برای دو جرم مثبتِ جدا از هم، نقطه صفر میدان گرانشی روی خط واصل و میان دو جرم قرار دارد؛ زیرا فقط در این ناحیه دو میدان خلاف جهتاند. اگر فاصله جرمهای M₁ و M₂ برابر d و فاصله نقطه از M₁ برابر x باشد، فاصله آن از M₂ برابر d − x است. شرط صفرشدن برآیند، GM₁/x² = GM₂/(d − x)² است و از آن x = d√M₁/(√M₁ + √M₂) به دست میآید. نقطه به جرم کوچکتر نزدیکتر است، نه جرم بزرگتر.
ناحیه ممکن را از جهت میدانها پیدا کن
میدان گرانشی هر جرم در هر نقطه به سوی همان جرم است. دو جرم M₁ و M₂ را روی یک خط قرار بده. در سمت چپ هر دو جرم، هر دو میدان به راستاند و جمع میشوند؛ در سمت راست هر دو نیز هر دو میدان به چپاند. میان دو جرم، یکی از میدانها به چپ و دیگری به راست است و فقط در همین بازه امکان خنثیشدن وجود دارد.
این نتیجه به مثبتبودن جرمها وابسته است؛ در مکانیک دبیرستان جرم گرانشی منفی نداریم. پس لازم نیست سه معادله جدا حل کنی. ابتدا با جهت بردارها دو ناحیه بیرونی را حذف کن و بعد محاسبه را فقط در فاصله میان دو جرم انجام بده.
- میدان هر جرم به سوی آن جرم است.
- بیرون بازه دو جرم، میدانها همجهتاند.
- میان دو جرم، میدانها خلاف جهتاند و میتوانند خنثی شوند.
فاصلهها را با یک متغیر بنویس و اندازه میدانها را برابر بگذار
مبدأ را روی M₁ بگذار و M₂ را در فاصله d قرار بده. اگر نقطه موردنظر در فاصله x از M₁ باشد، چون میان دو جرم است باید 0 < x < d و فاصلهاش از M₂ برابر d − x باشد. اندازه میدان جرم نقطهای M در فاصله r از رابطه g = GM/r² به دست میآید.
برای صفرشدن میدان برآیند، دو بردار مخالف باید اندازه برابر داشته باشند: GM₁/x² = GM₂/(d − x)². ثابت G حذف میشود. با گرفتن ریشه مثبت، √M₁/x = √M₂/(d − x) و سرانجام x = d√M₁/(√M₁ + √M₂) است. ریشه مثبت را میگیریم چون فاصلهها مثبتاند.
از نسبت فاصلهها برای حل سریعتر استفاده کن
رابطه برابری میدانها را میتوان به شکل x/(d − x) = √(M₁/M₂) نوشت. این فرم پیش از هر محاسبه جای تقریبی نقطه را نشان میدهد. اگر M₁ بزرگتر باشد، x نیز از d − x بزرگتر است؛ یعنی نقطه از جرم بزرگتر دورتر و به جرم کوچکتر نزدیکتر است.
برای جرمهای برابر، نسبت فاصلهها یک است و x = d/2 میشود. اگر یکی از جرمها بسیار بزرگتر باشد، نقطه صفر به جرم کوچکتر نزدیک میشود، اما تا وقتی هر دو جرم مثبت و جدا هستند دقیقاً روی آن قرار نمیگیرد؛ زیرا میدان جرم کوچک در فاصله صفر نامتناهیِ مدل نقطهای است.
مثال حلشده: دو جرم با نسبت چهار به یک
دو جرم M₁ = 4m و M₂ = m به فاصله d = 6 m از هم ثابتاند. نقطه صفر میدان گرانشی را نسبت به جرم 4m پیدا کن. چون هر دو جرم مثبتاند، نقطه میان آنهاست؛ فاصله از 4m را x و فاصله از m را 6 − x میگیریم.
