پاسخ مستقیم این است: برای یک سطح تختِ کاملاً غوطهور در مایعی ساکن، اندازه نیروی هیدروستاتیکیِ پیمانهای از F = ρgAḣ به دست میآید؛ A مساحت سطح و ḣ عمق قائم مرکز هندسی آن زیر سطح آزاد است. چون فشار با عمق افزایش مییابد، برآیند معمولاً پایینتر از مرکز هندسی اثر میکند. برای دریچه مستطیلی قائم با ارتفاع H که لبه بالایی آن در عمق h₁ است، ḣ = h₁ + H/2 و عمق مرکز فشار hₚ = ḣ + H²/(12ḣ) است. پس ابتدا عمق مرکز هندسی را پیدا کن، نیرو را حساب کن و فقط اگر گشتاور یا محل تکیهگاه خواسته شده سراغ مرکز فشار برو.
فشار روی دریچه را بهصورت توزیعشده ببین
در مایع ساکن با چگالی ثابت، فشار پیمانهای در عمق قائم h برابر p = ρgh است. بنابراین روی یک دریچه قائم، نقاط پایینتر فشار بیشتری میگیرند. پیکانهای فشار همگی عمود بر سطحاند، اما طول آنها از بالا به پایین افزایش مییابد؛ پس با یک نیروی یکنواخت روبهرو نیستیم.
برای یک نوار کوچک با مساحت dA در عمق h، نیروی کوچک dF = ρgh dA است. جمع این نیروها روی کل سطح به F = ρgAḣ میرسد؛ یعنی برای یافتن اندازه برآیند میتوان فشار در عمق مرکز هندسی را در مساحت ضرب کرد. این میانبُر اندازه نیرو را میدهد، اما به این معنا نیست که نیرو در مرکز هندسی اثر میکند.
- فشار پیمانهای: p = ρgh
- برآیند روی سطح تخت: F = ρgAḣ
- جهت برآیند: عمود بر سطح دریچه
عمق مرکز هندسی را از شکل پیدا کن
نماد ḣ فاصله قائم مرکز هندسی سطح تا سطح آزاد مایع است؛ فاصله روی خود دریچه نیست. برای مستطیل قائم با ارتفاع H و لبه بالا در عمق h₁، مرکز هندسی در نیمه ارتفاع است و ḣ = h₁ + H/2. اگر لبه بالایی روی سطح آب باشد، این رابطه به ḣ = H/2 ساده میشود.
برای دریچه مایل نیز رابطه F = ρgAḣ برقرار است، اما باید عمق قائم مرکز هندسی را حساب کنی. اگر فاصله مرکز دریچه روی صفحه مایل تا سطح آزاد s و زاویه صفحه با افق θ باشد، عمق قائم برابر ḣ = s sinθ است. جابهجاکردن s و ḣ یکی از خطاهای رایج است.
چرا مرکز فشار پایینتر از مرکز هندسی است؟
نوارهای پایین دریچه هم فشار بیشتر و هم بازوی بزرگتری نسبت به لبه بالا دارند؛ به همین دلیل خط اثر برآیند به سمت بخش عمیقتر جابهجا میشود. برای سطح قائم، عمق مرکز فشار از hₚ = ḣ + I_G/(Aḣ) به دست میآید. I_G ممان دوم سطح حول محور افقیِ گذرنده از مرکز هندسی است، نه لختی دورانی جرمی.
برای مستطیلی با عرض b و ارتفاع قائم H، داریم A = bH و I_G = bH³/12. پس hₚ = ḣ + H²/(12ḣ). عرض b در محل مرکز فشار حذف میشود، اما در اندازه نیرو باقی میماند. چون جمله افزوده مثبت است، مرکز فشارِ ناشی از فشار پیمانهای همیشه پایینتر از مرکز هندسی قرار میگیرد.
- سطح قائم عمومی: hₚ = ḣ + I_G/(Aḣ)
- مستطیل قائم: hₚ = ḣ + H²/(12ḣ)
- I_G ویژگی هندسی سطح با یکای m⁴ است.
مسئله دریچه زیر آب را در پنج گام حل کن
یک: سطح آزاد، بالاترین و پایینترین نقطه دریچه و محل لولا را روی شکل علامت بزن. دو: همه عمقها را قائم و بر حسب متر بنویس. سه: A و عمق مرکز هندسی ḣ را پیدا و F = ρgAḣ را حساب کن. چهار: اگر محل اثر یا گشتاور لازم است، hₚ را بیاب. پنج: فاصله مرکز فشار تا لولا را بساز و از τ = Fd⊥ استفاده کن.
اگر نیرو بر دریچه افقی وارد شود، همه نقاط در یک عمقاند و فشار یکنواخت است؛ در این حالت مرکز فشار و مرکز هندسی بر هم منطبقاند. فرمول جابهجایی مرکز فشار برای سطح قائم را بیدلیل به سطح افقی تعمیم نده.
