اگر میله رسانایی به طول مؤثر L با سرعت v عمود بر میدان مغناطیسی یکنواخت B حرکت کند، نیروی محرکه القایی دو سر آن ε = BLv است؛ البته این رابطه زمانی مستقیم به کار میرود که میله، سرعت و میدان بر هم عمود باشند. در مدار بسته، جریان از I = ε/Rکل به دست میآید. برای تعیین جهت، نیروی مغناطیسی q(v×B) بر بار مثبت را پیدا کن یا با قانون لنز جهتی را انتخاب کن که میدان ناشی از جریان با تغییر شار مخالفت کند.
جدایی بار در میله متحرک را از نیروی مغناطیسی بفهم
بارهای آزاد میله همراه آن با سرعت v در میدان حرکت میکنند و نیروی مغناطیسی F = q(v×B) میگیرند. بارهای مثبت فرضی در جهت v×B و الکترونها در خلاف آن جابهجا میشوند. تجمع بار در دو سر میله، میدان الکتریکی داخلی ایجاد میکند و این جدایی تا جایی ادامه مییابد که نیروی الکتریکی و مغناطیسی بر بارها متعادل شوند.
در حالت تعادل، qE = qvB و در هندسه عمود E = vB است. اختلاف پتانسیل دو سر میله برابر EL میشود، پس ε = BLv. این استدلال روشن میکند که حتی اگر ریلها مدار را نبسته باشند، میان دو سر میله اختلاف پتانسیل ایجاد میشود؛ اما جریان پایدار فقط در مسیر بسته برقرار است.
- مدار باز: اختلاف پتانسیل داریم، اما جریان پایدار نداریم.
- مدار بسته: نیروی محرکه، جریان را در مقاومت کل مدار برقرار میکند.
- جهت v×B برای بار مثبت تعریف میشود؛ حرکت الکترون خلاف آن است.
شرطهای استفاده از ε = BLv را پیش از جایگذاری بررسی کن
در رابطه ساده ε = BLv، طول L بخش مؤثر میله درون میدان است و راستای میله باید با سرعت و میدان هندسه مناسب داشته باشد. اگر سرعت با میدان زاویه θ بسازد و میله در راستای v×B باشد، اندازه نیروی محرکه ε = BLv sinθ میشود. حرکت موازی میدان نیروی مغناطیسی ایجاد نمیکند و در این مدل ε صفر است.
اگر فقط بخشی از میله داخل میدان باشد، همان طول داخل میدان را وارد کن. همچنین v باید سرعت عمود بر مرزهای شار باشد، نه هر مؤلفه دلخواه سرعت. برای شکلهای پیچیدهتر، راه مطمئن محاسبه تغییر شار و استفاده از |ε| = |ΔΦ/Δt| است؛ رابطه BLv یک نتیجه ویژه از همین قانون است.
جهت جریان را با دو روش مستقل تعیین کن
روش نخست از نیرو بر بار مثبت استفاده میکند: جهت v×B را با قاعده دست راست پیدا کن؛ سری از میله که بار مثبت در آن جمع میشود پتانسیل بالاتری دارد. اگر مدار بسته باشد، جریان قراردادی در مدار بیرونی از سر پتانسیل بالاتر به سر پتانسیل پایینتر میرود.
روش دوم قانون لنز است. مشخص کن با حرکت میله، مساحت حلقه و شار رو به داخل یا بیرون صفحه بیشتر یا کمتر میشود. جریان القایی باید میدانی بسازد که با همین تغییر مخالفت کند، نه لزوماً با خود میدان خارجی. سپس جهت جریان حلقه را با قاعده دست راست بیاب. اگر دو روش به جهتهای متفاوت رسیدند، علامت تغییر شار یا جهت v×B را دوباره بررسی کن.
مثال حلشده: جریان میلهای که روی دو ریل حرکت میکند
دو ریل رسانای موازی 40 cm از هم فاصله دارند و با مقاومتی 3 Ω به هم وصلاند. میلهای با مقاومت 1 Ω روی ریلها با سرعت ثابت 5 m/s به راست حرکت میکند. میدان یکنواخت 0.50 T به داخل صفحه است و مقاومت ریلها ناچیز فرض میشود. طول مؤثر میله L = 0.40 m است؛ پس ε = BLv = 0.50×0.40×5 = 1.0 V.
مقاومت کل مدار Rکل = 3 + 1 = 4 Ω و جریان I = ε/Rکل = 1/4 = 0.25 A است. با حرکت میله به راست، مساحت حلقه و شار رو به داخل صفحه افزایش مییابد؛ بنابراین جریان باید میدان رو به بیرون صفحه بسازد و پادساعتگرد باشد. همین نتیجه از v×B نیز به دست میآید: نیروی بار مثبت در میله رو به بالاست، پس سر بالایی میله پتانسیل بیشتری دارد.