از برابری میدانها داریم 4m/x² = m/(6 − x)². پس x/(6 − x) = √4 = 2 و در نتیجه x = 2(6 − x). حل معادله 3x = 12 میدهد x = 4 m. بنابراین نقطه در فاصله ۴ متری جرم بزرگتر و ۲ متری جرم کوچکتر است.
کنترل جواب روشن است: نقطه داخل بازه صفر تا ۶ متر قرار دارد و به جرم کوچکتر نزدیکتر است. جایگذاری نیز 4m/4² = m/2² = m/4 میدهد؛ پس اندازه دو میدان برابر و جهت آنها مخالف است.
میدان صفر را از نیروی خالص صفر جدا نکن
اگر یک جرم آزمایشی غیرصفر را در نقطهای قرار دهیم، نیروی گرانشی خالص آن F = m_test g_net است. بنابراین در نقطهای که میدان برآیند صفر است، نیروی گرانشی خالص بر هر جرم آزمایشی نیز صفر میشود و مکان این نقطه به مقدار جرم آزمایشی وابسته نیست.
با این حال صفرشدن نیروی لحظهای به معنی سکون همیشگی یا تعادل پایدار نیست. جسمی که سرعت اولیه دارد میتواند از نقطه عبور کند. همچنین یک جابهجایی کوچک روی خط، برابری میدانها را بر هم میزند؛ پس برای توصیف حرکت بعدی باید نیرو را در مکان تازه بررسی کرد.
میدان صفر را با پتانسیل گرانشی صفر اشتباه نگیر
میدان کمیتی برداری است و دو میدان مخالف میتوانند همدیگر را خنثی کنند. پتانسیل گرانشی کمیتی نردهای است و با مرجع صفر در بینهایت، پتانسیل دو جرم مثبت به صورت V = −GM₁/r₁ − GM₂/r₂ جمع میشود. هر دو جمله در فاصله محدود منفیاند؛ بنابراین در نقطه صفر میدان، پتانسیل لزوماً صفر نیست و در این مدل منفی است.
پس اگر صورت سؤال «نیروی خالص»، «شدت میدان برآیند» یا «شتاب گرانشی برآیند» را صفر بخواهد، برابری اندازه بردارهای میدان مسیر درست است. اگر انرژی پتانسیل یا پتانسیل خواسته شده باشد، باید جمع نردهای را جداگانه بنویسی.
پاسخ را با چهار کنترل کوتاه بررسی کن
یک: نقطه باید میان دو جرم باشد. دو: فاصله آن تا جرم بزرگتر باید بیشتر باشد. سه: اگر جرمها برابر شدند، فرمول باید وسط فاصله را بدهد. چهار: جایگذاری فاصلههای نهایی در M/r² باید دو مقدار برابر بسازد؛ ثابت G برای این کنترل لازم نیست.
خطای رایج، برابرگرفتن فاصله نقطه تا هر دو جرم یا نوشتن فاصله دوم به صورت d + x است. شکل خطی و قید 0 < x < d جلوی هر دو خطا را میگیرد. برای مرور منشأ رابطه میدان، راهنمای قانون گرانش و حرکت ماهواره را بخوان؛ اگر در جهت بردارها مشکل داری، مقاله تجزیه و جمع بردارها مسیر مناسبتری است.
برای یافتن نقطه صفر میدان گرانشی، نخست جهت میدان هر جرم را در سه ناحیه رسم کن. برای دو جرم مثبت، تنها بازه میان آنها ممکن است؛ سپس فاصلهها را از یک مبدأ واحد بنویس و اندازه میدانها را برابر قرار بده. پاسخ باید داخل بازه باشد و به جرم کوچکتر نزدیکتر درآید. در پایان، بهطور جداگانه بررسی کن که سؤال میدان صفر میخواهد یا پتانسیل صفر؛ این دو شرط یکسان نیستند.