پاسخ مستقیم این است: اگر مایع و جسم نسبت به کابین آسانسور ساکن باشند، در رابطههای فشار و شناوری باید g را با اندازه گرانش مؤثر جایگزین کنی. برای شتاب آسانسور رو به بالا، g_eff = g + a و F_B = ρ_f V_d(g + a)؛ برای شتاب رو به پایین با اندازه a، g_eff = g − a و F_B = ρ_f V_d(g − a) است. در سقوط آزاد g_eff = 0 میشود و اختلاف فشار هیدروستاتیکی و نیروی شناوری در مدل آرمانی از بین میروند. جهت حرکت آسانسور تعیینکننده نیست؛ جهت شتاب آن مهم است.
گرانش مؤثر را از جهت شتاب آسانسور بساز
محور قائم را رو به بالا بگیر. در چارچوب کابین که با شتاب a⃗ حرکت میکند، اثر وزن و نیروی لختی را میتوان با میدان مؤثر g⃗_eff = g⃗ − a⃗ نمایش داد. اگر آسانسور با اندازه a رو به بالا شتاب بگیرد، اندازه این میدان g + a است؛ اگر شتاب آن رو به پایین باشد، اندازه میدان به g − a کاهش مییابد، به شرط آنکه a از g بیشتر نباشد.
عبارت «آسانسور بالا میرود» بهتنهایی برای انتخاب علامت کافی نیست. آسانسوری که رو به بالا حرکت میکند اما سرعتش کم میشود، شتاب رو به پایین دارد و باید از g − a استفاده کرد. به همین ترتیب، آسانسورِ در حال پایینآمدن که ترمز میکند شتاب رو به بالا دارد و g_eff آن g + a است.
- شتاب رو به بالا: g_eff = g + a
- شتاب رو به پایین: g_eff = g − a
- حرکت یکنواخت یا سکون: g_eff = g
فشار هیدروستاتیکی و نیروی ارشمیدس را بازنویسی کن
وقتی مایع پس از شروع شتاب نسبت به ظرف آرام شده باشد، اختلاف فشار میان دو تراز با Δp = ρ_f g_eff Δh به دست میآید. بنابراین برآیند نیروهای فشاری روی جسم غوطهور برابر وزن مؤثر مایع جابهجاشده است: F_B = ρ_f V_d g_eff. در این رابطه ρ_f چگالی مایع و V_d حجم جابهجاشده است.
با شتاب رو به بالا، گرادیان فشار و نیروی شناوری هر دو بیشتر میشوند؛ با شتاب رو به پایین هر دو کاهش مییابند. این نتیجه فقط جایگذاری صوری نیست: لایه پایینتر مایع باید هم وزن لایههای بالاتر را تحمل کند و هم آنها را همراه آسانسور شتاب دهد، پس اختلاف فشار متناسب با g_eff تغییر میکند.
- اختلاف فشار: Δp = ρ_f g_eff Δh
- شناوری: F_B = ρ_f V_d g_eff
- حجم جابهجاشده را با حجم کل جسم یکی نگیر، مگر جسم کاملاً غوطهور باشد.
وزن ظاهری جسم غوطهور را از نمودار نیروها پیدا کن
جسمی با جرم m و حجم V را در نظر بگیر که کاملاً در مایع غوطهور و با نخ از سقف کابین آویزان است. اگر جسم نسبت به کابین ساکن باشد، در چارچوب زمین همان شتاب آسانسور را دارد. برای شتاب رو به بالا، معادله T + F_B − mg = ma است و با F_B = ρ_f V(g + a) به T = (m − ρ_f V)(g + a) میرسیم.
برای شتاب رو به پایین، همین مسیر T = (m − ρ_f V)(g − a) را میدهد. کشش نخ یا عدد نیروسنج همان وزن ظاهریِ جسم در مایع است. اگر جسم از مایع چگالتر نباشد، ممکن است برای نگهداشتن آن در جای مشخص به نخ متصل به کف یا نیرویی رو به پایین نیاز باشد؛ پس جهت فرضی کشش را با علامت جواب کنترل کن.
چرا کسر فرورفته جسم شناور تغییر نمیکند؟
برای جسمی که آزادانه روی مایع شناور و نسبت به کابین ساکن است، وزن مؤثر جسم و نیروی شناوری برابرند: ρ_obj V g_eff = ρ_f V_d g_eff. تا وقتی g_eff صفر نباشد، این عامل از دو طرف حذف میشود و V_d/V = ρ_obj/ρ_f باقی میماند.
