پاسخ مستقیم این است: در حرکت یکبعدی روی محور x، منفیِ مساحت علامتدار زیر نمودار Eₓ–x از نقطه a تا b برابر اختلاف پتانسیل V_b − V_a است؛ یعنی ΔV = −∫Eₓ dx. سپس تغییر انرژی پتانسیل بار از ΔU = qΔV و کار میدان از W_field = −ΔU = q∫Eₓ dx به دست میآید. ناحیه بالای محور x مساحت مثبت و ناحیه پایین آن مساحت منفی دارد. بنابراین ارتفاع نمودار را با پتانسیل اشتباه نگیر و پیش از واردکردن علامت بار، ابتدا اختلاف پتانسیل را فقط از خود میدان پیدا کن.
محورها و علامت میدان را پیش از مساحتگیری بخوان
محور افقی مکان x و محور عمودی مؤلفه میدان Eₓ است. مقدار Eₓ = +4 N/C یعنی میدان در آن نقطه در جهت مثبت محور x است؛ مقدار منفی یعنی جهت میدان به سوی xهای کوچکتر است. واحد N/C با V/m همارز است، پس حاصلضرب E در فاصله، واحد ولت میدهد.
نمودار Eₓ–x با نمودار V–x فرق دارد. ارتفاع نمودار میدان است و شیب یا مساحت آن را نباید بیدلیل پتانسیل نامید. رابطه کلیدی Eₓ = −dV/dx میگوید در بازهای که میدان مثبت است، پتانسیل با افزایش x کاهش مییابد؛ وقتی میدان منفی است، پتانسیل افزایش پیدا میکند.
- Eₓ > 0: میدان در جهت +x
- Eₓ < 0: میدان در جهت −x
- واحد مساحت EΔx: ولت
مساحت علامتدار را به اختلاف پتانسیل تبدیل کن
برای رفتن از a به b بنویس V_b − V_a = −∫_a^b Eₓ dx. ابتدا مساحت هندسی هر مستطیل، مثلث یا ذوزنقه را پیدا کن؛ بخش بالای محور مثبت و بخش پایین محور منفی وارد جمع میشود. فقط پس از جمع مساحتها علامت منفی رابطه را اعمال کن.
اگر جهت حرکت محاسباتی را عوض کنی، حدود انتگرال جابهجا و علامت اختلاف پتانسیل نیز معکوس میشود. برای جلوگیری از خطا، خواسته را دقیق بنویس: «پتانسیل انتها منهای پتانسیل ابتدا». جمع قدرمطلق ناحیهها اختلاف پتانسیل نیست، چون اثر بخشهای مثبت و منفی میتواند یکدیگر را خنثی کند.
- مساحت بالای محور: مثبت
- مساحت پایین محور: منفی
- ΔV = منفیِ مساحت علامتدار کل
پس از یافتن ΔV، بار و انرژی را وارد مسئله کن
اختلاف پتانسیل به میدان و دو نقطه وابسته است، نه به بار آزمایشی. بعد از محاسبه ΔV، برای ذرهای با بار q بنویس ΔU = qΔV. کار میدان الکتریکی برابر W_field = −ΔU است؛ در نتیجه W_field = q∫Eₓ dx. کار نیروی خارجی در جابهجایی آرام و بدون تغییر انرژی جنبشی، برابر +ΔU میشود.
علامت q تعیینکننده است. در یک ΔV منفی، انرژی پتانسیل بار مثبت کم اما انرژی پتانسیل بار منفی زیاد میشود. اگر فقط بگویی «ذره به پتانسیل کمتر میرود»، درباره بار منفی ممکن است اشتباه کنی؛ حرکت خودبهخودی از دید انرژی به سوی U کمتر است، نه الزاماً V کمتر.
مثال حلشده: نمودار سهبازهای میدان و کار روی بار مثبت
روی محور x، میدان از x = 0 تا 2 m برابر +3 N/C است؛ از 2 تا 4 m بهصورت خطی از +3 به صفر میرسد و از 4 تا 6 m برابر −1 N/C است. اختلاف پتانسیل V₆ − V₀ و کار میدان روی بار q = +2 μC را پیدا کن.
