پاسخ مستقیم این است: مساحت علامتدار میان نمودار شتاب–زمان و محور زمان در هر بازه، تغییر سرعت همان بازه را میدهد؛ یعنی Δv = ∫a dt. این مساحت را به سرعت ابتدای بازه اضافه کن تا سرعت جدید به دست آید. توقف وقتی رخ میدهد که v به صفر برسد، اما تغییر جهت فقط زمانی اتفاق میافتد که سرعت از صفر عبور کند و علامتش عوض شود. خودِ منفیبودن شتاب، بهتنهایی، نه به معنی حرکت در جهت منفی است و نه تضمین میکند جسم در حال کندشدن باشد.
پیش از محاسبه، محور و علامت شتاب را بخوان
محور افقی زمان و محور عمودی شتاب است. نقطهای با ارتفاع 3 m/s² میگوید در آن لحظه آهنگ تغییر سرعت 3 متر بر مجذور ثانیه است. قرارگرفتن نمودار بالای محور زمان یعنی a مثبت و قرارگرفتن آن پایین محور یعنی a منفی؛ این علامت به جهت انتخابشده برای محور مکان وابسته است.
شتاب مثبت الزاماً به معنی تندشدن نیست. اگر v و a همعلامت باشند، اندازه سرعت افزایش مییابد؛ اگر خلاف علامت باشند، اندازه سرعت کاهش مییابد. برای مثال جسمی با v = −6 m/s و a = +2 m/s² در جهت منفی حرکت میکند، اما تا رسیدن سرعت به صفر کند میشود. پس بدون دانستن سرعت، از روی علامت شتاب درباره تند یا کندشدن حکم نده.
- بالای محور زمان: شتاب مثبت
- پایین محور زمان: شتاب منفی
- همعلامتبودن v و a: افزایش تندی
مساحت علامتدار را به تغییر سرعت تبدیل کن
از تعریف شتاب a = Δv/Δt برای شتاب ثابت به Δv = aΔt میرسیم؛ این حاصلضرب همان مساحت مستطیل زیر نمودار است. برای شتاب متغیر نیز جمع نوارهای بسیار باریک به رابطه Δv = ∫a dt میانجامد. بنابراین مساحت بالای محور زمان مثبت و مساحت پایین آن منفی وارد جمع میشود.
واحد مساحت نیز نتیجه را کنترل میکند: (m/s²)×s = m/s. اگر نمودار از چند مستطیل، مثلث یا ذوزنقه ساخته شده است، بازهها را جدا کن و مساحت هندسی هر شکل را با علامت ناحیه بنویس. جمع قدرمطلق مساحتها معمولاً تغییر سرعت نیست؛ ناحیههای مثبت و منفی میتوانند اثر یکدیگر را خنثی کنند.
- مستطیل: Δv = aΔt
- مثلث: Δv = ±(قاعده×ارتفاع)/2
- ذوزنقه: Δv = (a₁+a₂)Δt/2
سرعت را با جدول بازهها مرحلهبهمرحله بساز
برای هر نقطه شکست نمودار، سه ستون زمان، مساحت بازه و سرعت بساز. از v₀ شروع کن و پس از هر بازه بنویس v_end = v_start + Δv. این جدول جلوی دو خطا را میگیرد: فراموشکردن سرعت اولیه و استفاده دوباره از مساحت بازههای قبلی.
اگر فقط تغییر سرعت خواسته شده باشد، سرعت اولیه لازم نیست؛ اما برای سرعت نهایی، توقف یا جهت حرکت باید v₀ را داشته باشی. دو جسم با نمودار شتاب–زمان یکسان ولی سرعتهای اولیه متفاوت، تغییر سرعت یکسان دارند و ممکن است در پایان سرعتها یا جهتهای کاملاً متفاوتی داشته باشند.
مثال حلشده: سرعت نهایی در حرکت سهبازهای
جسمی در t = 0 سرعت v₀ = 4 m/s دارد. شتاب آن از 0 تا 2 s برابر +3 m/s²، از 2 تا 5 s صفر و از 5 تا 9 s برابر −2 m/s² است. سرعت جسم در انتهای هر بازه و در t = 9 s را پیدا کن.
بازه اول مساحت +3×2 = +6 m/s دارد؛ پس v(2) = 4+6 = 10 m/s. در بازه دوم نمودار روی محور است، بنابراین Δv = 0 و v(5) = 10 m/s باقی میماند. صفرشدن شتاب به معنی صفرشدن سرعت نیست؛ جسم در این سه ثانیه با سرعت ثابت حرکت میکند.