پس شتاب یکنواخت آسانسور مقدار نیروی شناوری را تغییر میدهد، اما نسبت حجم فرورفته جسم شناور را تغییر نمیدهد؛ زیرا نیروی لازم برای نگهداشتن خود جسم نیز به همان نسبت تغییر کرده است. این نتیجه با مسئله جسم کاملاً غوطهورِ متصل به نیروسنج فرق دارد که عدد دستگاه با g_eff تغییر میکند.
مسئله شناوری در آسانسور را در پنج گام حل کن
یک: از تغییر تندی، جهت شتاب را تعیین کن؛ نه فقط جهت حرکت را. دو: g_eff را برابر g + a یا g − a بنویس. سه: حجم جابهجاشده را از حالت غوطهوری یا شناوری مشخص کن. چهار: F_B = ρ_f V_d g_eff را در نمودار جسم آزاد قرار بده. پنج: معادله نیروها را برای خواستهای مانند کشش، کسر فرورفته یا اختلاف فشار حل و پاسخ را در حالت a = 0 کنترل کن.
اگر سؤال در دستگاه زمین حل شود، نیروی مجازی رسم نکن و برای جسم ΣF = ma بنویس. اگر دستگاه آسانسور را انتخاب میکنی، جسم ساکن است اما باید نیروی لختی −ma را اضافه کنی. مخلوطکردن این دو روش معمولاً باعث میشود شتاب را دوبار وارد معادله کنی.
مثال حلشده: عدد نیروسنج برای جسم در آب
جسمی با جرم 3 kg و حجم 1.0×10⁻³ m³ کاملاً در آب فرو رفته و از نیروسنج سقفی آویزان است. آسانسور با شتاب 2 m/s² رو به بالا حرکت میکند. با ρ آب = 1000 kg/m³ و g = 10 m/s²، عدد نیروسنج را بیاب.
چون شتاب رو به بالاست، g_eff = 10 + 2 = 12 m/s². نیروی شناوری F_B = ρVg_eff = 1000×10⁻³×12 = 12 N است. وزن مؤثر جرم در کابین m g_eff = 3×12 = 36 N میشود؛ بنابراین T = 36 − 12 = 24 N.
کنترل پاسخ: در آسانسور بدون شتاب، نیروسنج (3 − 1)×10 = 20 N نشان میداد، پس در شتاب رو به بالا عدد 24 N منطقی است. اگر همین آسانسور با شتاب 2 m/s² رو به پایین حرکت میکرد، g_eff = 8 و عدد دستگاه 16 N میشد.
سقوط آزاد و خطاهای رایج را جداگانه کنترل کن
در سقوط آزاد ایدئال، a = g رو به پایین و در نتیجه g_eff = 0 است. مایع و ظرف با هم سقوط میکنند، گرادیان فشار هیدروستاتیکی معمول از بین میرود و F_B = 0 میشود. در این حالت رابطه کسر فرورفته از حذف g_eff به دست نمیآید، چون تقسیم بر صفر مجاز نیست و مفهوم سطح آرامِ شناوری مانند حالت معمول کاربرد ندارد.
خطای اول، انتخاب علامت از روی بالا یا پایینرفتن آسانسور به جای جهت شتاب است. خطای دوم، استفاده از mg بهجای ρ_f V_d g_eff برای شناوری است. خطای سوم، فرض تغییر کسر فرورفته با شتاب است. خطای چهارم، افزودن همزمان نیروی لختی و ma در یک سوی معادله است. برای مرور پایه، راهنمای نیروی ارشمیدس را بخوان؛ مقاله وزن ظاهری آسانسور نمودار نیروها و مقاله آونگ در آسانسور مفهوم g_eff را از زاویهای دیگر تمرین میدهند.
در مسائل شناوریِ آسانسور، ابتدا جهت شتاب را پیدا کن و سپس g_eff را بساز: شتاب رو به بالا g + a و شتاب رو به پایین g − a. برای جسم و مایعی که نسبت به کابین ساکناند، F_B = ρ_f V_d g_eff و کشش جسم کاملاً غوطهور T = (m − ρ_f V)g_eff است. سهم فرورفته جسم شناور تا وقتی g_eff غیرصفر است به شتاب آسانسور وابسته نیست. سرعت یا جهت حرکت را با شتاب اشتباه نگیر و سقوط آزاد را حالت حدیِ نبود گرادیان فشار در نظر بگیر.