مساحت بازه اول +3×2 = +6 V است. بازه دوم یک مثلث بالای محور با مساحت +(2×3)/2 = +3 V دارد. مساحت بازه سوم −1×2 = −2 V است. پس انتگرال میدان از صفر تا شش متر برابر +7 V و اختلاف پتانسیل V₆ − V₀ = −7 V میشود.
تغییر انرژی پتانسیل ΔU = qΔV = (2×10⁻⁶)(−7) = −14 μJ است. بنابراین کار میدان +14 μJ میشود. مثبتبودن کار با کاهش انرژی پتانسیل بار مثبت سازگار است. توجه کن که در این مثال لازم نبود مقدار مطلق V₀ یا V₆ را بدانیم.
جهت نیرو و امکان توقف یا نقطه بازگشت را جدا بررسی کن
نیروی الکتریکی Fₓ = qEₓ است. برای بار مثبت، نیرو همجهت میدان و برای بار منفی، خلاف جهت آن است. اما جهت نیرو همان جهت حرکت نیست؛ ذره میتواند رو به +x حرکت کند و نیروی رو به −x آن را کند کند. برای پیشبینی تندشدن، علامت سرعت و نیرو را با هم مقایسه کن.
در میدان الکتروستاتیکی، K + U ثابت است. اگر ذره فقط زیر اثر میدان باشد، از K_b = K_a − q(V_b − V_a) استفاده کن. نقطه بازگشت جایی است که K موقتاً صفر شود و سپس نیروی موجود جهت حرکت را برگرداند. نقطهای که E = 0 است الزاماً نقطه توقف نیست؛ ذره ممکن است با سرعت از آن عبور کند.
عبور نمودار از صفر را برای تعادل و پایداری تحلیل کن
در نقطهای که Eₓ = 0، نیروی الکتریکی بر ذره باردار صفر است و اگر نیروی دیگری وجود نداشته باشد آن نقطه تعادل است. برای تشخیص پایداری، جهت نیرو را در دو سوی نقطه بررسی کن. اگر نیرو از هر دو طرف ذره را به نقطه برگرداند، تعادل پایدار است؛ اگر نیرو آن را دور کند، تعادل ناپایدار است.
برای بار مثبت، علامت نیرو همان علامت E است. پس اگر نمودار با افزایش x از مقدار مثبت به منفی عبور کند، نیرو در چپ رو به راست و در راست رو به چپ است و تعادل پایدار خواهد بود. برای بار منفی نتیجه برعکس میشود. این تحلیل محلی است و به شیب دقیق خط نیاز ندارد؛ جهت میدان در دو سوی صفر کافی است.
مسیر حل ششمرحلهای و خطاهای رایج را مرور کن
یک: ابتدا و انتهای بازه را مشخص کن. دو: نمودار را در نقاط شکست و عبور از محور بخشبندی کن. سه: مساحت هر بخش را با علامت حساب کن. چهار: مجموع را با یک علامت منفی به ΔV تبدیل کن. پنج: فقط اکنون q را برای ΔU یا W وارد کن. شش: اگر حرکت خواسته شده، از انرژی جنبشی و جهت نیرو کمک بگیر.
خطاهای رایج شامل فراموشکردن علامت منفی میان E و V، جمعزدن قدرمطلق مساحتها، ضرب زودهنگام در بار، یکیگرفتن جهت میدان با جهت نیروی بار منفی و برابرگرفتن E = 0 با توقف ذره است. برای ادامه، راهنمای نمودار پتانسیل–مکان رابطه شیب را از سوی دیگر نشان میدهد و مقاله کار نیروی الکتریکی، تبدیل میان کار و انرژی پتانسیل را تکمیل میکند.
برای خواندن نمودار Eₓ–x، بازه را به شکلهای ساده تقسیم و مساحت هر بخش را با علامت حساب کن. منفی مجموع مساحتها ΔV است؛ سپس با ΔU = qΔV و W_field = −ΔU به انرژی و کار برس. علامت E جهت میدان را نشان میدهد، اما جهت نیرو برای بار منفی برعکس آن است. صفرشدن میدان نیز فقط یک نقطه با نیروی صفر است و بدون بررسی انرژی، پایداری و شرایط اولیه درباره توقف یا برگشت بار چیزی نمیگوید.