نیروی مغناطیسی بین دو سیم موازی؛ تشخیص جذب و دفع و محاسبه نیرو

مسئله را به میدان یک سیم و نیروی سیم دیگر تبدیل کن

هر سیم حامل جریان در اطراف خود میدان مغناطیسی می‌سازد. در مدل سیم راستِ بسیار بلند، اندازه میدان در فاصله عمودی d از محور سیم برابر B₁ = μ₀I₁/(2πd) است. سیم دوم در این میدان قرار دارد و نیروی F₂ = I₂LB₁ را تجربه می‌کند؛ چون سیم و میدان در محل آن بر هم عمودند، عامل sinθ برابر یک است.

با جای‌گذاری میدان، F₂ = μ₀I₁I₂L/(2πd) و در نتیجه F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) به دست می‌آید. این رابطه برای دو سیم مستقیم، موازی و بسیار بلند در هوا یا خلأ و برای بخشی دور از انتهای سیم‌ها به کار می‌رود. مقدار μ₀ در محاسبات دبیرستانی 4π × 10⁻⁷ T·m/A است.

• فاصله d از محور یک سیم تا محور سیم دیگر اندازه‌گیری می‌شود.
• اگر طول سیم داده نشده باشد، معمولاً F/L یا نیروی وارد بر واحد طول خواسته شده است.
• هر دو جریان در حاصل‌ضرب اندازه‌ها وارد می‌شوند؛ جهت آن‌ها نوع نیرو را تعیین می‌کند.

جذب یا دفع را از جهت جریان‌ها تشخیص بده

برای جریان‌های هم‌جهت، نیروی وارد بر هر سیم به سوی سیم دیگر است؛ پس سیم‌ها همدیگر را جذب می‌کنند. برای جریان‌های خلاف جهت، نیروی هر سیم از سیم دیگر دور می‌شود و برهم‌کنش دافعه است. این قاعده کوتاه نتیجه دو مرحله قاعده دست راست است، نه یک رابطه جداگانه برای حفظ‌کردن.

برای بازسازی جهت، شست دست راست را در جهت جریان سیم اول بگیر تا خمیدگی انگشتان جهت میدان آن را در محل سیم دوم نشان دهد. سپس برای سیم دوم از جهت برداری I₂L × B₁ یا قاعده دست راست نیروی سیم حامل جریان استفاده کن. جابه‌جاکردن نقش دو سیم، نیرویی هم‌اندازه و خلاف جهت به دست می‌دهد.

مسیر حل چهارمرحله‌ای را اجرا کن

یک: جهت جریان هر سیم و فاصله مرکز تا مرکز را روی شکل علامت بزن. دو: یکی از سیم‌ها را منبع میدان در نظر بگیر و B = μ₀I/(2πd) را در جای سیم دیگر حساب کن. سه: اندازه نیرو را با F = I دیگری × L × B به دست آور. چهار: جهت نیرو را مستقل از محاسبه عددی و با هم‌جهت یا خلاف‌جهت بودن جریان‌ها تعیین کن.

اگر چند سیم وجود دارد، نیروهای وارد بر سیم هدف را دوتایی حساب کن و سپس به‌صورت برداری جمع بزن. رابطه دو سیم فقط اندازه هر سهم را می‌دهد؛ نیروهای دو سوی سیم ممکن است هم‌جهت یا خلاف جهت باشند و جمع عددیِ بدون علامت پاسخ نادرست بسازد.

• داده‌ها را به آمپر، متر و نیوتن تبدیل کن.
• ابتدا نیروی هر زوج سیم را جداگانه پیدا کن.
• یک جهت قراردادی مثبت انتخاب کن و برآیند را با علامت بنویس.

مثال حل‌شده: دو سیم با جریان‌های هم‌جهت

دو سیم بلند موازی با فاصله 20 cm، جریان‌های 3 A و 5 A را در یک جهت حمل می‌کنند. نیروی وارد بر قطعه‌ای به طول 2 m از هر سیم را بیاب. ابتدا d = 0.20 m و L = 2 m را در SI می‌نویسیم.

