در پراش تکشکاف، نور پس از عبور از شکافی باریک روی پرده پخش میشود و یک نوار روشن مرکزیِ پهن میان نوارهای کمنورتر میسازد. کمینههای تاریک از شرط a sinθ = mλ با m = 1, 2, 3, ... به دست میآیند؛ a عرض شکاف و θ زاویه کمینه نسبت به محور مرکزی است. اگر پرده دور و زاویه کوچک باشد، فاصله کمینه مرتبه m از مرکز تقریباً ym = mλL/a و پهنای نوار مرکزی w = 2λL/a است. پس نوار مرکزی میان دو کمینه اول قرار دارد و دو برابر فاصله دو کمینه پیاپی است.
الگوی تکشکاف را از نوار مرکزی پهن بشناس
وقتی عرض شکاف با طول موج قابل مقایسه باشد، نور فقط در امتداد مستقیم پیش نمیرود و در زاویههای مختلف پخش میشود. موجکهای برخاسته از بخشهای گوناگون شکاف در بعضی جهتها یکدیگر را تقویت و در بعضی جهتها خنثی میکنند؛ نتیجه، بیشینه روشن مرکزی و بیشینههای جانبی ضعیفتر است.
نوار روشن مرکزی از دو طرف به نخستین کمینههای تاریک محدود میشود و از هر نوار روشن جانبی پهنتر است. الگو نسبت به محور مرکزی متقارن است. این دو نشانه کمک میکنند پراش تکشکاف را از نقش تداخل دوشکاف، که نوارهای آن در تقریب معمول تقریباً همفاصلهاند، جدا کنی.
- مرکز الگو در θ = 0 روشن است.
- نوار مرکزی میان کمینههای مرتبه −1 و +1 قرار دارد.
- شدت بیشینههای جانبی با دورشدن از مرکز کاهش مییابد.
محل کمینهها را با شرط پراش تعیین کن
برای شکافی با عرض a، شرط کمینههای پراش a sinθ = mλ است. عدد مرتبه m برای کمینههای دو سوی مرکز مقادیر ±1، ±2 و مانند آن میگیرد؛ m = 0 کمینه نیست، زیرا مرکز الگو بیشینه روشن است. اگر فقط اندازه زاویه یا فاصله خواسته شده، میتوان مرتبه را مثبت در نظر گرفت و سمت را جداگانه مشخص کرد.
وجود یک مرتبه به شرط |mλ/a| ≤ 1 وابسته است، چون قدرمطلق سینوس نمیتواند از یک بیشتر شود. این کنترل بهویژه برای شکاف بسیار باریک یا مرتبههای بزرگ مهم است و مانع گزارش زاویهای ناممکن میشود.
زاویه کمینه را به فاصله روی پرده تبدیل کن
اگر پرده در فاصله L از شکاف باشد و کمینه در فاصله عمودی y از مرکز دیده شود، هندسه دقیق tanθ = y/L را میدهد. مسیر عمومی این است: ابتدا از sinθ = mλ/a زاویه را پیدا کن و سپس y = L tanθ را بنویس.
در آزمایشهای معمول که y در برابر L کوچک است، زاویه کوچک داریم و sinθ ≈ tanθ ≈ θ. در این تقریب ym ≈ mλL/a میشود. پیش از استفاده از این رابطه کوتاه، دادهها یا صورت سؤال را برای دوربودن پرده و کوچکبودن زاویه بررسی کن.
- رابطه دقیق: sinθ = mλ/a و y = L tanθ.
- تقریب زاویه کوچک: ym ≈ mλL/a.
- همه طولها را پیش از جایگذاری به یک واحد تبدیل کن.
پهنای نوار مرکزی را دو برابر فاصله کمینه اول بگیر
کمینه اول در سمت بالا تقریباً در y+1 = λL/a و کمینه اول در سمت پایین در y−1 = −λL/a قرار دارد. پهنای نوار مرکزی فاصله میان این دو نقطه است؛ بنابراین w = y+1 − y−1 = 2λL/a.
فاصله دو کمینه پیاپی در یک سمت الگو λL/a است. پس اگر سؤال فاصله مرکز تا اولین تاریکی را بخواهد، پاسخ λL/a است؛ اگر پهنای کامل نوار روشن مرکزی را بخواهد، پاسخ دو برابر آن خواهد بود. همین تفاوت منشأ بسیاری از خطاهای ضریب دو است.
مسئله پراش تکشکاف را در پنج گام حل کن
یک: کمیتها را مشخص کن؛ a عرض شکاف، λ طول موج و L فاصله شکاف تا پرده است. دو: واحد همه طولها را یکسان کن. سه: تعیین کن خواسته زاویه کمینه، فاصله کمینه از مرکز یا پهنای نوار مرکزی است. چهار: برای زاویه از a sinθ = mλ، برای مکان در تقریب زاویه کوچک از ym ≈ mλL/a و برای پهنای مرکزی از w = 2λL/a استفاده کن. پنج: مرتبه، تقارن و اندازه جواب را کنترل کن.
