پرتاب مایل؛ محاسبه زمان پرواز، برد و بیشینه ارتفاع

سرعت اولیه پرتاب مایل را چگونه تجزیه کنیم؟

محور x را افقی و در جهت پرتاب و محور y را قائم و رو به بالا انتخاب کن. اگر زاویه θ از افق اندازه‌گیری شده باشد، ضلع مجاور زاویه مؤلفه افقی و ضلع مقابل آن مؤلفه قائم است؛ بنابراین v₀x = v₀ cosθ و v₀y = v₀ sinθ. نوشتن یک مثلث کوچک کنار شکل، خطای جابه‌جاکردن سینوس و کسینوس را کم می‌کند.

پس از رهاشدن جسم و با صرف‌نظر از مقاومت هوا، تنها شتاب گرانش وارد مدل حرکت می‌شود. در نتیجه ax = 0 و ay = −g است. سرعت افقی در تمام مسیر همان v₀ cosθ می‌ماند، ولی سرعت قائم طبق vy = v₀ sinθ − gt کاهش می‌یابد، در اوج صفر می‌شود و سپس علامت منفی می‌گیرد. صفرشدن vy در اوج به معنی صفرشدن سرعت کل نیست، زیرا مؤلفه افقی هنوز وجود دارد.

• زاویه نسبت به افق: v₀x = v₀ cosθ و v₀y = v₀ sinθ.
• حرکت افقی: سرعت ثابت و شتاب صفر.
• حرکت قائم: شتاب ثابت −g و سرعت متغیر.

دو معادله حرکت را با یک زمان مشترک بنویس

اگر نقطه پرتاب را مبدأ بگیریم، مکان افقی از x = (v₀ cosθ)t و جابه‌جایی قائم از y = (v₀ sinθ)t − ½gt² به دست می‌آید. متغیر t در هر دو رابطه یکسان است؛ جسم هم‌زمان در دو جهت حرکت می‌کند، نه اینکه ابتدا حرکت قائم و سپس حرکت افقی را انجام دهد.

برای هر خواسته، رویداد فیزیکی آن را ترجمه کن. در اوج vy = 0 است؛ هنگام رسیدن به زمین، y را برابر جابه‌جایی قائم زمین نسبت به نقطه پرتاب می‌گذاریم؛ و برای یافتن مکان افقی، زمان همان رویداد را در x = v₀x t قرار می‌دهیم. این ترتیب از انتخاب تصادفی فرمول جلوگیری می‌کند.

زمان رسیدن به اوج و بیشینه ارتفاع را پیدا کن

در بالاترین نقطه، مؤلفه قائم سرعت لحظه‌ای صفر است. از 0 = v₀ sinθ − gt به زمان اوج می‌رسیم: tₕ = v₀ sinθ/g. سپس می‌توان این زمان را در معادله y گذاشت یا از رابطه مستقل از زمان vy² = v₀y² − 2gH استفاده کرد. با vy = 0، بیشینه ارتفاع نسبت به محل پرتاب H = v₀² sin²θ/(2g) می‌شود.

H افزایش ارتفاع نسبت به نقطه شروع است، نه لزوماً ارتفاع اوج از سطح زمین. اگر جسم از سکویی به ارتفاع h₀ پرتاب شده باشد، ارتفاع اوج از زمین h₀ + H است. همچنین زمان اوج فقط به مؤلفه قائم سرعت اولیه وابسته است و تغییر مؤلفه افقی، به‌تنهایی آن را عوض نمی‌کند.

زمان پرواز و برد را در فرود هم‌ارتفاع محاسبه کن

وقتی محل فرود هم‌ارتفاع محل پرتاب است، y = 0 را در معادله قائم قرار می‌دهیم: 0 = (v₀ sinθ)T − ½gT². این معادله دو جواب دارد؛ T = 0 لحظه پرتاب و جواب غیرصفر T = 2v₀ sinθ/g لحظه بازگشت به ارتفاع آغازین است. در این حالت زمان پایین‌آمدن از اوج با زمان بالارفتن برابر است.