بازه سوم مساحت −2×4 = −8 m/s دارد و v(9) = 10−8 = 2 m/s میشود. شتاب در این بازه منفی است، اما چون سرعت تا پایان همچنان مثبت مانده، جسم متوقف یا معکوس نشده است. مجموع کل مساحتها +6+0−8 = −2 m/s و v₀+Δv = 2 m/s نیز همین پاسخ را تأیید میکند.
لحظه توقف و تغییر جهت را از مساحت انباشته پیدا کن
برای یافتن لحظه توقف درون یک بازه، منتظر پایان بازه نمان. از شرط v(t) = v_start + Δv(t) = 0 استفاده کن. یعنی مساحت علامتدار از ابتدای بازه تا لحظه مورد نظر باید دقیقاً برابر −v_start باشد. اگر شتاب ثابت باشد، این شرط به v_start+aΔt = 0 تبدیل میشود.
در مثال قبل، اگر شتاب −2 m/s² بهجای 4 ثانیه، 7 ثانیه ادامه یابد، جسم با سرعت 10 m/s وارد این بازه میشود. برای توقف، 10−2Δt = 0 و Δt = 5 s است؛ پس توقف در t = 10 s رخ میدهد. یک لحظه بعد، سرعت منفی میشود و جسم تغییر جهت میدهد. اگر شتاب درست در لحظه صفرشدن سرعت به صفر تبدیل میشد و سرعت صفر میماند، توقف داشتیم اما عبور از صفر و تغییر جهت نداشتیم.
کنترل دو سوی ریشه مهم است: علامت v را کمی پیش و کمی پس از لحظه توقف بسنج. تغییر + به − یا − به + یعنی برگشت جهت؛ لمس صفر بدون عوضشدن علامت، فقط توقف لحظهای است.
مسافت و جابهجایی را مستقیماً از نمودار شتاب نگیر
مساحت زیر نمودار شتاب–زمان تغییر سرعت است، نه جابهجایی. برای رسیدن به جابهجایی باید ابتدا سرعت را در طول زمان بسازی و سپس مساحت علامتدار زیر نمودار سرعت–زمان را حساب کنی. برای شتاب ثابت هر بازه، میتوان از Δx = v_startΔt + (1/2)a(Δt)² نیز استفاده کرد.
مسافت با جمع قدرمطلق جابهجایی بخشهایی به دست میآید که جهت حرکت در آنها ثابت است. اگر سرعت در میانه یک بازه صفر و علامتش عوض شود، همانجا بازه را بشکن؛ وگرنه بخشی از مسیر رفت و برگشت در جابهجایی همدیگر را کم میکنند و عدد حاصل، مسافت واقعی نیست. راهنمای تفاوت سرعت و تندی متوسط، این جداسازی را با مثالهای رفتوبرگشت تکمیل میکند.
مسیر حل پنجمرحلهای و خطاهای رایج را مرور کن
یک: سرعت اولیه و جهت مثبت را یادداشت کن. دو: نمودار را در نقاط شکست به شکلهای ساده تقسیم کن. سه: مساحت هر شکل را با علامت بنویس. چهار: مساحتها را بهترتیب به سرعت اضافه و جدول سرعت بساز. پنج: اگر توقف، تغییر جهت یا مسافت خواسته شده، محل صفرشدن سرعت را جداگانه بررسی کن.
رایجترین خطاها عبارتاند از برابرگرفتن مساحت با سرعت نهایی، حذف v₀، مثبتگرفتن مساحت زیر محور، یکیدانستن a = 0 با v = 0 و نتیجهگرفتن تغییر جهت فقط از منفیشدن شتاب. در پایان پاسخ را با واحد m/s و روند فیزیکی کنترل کن: مساحت مثبت باید سرعت جبری را زیاد و مساحت منفی آن را کم کند. برای تمرین بیشتر، راهنمای حرکتشناسی و مقاله ترمز با شتاب ثابت، دو پیوند داخلی مرتبط این مسیر هستند.
در نمودار شتاب–زمان، ارتفاع نمودار شتاب و مساحت علامتدار آن تغییر سرعت است. بازه را به شکلهای ساده بشکن، مساحت هر بخش را با علامت حساب کن و آن را مرحلهبهمرحله به سرعت اولیه بیفزا. برای یافتن توقف، برابری مساحت انباشته با −v₀ را حل کن؛ سپس دو سوی آن لحظه را بررسی کن تا توقف لحظهای را با تغییر جهت اشتباه نگیری. مسافت نیز مستقیماً از این نمودار خوانده نمیشود و پس از ساختن سرعت باید از |v| استفاده شود.