را φ بنامیم، برای شیب رو به پایین داریم θ = φ − β. برای مثال، پرتاب 60 درجه بالاتر از سطحی با شیب 20 درجه، نسبت به افق زاویه 40 درجه دارد. پیش از جایگذاری، همه زاویهها را به یک مرجع تبدیل کن.
- سطح رو به پایین: y = −x tanβ
- زاویه پرتاب نسبت به افق: θ
- زاویه پرتاب نسبت به سطح: φ = θ + β
زمان برخورد پرتابه با سطح شیبدار را پیدا کن
در نبود مقاومت هوا، حرکت افقی یکنواخت و حرکت قائم با شتاب −g است: x = v₀cosθ·t و y = v₀sinθ·t − ½gt². در لحظه برخورد، مختصات پرتابه باید معادله سطح را نیز برآورده کند. بنابراین y = −x tanβ را در دو معادله حرکت جایگذاری میکنیم.
پس از جایگذاری داریم v₀sinθ·t − ½gt² = −v₀cosθ tanβ·t. یک پاسخ t = 0 مربوط به لحظه پرتاب است و باید کنار گذاشته شود. پاسخ غیرصفر t = 2v₀(sinθ + cosθ tanβ)/g است که با اتحاد مثلثاتی به صورت t = 2v₀sin(θ+β)/(g cosβ) نوشته میشود.
برد روی شیب را با برد افقی اشتباه نگیر
پس از یافتن زمان، جابهجایی افقی نقطه برخورد x = v₀cosθ·t است. اما سؤال معمولاً فاصله پیمودهشده روی سطح، یعنی s، را میخواهد. مثلث قائمالزاویه روی شیب میدهد x = s cosβ؛ پس s = x/cosβ و برد روی سطح از برد افقی بزرگتر است.
با قرار دادن زمان برخورد، برد روی سطح برابر s = 2v₀²cosθ sin(θ+β)/(g cos²β) میشود. اگر β = 0 باشد، سطح افقی است و رابطه به s = v₀²sin(2θ)/g تبدیل میشود؛ این حد آشنا یک کنترل خوب برای فرمول است.
- برد افقی: x
- برد اندازهگیریشده روی سطح: s = x/cosβ
- کنترل سطح افقی: β = 0
مسئله را در پنج گام حل کن
یک: جهت سرازیری یا سربالایی سطح و مرجع زاویهها را روی شکل بنویس. دو: مبدأ را نقطه پرتاب و محورهای افقی–قائم را انتخاب کن. سه: معادله پرتابه و معادله خط سطح را جدا بنویس. چهار: با شرط قرارگرفتن پرتابه روی سطح، زمان برخورد غیرصفر را بیاب. پنج: با x = v₀cosθ·t برد افقی را حساب کن و فقط اگر برد روی سطح خواسته شده، از s = x/cosβ استفاده کن.
اگر صورت سؤال تنها زمان برخورد را میخواهد، محاسبه برد را ادامه نده. اگر نقطه برخورد با مختصات خواسته شده، x و y = −x tanβ کافیاند. فرمول آماده را زمانی به کار ببر که شکل دقیقاً با قرارداد سطح رو به پایین و زاویه θ نسبت به افق سازگار باشد.
مثال حلشده: پرتاب با تندی ۲۰ متر بر ثانیه روی سرازیری
سطحی مستقیم با افق زاویه β = 30° میسازد و رو به پایین میرود. جسمی از نقطهای روی سطح با تندی v₀ = 20 m/s و زاویه θ = 30° بالای افق پرتاب میشود. با فرض g = 10 m/s²، زمان برخورد، برد افقی و برد روی سطح را پیدا کن.
زمان برخورد t = 2×20×sin(30°+30°)/(10×cos30°) است. چون sin60° و cos30° برابرند، t = 4 s به دست میآید. برد افقی x = 20×cos30°×4 ≈ 69.3 m است.
برای برد روی سطح مینویسیم s = x/cos30° = 69.3/0.866 ≈ 80 m. کنترل هندسی: مؤلفه افقیِ برد روی سطح باید s cos30° باشد که تقریباً همان 69.3 متر میشود؛ بنابراین برد افقی و برد روی شیب جابهجا نشدهاند.
زاویه پرتاب برای بیشترین برد روی شیب چیست؟
وقتی v₀، β و g ثابتاند، تنها بخش وابسته به θ در رابطه برد، حاصلضرب cosθ sin(θ+β) است. با تبدیل حاصلضرب به جمع، بیشینه زمانی رخ میدهد که 2θ + β = 90° باشد. پس زاویه بهینه نسبت به افق θ_opt = 45° − β/2 است.
در مثال سطح 30 درجه، زاویه بهینه نسبت به افق 30 درجه است؛ بنابراین پرتاب مثال قبلی بیشترین برد روی همان سرازیری را دارد. زاویه آن نسبت به سطح 60 درجه است. قاعده 45 درجه سطح افقی را نباید بدون تغییر برای سطح شیبدار به کار برد.
حالت سربالایی و دامهای رایج را بشناس
اگر سطح در جهت حرکت بالا برود، معادله آن y = +x tanβ است. در این حالت عبارت زمان شامل sinθ − cosθ tanβ میشود و پرتابه برای برخورد دوباره باید بتواند بالاتر از سطح حرکت کند؛ در حالت معمول θ باید از β بزرگتر باشد. فرمولهای سرازیری را با عوضکردن ذهنی شکل به این حالت منتقل نکن؛ معادله خط سطح را دوباره بساز.
سه خطای پرتکرار عبارتاند از حذف پاسخ t = 0 بدون شناخت معنای آن، گزارش x به جای s و استفاده از زاویه نسبت به سطح در مؤلفههای v₀cosθ و v₀sinθ. همچنین این مدل مقاومت هوا را ناچیز، g را ثابت و سطح را خطی فرض میکند. راهنمای پرتاب مایل برای مرور مؤلفههای حرکت و مقاله تجزیه بردارها برای اصلاح خطای زاویه، پیوندهای مناسب ادامه مطالعهاند.
در پرتاب روی سطح شیبدار، محورهای افقی–قائم معمولاً کوتاهترین مسیر را میسازند. معادله حرکت پرتابه را بنویس، سطح رو به پایین را با y = −x tanβ نمایش بده و با برابرکردن آنها زمان برخورد غیرصفر را پیدا کن. سپس x را به برد روی سطح با s = x/cosβ تبدیل کن. فرمول زاویه بهینه θ = 45° − β/2 فقط برای سطح رو به پایین، پرتاب از روی سطح، تندی اولیه ثابت و مقاومت هوای ناچیز معتبر است. جهت شیب، مرجع زاویه و تفاوت برد افقی با برد روی سطح را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن.