پاسخ مستقیم این است: در نمودار سرعت–زمان، ارتفاع هر نقطه سرعت لحظهای، شیب نمودار شتاب و مساحت علامتدار میان نمودار و محور زمان جابهجایی است. برای محاسبه مسافت باید قدرمطلق مساحت هر بخش را جداگانه جمع کنی. برخورد نمودار با محور زمان فقط نشاندهنده سرعت صفر است؛ اگر نمودار از محور عبور کند، جهت حرکت عوض میشود، اما اگر فقط محور را لمس کند و به همان سمت برگردد، تغییر جهت نداریم.
ابتدا محور و علامت سرعت را بخوان
محور افقی زمان t و محور عمودی سرعت v است. مقدار عمودی نمودار در هر لحظه، سرعت همان لحظه را نشان میدهد. نقطهای بالای محور زمان سرعت مثبت و نقطهای پایین آن سرعت منفی دارد؛ مثبت و منفی بودن درباره جهت حرکت است، نه تند یا کند بودن.
تندی برابر اندازه سرعت است. بنابراین جسمی با v = −8 m/s از جسمی با v = +3 m/s تندتر حرکت میکند، هرچند جهت آنها مخالف است. هرچه فاصله عمودی نمودار از محور زمان بیشتر باشد، تندی بیشتر است. روی خود محور، v = 0 و جسم در آن لحظه ساکن است.
- بالای محور زمان: حرکت در جهت مثبت
- پایین محور زمان: حرکت در جهت منفی
- فاصله از محور زمان: اندازه سرعت یا تندی
شتاب را از شیب نمودار بهدست آور
شتاب متوسط در یک بازه از a = Δv/Δt به دست میآید؛ یعنی همان شیب خط واصل دو نقطه روی نمودار سرعت–زمان. برای یک پارهخط راست، شیب و شتاب ثابتاند. خط افقی شیب صفر دارد و نشان میدهد سرعت ثابت است، نه اینکه جسم الزاماً ساکن باشد.
شیب مثبت یعنی شتاب مثبت و شیب منفی یعنی شتاب منفی. اما شتاب منفی همیشه به معنی کندشدن نیست. جسم وقتی کند میشود که سرعت و شتاب علامت مخالف داشته باشند: برای نمونه در ناحیه v < 0، شیب مثبت سرعت را به صفر نزدیک میکند و تندی کاهش مییابد.
- a = Δv/Δt
- همعلامت بودن v و a: افزایش تندی
- مخالفعلامت بودن v و a: کاهش تندی
جابهجایی را از مساحت علامتدار حساب کن
در بازه t₁ تا t₂، جابهجایی برابر مساحت علامتدار میان نمودار و محور زمان است. بخش بالای محور مساحت مثبت و بخش پایین محور مساحت منفی میسازد. برای نمودارهای پارهخطی، شکل را به مستطیل، مثلث یا ذوزنقه تقسیم و مساحتها را با علامت مناسب جمع کن.
یکای مساحت نیز رابطه را کنترل میکند: (m/s)×s = m. اگر مساحت مثبت و منفی برابر شوند، جابهجایی کل صفر است؛ این نتیجه لزوماً به معنای ساکنبودن جسم در تمام بازه نیست، بلکه ممکن است جسم رفته و به مکان آغازین برگشته باشد.
- مستطیل: Δx = vΔt
- مثلث: Δx = ½×قاعده×ارتفاع با علامت سرعت
- ذوزنقه با شتاب ثابت: Δx = [(v₁+v₂)/2]Δt
برای مسافت، بازههای دو سوی محور را جدا کن
مسافت کل با جمع اندازه مساحتها به دست میآید، نه با قدرمطلق جابهجایی نهایی. هرجا نمودار محور زمان را قطع میکند، بازه را بشکن؛ مساحت بخش بالای محور و اندازه مساحت بخش پایین محور را جداگانه حساب و سپس جمع کن.
اگر نمودار در تمام بازه یک سوی محور بماند، مسافت با اندازه جابهجایی برابر است. اختلاف این دو فقط زمانی پدید میآید که جهت حرکت عوض شود. همیشه |Δx| ≤ distance است و این نامساوی یک کنترل سریع برای پاسخ محسوب میشود.
توقف را با تغییر جهت اشتباه نگیر
رسیدن نمودار به محور زمان یعنی سرعت در آن لحظه صفر است. برای تغییر جهت باید علامت سرعت نیز عوض شود؛ یعنی نمودار از یک سوی محور به سوی دیگر عبور کند. اگر نمودار محور را لمس کند و دوباره در همان نیمصفحه ادامه یابد، جسم لحظهای میایستد اما در همان جهت قبلی حرکت میکند.
در یک بازه افقی روی محور زمان، جسم برای مدتی ساکن است. در مقابل، یک تقاطع منفرد با محور فقط یک لحظه توقف را نشان میدهد. از روی نمودار سرعت–زمان بدون دانستن مکان اولیه نمیتوان مکان مطلق جسم را یافت، اما میتوان تغییر مکان آن را در هر بازه محاسبه کرد.
مسئله نمودار سرعت–زمان را در پنج گام حل کن
یک: یکاها و مقیاس دو محور را بخوان. دو: زمانهای برخورد با محور را مشخص و بازهها را همانجا جدا کن. سه: اگر شتاب خواسته شده، شیب را از دو نقطه همان پارهخط بگیر. چهار: برای جابهجایی مساحتها را با علامت و برای مسافت با قدرمطلق جمع کن. پنج: علامت سرعت، تغییر جهت و سازگاری یکای پاسخ را کنترل کن.
برای سرعت متوسط از v_avg = Δx/Δt استفاده کن؛ صورت کسر مساحت علامتدار کل است. برای تندی متوسط، مسافت کل را بر زمان کل تقسیم کن. میانگین ساده سرعت ابتدا و انتها فقط در بازهای با شتاب ثابت معتبر است و نباید آن را برای یک نمودار چندبخشی بدون بررسی به کار برد.
مثال حلشده: جابهجایی، مسافت و تغییر جهت
سرعت جسم از t = 0 تا t = 4 s بهطور خطی از +6 m/s به −2 m/s میرسد و سپس از t = 4 s تا t = 7 s روی −2 m/s ثابت میماند. شتاب بخش نخست، زمان توقف، جابهجایی و مسافت کل را پیدا کن.
شیب بخش نخست برابر a = (−2−6)/(4−0) = −2 m/s² است. با v = 6−2t، سرعت در t = 3 s صفر میشود و چون پس از آن منفی است، همانجا تغییر جهت رخ میدهد. جابهجایی چهار ثانیه نخست مساحت ذوزنقه است: Δx₁ = [(6−2)/2]×4 = 8 m. در سه ثانیه بعد Δx₂ = (−2)×3 = −6 m؛ پس جابهجایی کل 2 m است.
برای مسافت باید در t = 3 s نمودار را جدا کنیم. مثلث مثبت مساحت ½×3×6 = 9 m دارد. مثلث منفی از 3 تا 4 ثانیه مساحت ½×1×2 = 1 m و مستطیل منفی پایانی اندازه مساحت 2×3 = 6 m دارد. بنابراین مسافت کل 9+1+6 = 16 m است. بررسی نهایی: |2| ≤ 16 و پاسخ با رفتوبرگشت جسم سازگار است.
چهار دام رایج نمودار را کنترل کن
مساحت زیر نمودار را همیشه مثبت نگیر؛ برای جابهجایی، بخش زیر محور منفی است. شیب منفی را نیز بیدرنگ کندشدن ندان؛ علامت سرعت را هم بررسی کن. برخورد با محور را بدون عبور از آن تغییر جهت حساب نکن و شیب نمودار سرعت–زمان را با خود سرعت یکی نگیر.
اگر داده اصلی نمودار شتاب–زمان باشد، مساحت آن تغییر سرعت را میدهد، نه جابهجایی؛ راهنمای نمودار شتاب–زمان این تفاوت را مرحلهبهمرحله توضیح میدهد. برای جداکردن دقیق سرعت متوسط از تندی متوسط نیز مقاله مرتبطِ مسافت و جابهجایی را مرور کن.
برای خواندن نمودار سرعت–زمان سه پرسش ثابت داشته باش: ارتفاع نقطه چقدر است، شیب بازه چه علامتی دارد و مساحت هر بخش بالا یا پایین محور چقدر است؟ ارتفاع، سرعت را میدهد؛ شیب، شتاب را؛ و مساحت علامتدار، جابهجایی را. برای مسافت علامت منفی را پس از جداکردن بازهها حذف کن. توقف را با v = 0 و تغییر جهت را با عبور واقعی از محور زمان تشخیص بده. این ترتیب کوتاه، جلوی یکیگرفتن سرعت با شتاب و جابهجایی با مسافت را میگیرد.