مثال حلشده: دریچه مستطیلی با لبه بالا در عمق یک متر
دریچهای قائم با عرض b = 2.0 m و ارتفاع H = 3.0 m در آب قرار دارد و لبه بالایی آن 1.0 m زیر سطح آزاد است. با ρ = 1000 kg/m³ و g = 10 m/s²، اندازه نیروی پیمانهای آب و عمق محل اثر آن را پیدا کن.
مساحت A = bH = 6.0 m² و عمق مرکز هندسی ḣ = 1.0 + 3.0/2 = 2.5 m است. پس F = ρgAḣ = 1000×10×6.0×2.5 = 150000 N، یعنی 150 kN.
برای محل اثر، hₚ = ḣ + H²/(12ḣ) = 2.5 + 9/(12×2.5) = 2.8 m به دست میآید. بنابراین برآیند 0.3 m پایینتر از مرکز هندسی و 1.8 m پایینتر از لبه بالایی دریچه اثر میکند. پاسخ میان عمق لبه بالا و پایین، یعنی بین 1 و 4 متر، قرار دارد و با افزایش فشار در پایین سازگار است.
گشتاور نیروی آب نسبت به لولا را درست بساز
اگر دریچه مثال قبل حول لبه بالایی لولا شده باشد، بازوی عمود نیروی افقی آب برابر فاصله قائم مرکز فشار تا لولاست: d = 2.8 − 1.0 = 1.8 m. در نتیجه گشتاور آب τ = Fd = 150000×1.8 = 270000 N·m است. نیروی نگهدارنده باید گشتاوری مخالف این مقدار ایجاد کند.
اگر کابل یا نیروی خارجی با دریچه زاویه دارد، فاصله ساده تا لولا کافی نیست. یا بازوی عمود خط اثر نیرو را پیدا کن، یا τ = rF sinφ را بنویس. محل اثر نیروی آب را از مرکز فشار بگیر، نه از مرکز هندسی؛ وگرنه گشتاور کمتر از مقدار واقعی به دست میآید.
فشار هوا و شرایط دو سوی دریچه را بررسی کن
رابطههای بالا با فشار پیمانهای نوشته شدهاند. اگر یک سوی دریچه آب و سوی دیگر هوای آزاد با همان فشار جو باشد، سهم فشار هوا در دو طرف خنثی میشود و استفاده از ρgh درست است. افزودن p_atm به نیروی آب در این وضعیت، بدون کمکردن نیروی هوای سوی دیگر، پاسخ را بیش از مقدار واقعی میکند.
اگر فشار روی سطح مایع با فشار پشت دریچه برابر نباشد، باید اختلاف فشار یکنواخت را نیز وارد کنی. این سهم نیرویی برابر Δp₀A دارد که در مرکز هندسی اثر میکند؛ سپس نیروها و گشتاورهای سهم یکنواخت و سهم ρgh را جداگانه جمع کن. در سؤالهای معمولِ مخزن باز، اختلاف فشار پایه صفر است.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطای اول، استفاده از فشار پایینترین نقطه برای کل سطح است. خطای دوم، یکیگرفتن عمق مرکز هندسی با عمق مرکز فشار است. خطای سوم، سنجیدن عمق روی سطح مایل به جای راستای قائم است. خطای چهارم، واردکردن فشار جو فقط در یک سمت دریچهای است که هر دو سوی آن در معرض همان هوا هستند.
واحد F باید نیوتون و واحد گشتاور N·m شود؛ hₚ برای دریچه قائم باید داخل بازه عمق خود دریچه و پایینتر از ḣ باشد. برای مرور رابطه فشار با عمق، مقاله فشار هیدروستاتیکی را بخوان؛ راهنمای مانومتر به مقایسه فشار دو سمت کمک میکند و مقاله گشتاور و تعادل، مرحله موازنه دریچه با کابل یا تکیهگاه را کامل میکند.
برای سطح تخت غوطهور، فشار را در یک نقطه دلخواه ضرب نکن؛ برآیند فشار پیمانهای برابر F = ρgAḣ است و از مرکز فشار میگذرد. در دریچه مستطیلی قائم، hₚ = ḣ + H²/(12ḣ)، بنابراین محل اثر نیرو پایینتر از مرکز هندسی است. در پایان، عمقها را قائم و نسبت به سطح آزاد بگیر، مساحت را به مترمربع تبدیل کن، مشخص کن فشار هوا حذف میشود یا نه و گشتاور را با فاصله عمود از لولا بساز. این چهار کنترل، بیشتر خطاهای سؤالهای دریچه و دیواره زیر آب را آشکار میکند.