برد افقی برابر مکان افقی در زمان فرود است: R = (v₀ cosθ)T. با جای‌گذاری زمان پرواز، R = v₀²(2sinθ cosθ)/g = v₀² sin(2θ)/g به دست می‌آید. این رابطه به هم‌ارتفاع‌بودن ابتدا و انتها وابسته است؛ برای پرتاب از بلندی باید زمان را از معادله کامل قائم پیدا کرد.

• فرود هم‌ارتفاع: T = 2v₀ sinθ/g.
• برد در همان حالت: R = v₀² sin(2θ)/g.
• پرتاب از ارتفاع: ابتدا y = Δy را حل کن و سپس x = v₀x t را به کار ببر.

مثال حل‌شده: پرتاب با سرعت ۲۰ متر بر ثانیه و زاویه ۳۰ درجه

توپی از سطح زمین با سرعت اولیه 20 m/s و زاویه 30° نسبت به افق پرتاب می‌شود و در همان تراز فرود می‌آید. مقاومت هوا را ناچیز و g = 10 m/s² بگیر. مؤلفه قائم v₀y = 20 sin30° = 10 m/s و مؤلفه افقی v₀x = 20 cos30° = 10√3 m/s است.

زمان اوج tₕ = v₀y/g = 10/10 = 1 s و زمان کل پرواز دو برابر آن، یعنی 2 s است. بیشینه ارتفاع H = v₀y²/(2g) = 100/20 = 5 m می‌شود. برد نیز از R = v₀xT برابر (10√3)(2) = 20√3 m، یعنی تقریباً 34.6 m است.

برای کنترل، در t = 2 s معادله قائم y = 10(2) − 5(2²) = 0 می‌دهد؛ پس جسم واقعاً به تراز آغازین برگشته است. در همان لحظه vy = 10 − 10(2) = −10 m/s است: اندازه مؤلفه قائم هنگام فرود با آغاز برابر و جهت آن رو به پایین است.

زاویه پرتاب چه اثری بر برد دارد؟

برای سرعت اولیه ثابت و فرود هم‌ارتفاع، برد با sin(2θ) تغییر می‌کند. بیشترین مقدار سینوس برابر یک است؛ پس در این مدل برد در θ = 45° بیشینه می‌شود. زاویه‌های مکمل مانند 30° و 60° چون sin60° = sin120° دارند، برد برابر ایجاد می‌کنند، اما زمان پرواز و ارتفاع اوج آن‌ها یکسان نیست.

این نتیجه را بدون بررسی شرایط به مسئله‌های دیگر تعمیم نده. اگر محل فرود بالاتر یا پایین‌تر از نقطه پرتاب باشد، یا مقاومت هوا مهم باشد، زاویه بیشینه‌برد الزاماً 45° نیست. در چارچوب مسئله‌های دبیرستانی، عبارت‌های «بدون مقاومت هوا»، «سرعت اولیه یکسان» و «هم‌تراز بودن ابتدا و انتها» شرط‌های کلیدی این نتیجه‌اند.

مسیر حل تست و خطاهای رایج پرتاب مایل

حل را با شکل و انتخاب محورها آغاز کن. سپس v₀ را به دو مؤلفه بشکن، Δy محل رویداد را نسبت به نقطه پرتاب بنویس و از معادله قائم زمان را بیاب. در پایان، زمان را به حرکت افقی ببر و خواسته را حساب کن. اگر سؤال سرعت در یک لحظه را خواست، vx و vy را جدا پیدا کن و اندازه سرعت را از √(vx² + vy²) به دست آور.

خطاهای پرتکرار شامل صفرگرفتن سرعت کل در اوج، استفاده از رابطه برد هم‌ارتفاع برای پرتاب از بلندی، جابه‌جاکردن سینوس و کسینوس و استفاده از دو زمان متفاوت برای دو راستاست. برای مرور حالت بدون مؤلفه قائم، راهنمای پرتاب افقی را بخوان؛ برای تسلط بیشتر بر معادله‌های مکان و سرعت نیز مقاله حرکت‌شناسی کنکور مرتبط است.

• شرط رویداد را پیش از انتخاب رابطه بنویس: vy = 0 یا y = Δy.
• علامت ay را با محور انتخابی هماهنگ نگه دار.
• فرمول‌های آماده را فقط با شرط اعتبارشان استفاده کن.
• پاسخ را با واحد، علامت و جای‌گذاری در معادله مکان کنترل کن.