نیروی ترمزی میله و نیروی خارجی را حساب کن
پس از برقراری جریان، میدان خارجی به میله حامل جریان نیروی Fmag = BIL وارد میکند. جهت این نیرو طبق قانون لنز خلاف حرکتی است که شار را تغییر میدهد؛ در مثال، نیروی مغناطیسی به چپ است. اندازه آن Fmag = 0.50×0.25×0.40 = 0.050 N میشود.
اگر صورت سؤال بگوید میله با سرعت ثابت حرکت میکند، شتاب صفر و برآیند نیروها صفر است؛ پس عامل بیرونی باید نیرویی 0.050 N به راست وارد کند. اگر نیروی خارجی حذف شود، میله به سبب نیروی ترمزی کند میشود و با کاهش v، نیروی محرکه، جریان و نیروی ترمزی نیز کاهش مییابند. بنابراین استفاده از حرکت با شتاب ثابت در این مرحله معمولاً درست نیست.
برابری توان مکانیکی و الکتریکی را برای کنترل پاسخ به کار ببر
در حرکت یکنواخت، توان عامل بیرونی Pmech = Fextv است. از طرف دیگر، توان تحویلی نیروی محرکه P = εI و توان گرمایی کل مدار Pheat = I²Rکل است. چون ε = IRکل، این سه مقدار در مدل آرمانی با هم برابرند؛ انرژی از عامل مکانیکی میآید و در مقاومتهای مدار به گرما تبدیل میشود.
در مثال، Pmech = 0.050×5 = 0.25 W و I²Rکل = (0.25)²×4 = 0.25 W است. این برابری کنترل دقیقی برای اعداد است. اگر فقط توان مقاومت 3 Ω خواسته شود، باید I²×3 = 0.1875 W را گزارش کنی؛ باقی توان در مقاومت خود میله تلف میشود.
اثر سرعت، میدان و مقاومت را بدون محاسبه کامل مقایسه کن
با ثابتبودن هندسه و مقاومت، ε و I با v نسبت مستقیم دارند، اما نیروی ترمزی F = BIL = B²L²v/Rکل نیز با v متناسب است. دوبرابرشدن میدان، نیروی محرکه و جریان را دو برابر ولی نیروی ترمزی را چهار برابر میکند. افزایش مقاومت کل، جریان و نیروی ترمزی را کاهش میدهد.
توان گرمایی کل P = ε²/Rکل = B²L²v²/Rکل است؛ بنابراین با دوبرابرشدن سرعت، توان چهار برابر میشود. این تناسبها تنها وقتی معتبرند که B، L و Rکل ثابت بمانند. اگر میله از ناحیه میدان خارج شود یا مقاومت با دما تغییر محسوسی کند، باید بازههای حرکت را جدا تحلیل کرد.
مسیر حل ششمرحلهای را در تست اجرا کن
یک: ناحیه میدان، جهت حرکت و طول مؤثر میله را روی شکل علامت بزن. دو: با تغییر مساحت، افزایش یا کاهش شار را تعیین کن. سه: نیروی محرکه را از BLv یا نرخ تغییر شار بیاب. چهار: مقاومت همه اجزای مسیر بسته را جمع و جریان را حساب کن. پنج: جهت جریان را با قانون لنز یا v×B تعیین کن. شش: اگر نیرو یا توان خواسته شده، از BIL و Fv استفاده و پاسخ را با I²R کنترل کن.
سه خطای رایج عبارتاند از واردکردن فقط مقاومت خارجی به جای مقاومت کل، یکیگرفتن جهت حرکت الکترون با جریان قراردادی و گفتن اینکه جریان با میدان خارجی مخالفت میکند. بیان دقیق این است که اثر القایی با تغییر شار مخالفت میکند. برای مرور این تشخیص جهت، راهنمای قانون لنز و برای نیروی وارد بر میله، مقاله نیروی مغناطیسی بر سیم حامل جریان را دنبال کن.
- واحدها را به تسلا، متر، متر بر ثانیه و اهم تبدیل کن.
- در مدار باز، I = 0 است؛ هرچند ε میتواند صفر نباشد.
- در حرکت یکنواخت، جهت نیروی خارجی خلاف نیروی مغناطیسی است.
- تغییر شار، نه صرف وجود میدان، جهت جریان القایی را تعیین میکند.
در مسئله میله متحرک، ابتدا طول مؤثر داخل میدان و زاویههای هندسی را مشخص کن؛ سپس ε = BLv را فقط برای حالت عمود یا رابطه عمومی ε = BLv sinθ را به کار ببر. در مدار بسته، مقاومت کل مسیر جریان را تعیین میکند. جهت جدایی بار را با v×B و جهت جریان حلقه را با قانون لنز کنترل کن. اگر میله یکنواخت حرکت میکند، نیروی خارجی با نیروی ترمزی مغناطیسی برابر است و توان مکانیکی ورودی با توان الکتریکی تلفشده برابری میکند.