از F = μ₀I₁I₂L/(2πd) داریم: F = [(4π × 10⁻⁷) × 3 × 5 × 2]/[2π × 0.20] = 3.0 × 10⁻⁵ N. چون جریان‌ها هم‌جهت‌اند، نیرو جاذبه است؛ یعنی نیروی وارد بر سیم چپ به راست و نیروی وارد بر سیم راست به چپ خواهد بود.

کنترل پاسخ: نیروی واحد طول F/L = 1.5 × 10⁻⁵ N/m است و ضرب آن در 2 m همان 3.0 × 10⁻⁵ N را می‌دهد. اگر فاصله به 40 cm می‌رسید، با ثابت‌ماندن جریان‌ها و طول، نیرو نصف می‌شد.

مثال کاربردی: نیروی خالص بر سیم میانی

سه سیم موازی A، B و C روی یک خط قرار دارند. فاصله A تا B برابر d و فاصله B تا C برابر 2d است. هر سه جریان هم‌جهت و اندازه جریان‌ها برابر I است. سیم A، سیم B را به چپ جذب می‌کند و اندازه نیروی واحد طول آن μ₀I²/(2πd) است؛ سیم C نیز B را به راست جذب می‌کند، اما سهم آن μ₀I²/(4πd) است.

با انتخاب راست به‌عنوان جهت مثبت، برآیند نیروی واحد طول بر B برابر μ₀I²/(4πd) به سمت چپ می‌شود. نکته اصلی این مثال آن است که هم‌جهت‌بودن هر سه جریان به معنای صفرشدن نیرو نیست؛ فاصله‌های متفاوت، اندازه دو نیروی مخالف را متفاوت می‌کند.

سؤال‌های نسبتی را بدون محاسبه کامل حل کن

از F/L ∝ I₁I₂/d می‌توان تغییرات را مستقیم مقایسه کرد. دو برابرشدن یکی از جریان‌ها نیرو را دو برابر می‌کند؛ دو برابرشدن هر دو جریان نیرو را چهار برابر می‌کند؛ و نصف‌شدن فاصله، نیرو را دو برابر می‌سازد. تغییر جهت یک جریان فقط جذب را به دفع یا برعکس تبدیل می‌کند و اندازه نیرو را تغییر نمی‌دهد.

کنترل واحد نیز خطاهای رایج را آشکار می‌کند. چون تسلا برابر N/(A·m) است، واحد μ₀I₁I₂/d برابر N/m می‌شود؛ برای رسیدن به نیرو باید آن را در L ضرب کرد. اگر پاسخ نهاییِ سؤال نیرو هنوز واحد N/m دارد، طول از محاسبه جا افتاده است.

دام‌های رایج و محدوده اعتبار رابطه را بشناس

شعاع سیم را با فاصله d اشتباه نگیر و فاصله لبه‌به‌لبه را مستقیماً در فرمول نگذار؛ d فاصله محورهای دو سیم است. همچنین رابطه F = ILB برای بخشی از سیم نوشته می‌شود که میدان روی آن تقریباً یکنواخت باشد. نزدیک انتهای سیم‌های کوتاه، مدل سیم بی‌نهایت و میدان μ₀I/(2πd) تقریب دقیقی نیست.

برابری اندازه دو نیرو از قانون سوم نیوتن با نتیجه محاسبه میدان سازگار است، حتی اگر جریان دو سیم متفاوت باشد: هر نیرو به حاصل‌ضرب I₁I₂ وابسته است. رابطه میدان سیم راست و نیروی میان سیم‌های موازی در این راهنما با فصل Magnetism کتاب آزاد University Physics, Volume 2 از OpenStax تطبیق داده شده است. برای مرور ساخت میدان و قاعده دست راست، راهنمای میدان مغناطیسی سیم و برای نیروی سیم در میدان خارجی، مقاله نیروی مغناطیسی بر سیم را در بخش راهنماهای مرتبط بخوان.