اگر فقط تغییر یکی از کمیتها مطرح است، محاسبه عددی لازم نیست. از w ∝ λL/a بخوان: طول موج یا فاصله پرده دو برابر شود، پهنای مرکزی دو برابر میشود؛ عرض شکاف دو برابر شود، پهنا نصف میشود. این نسبتخوانی هم سریعتر است و هم خطای تبدیل واحد را کم میکند.
مثال حلشده: مکان کمینه دوم و پهنای نوار مرکزی
نور تکرنگ با طول موج 600 nm از شکافی به عرض 0.30 mm میگذرد و روی پردهای در فاصله 2.0 m نقش میبندد. با فرض زاویه کوچک، فاصله کمینه دوم از مرکز و پهنای نوار روشن مرکزی را پیدا کن.
ابتدا واحدها را هماهنگ میکنیم: λ = 600×10⁻⁹ m و a = 0.30×10⁻³ m. برای کمینه دوم، y2 = 2λL/a؛ پس y2 = 2×600×10⁻⁹×2.0 ÷ (0.30×10⁻³) = 8.0×10⁻³ m، یعنی 8.0 mm از مرکز.
برای پهنای مرکزی w = 2λL/a داریم w = 2×600×10⁻⁹×2.0 ÷ (0.30×10⁻³) = 8.0 mm. برابرشدن عددی y2 و w تصادفی نیست: y2 فاصله مرکز تا کمینه دوم در یک سمت است، اما w فاصله کمینه اول یک سمت تا کمینه اول سمت دیگر است.
اثر طول موج و عرض شکاف را بدون محاسبه مقایسه کن
نور با طول موج بلندتر بیشتر پراش مییابد و الگوی بازتری میسازد؛ بنابراین در شرایط یکسان، نوار مرکزی نور قرمز از نور با طول موج کوتاهتر پهنتر است. دورکردن پرده نیز فاصلههای خطی روی پرده را افزایش میدهد، هرچند زاویه کمینهها را تغییر نمیدهد.
باریکترکردن شکاف، پراش را بیشتر و نوار مرکزی را پهنتر میکند. این نتیجه ممکن است در نگاه اول خلاف انتظار باشد، اما مستقیماً از نسبت معکوس w با a به دست میآید. اگر عرض شکاف آنقدر زیاد شود که λ/a بسیار کوچک باشد، الگو در نزدیکی راستای مستقیم فشرده میشود.
پراش تکشکاف را با تداخل دوشکاف جابهجا نکن
در تکشکاف، a عرض همان شکاف است و رابطه a sinθ = mλ محل تاریکیها را میدهد. در آزمایش دوشکاف، فاصله میان دو شکاف معمولاً با d نشان داده میشود و شرط اختلاف راه، جای نوارهای تداخلی را تعیین میکند. یکسانگرفتن a و d میتواند حتی با جایگذاری درست، پاسخ فیزیکی نادرست بسازد.
در نقش واقعی دوشکاف، هر شکاف عرض محدودی دارد؛ بنابراین نوارهای ریز تداخل درون یک پوش پراش قرار میگیرند. بااینحال، وقتی مسئله فقط تکشکاف را توصیف میکند، سراغ فاصله دو شکاف نرو. اگر دو شکاف و فاصله میان آنها داده شدهاند، راهنمای تداخل نور در دوشکاف یانگ مسیر جداگانه این تحلیل را توضیح میدهد.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه حذف کن
خطای اول، قراردادن m = 0 بهعنوان کمینه مرکزی است. خطای دوم، یکیگرفتن فاصله مرکز تا کمینه اول با پهنای کامل نوار مرکزی است. خطای سوم، واردکردن nm و mm بدون تبدیل به واحد یکسان است. خطای چهارم، استفاده بیبررسی از sinθ ≈ tanθ برای زاویهای که کوچک نیست.
برای کنترل نهایی بپرس: آیا مرتبه کمینه از یک شروع شده؟ آیا پهنای مرکزی دو سوی محور را پوشش میدهد؟ آیا با افزایش a جواب کوچکتر میشود؟ و آیا mλ/a از یک بیشتر نشده است؟ این چهار پرسش کوتاه بیشتر دامهای محاسباتی این مبحث را آشکار میکند.
برای حل پراش تکشکاف، ابتدا a، λ و فاصله پرده L را همواحد کن. کمینهها را با a sinθ = mλ شمارهگذاری کن و فقط در زاویه کوچک از ym ≈ mλL/a بهره ببر. نوار مرکزی از کمینه m = −1 تا m = +1 کشیده میشود؛ بنابراین پهنای آن w = 2λL/a است، نه λL/a. افزایش طول موج یا فاصله پرده الگو را بازتر و افزایش عرض شکاف آن را فشردهتر میکند. در پایان نیز با نسبتها، تقارن الگو و امکانپذیری sinθ پاسخ را کنترل کن.