اگر هر دوازده یال یک مکعب مقاومتی برابر R داشته باشند و باتری به دو رأسِ مقابلِ فضایی وصل شود، مقاومت معادل برابر 5R/6 است. دلیل، تقارن مدار است: سه رأس مجاور پایانه اول همپتانسیلاند و سه رأس مجاور پایانه دوم نیز پتانسیل یکسان دارند. با ادغام هر گروه، شبکه به سه بخش سری R/3، سپس R/6 و دوباره R/3 تبدیل میشود. این نتیجه فقط برای مقاومتهای برابر و اتصال میان دو رأس کاملاً مقابل معتبر است.
صورت شبکه مکعبی را دقیق بخوان
مکعب هشت رأس و دوازده یال دارد. در این مسئله روی هر یال یک مقاومت یکسان R قرار گرفته و سیم اضافهای میان رأسها وجود ندارد. پایانههای باتری را A و B مینامیم؛ A و B دو رأس مقابل فضاییاند، یعنی روی یک یال یا یک وجه مشترک نیستند و قطر اصلی مکعب را میسازند.
ظاهر سهبعدی شکل ممکن است اتصالها را مبهم کند. هر گوشه یک گره است و هر یال فقط یک مقاومت میان دو گره میسازد. پیش از محاسبه، تعداد مقاومتهای متصل به A و B را بشمار: از هر رأس دقیقاً سه یال خارج میشود. این شمارش ساده جلوی حذف یا دوبارهشمردن یک شاخه را میگیرد.
- تعداد رأسها: ۸
- تعداد مقاومتها: ۱۲
- تعداد شاخههای متصل به هر رأس: ۳
- اتصال مسئله: دو سر قطر فضایی مکعب
گرههای همپتانسیل را از تقارن پیدا کن
محور فرضی AB را در نظر بگیر. چرخاندن مکعب به اندازه 120 درجه حول این محور، سه رأس مجاور A را با یکدیگر جابهجا میکند، اما مدار، مقدار مقاومتها و پایانههای باتری را تغییر نمیدهد. پس هیچیک از این سه رأس نمیتواند پتانسیلی متفاوت از دو رأس دیگر داشته باشد؛ هر سه همپتانسیلاند. همین استدلال برای سه رأس مجاور B برقرار است.
همپتانسیلبودن به معنی آن نیست که رأسهای جدا را در شکل اولیه با سیم واقعی به هم وصل کردهاند. معنیاش این است که اگر آنها را در بازطراحی مدار یک گره مشترک نشان دهیم، اختلاف پتانسیل و جریان هیچ مقاومت عوض نمیشود. این ادغام فقط به دلیل تقارن کامل شبکه و انتخاب دو رأس مقابل مجاز است.
- گروه نخست: سه همسایه A با پتانسیل یکسان
- گروه دوم: سه همسایه B با پتانسیل یکسان
- معیار ادغام: برابری پتانسیل، نه نزدیکی ظاهری در شکل
شبکه را به سه بخش سری کاهش بده
میان A و گروه همپتانسیل نخست، سه مقاومت R موازیاند؛ پس مقاومت این بخش R/3 است. میان دو گروه میانی، شش یال باقی میماند. چون سرهای همه این شش مقاومت به همان دو گره ادغامشده وصلاند، شش مقاومت R با هم موازی و معادلشان R/6 است.
از گروه دوم تا B نیز سه مقاومت R موازی داریم و معادل این بخش R/3 است. پس از ادغام گرهها، این سه بخش پشت سر هم قرار دارند و سریاند. بنابراین R_eq = R/3 + R/6 + R/3 = 5R/6. موازیبودن را از مشترکبودن هر دو سر شاخهها و سریبودن را از مسیر بازطراحیشده تشخیص بده، نه از ظاهر مکعب.
- بخش نزدیک A: سه مقاومت موازی ← R/3
- بخش میانی: شش مقاومت موازی ← R/6
- بخش نزدیک B: سه مقاومت موازی ← R/3
- نتیجه: R_eq = 5R/6
مثال حلشده: دوازده مقاومت ۱۲ اهمی
روی هر یال مکعب یک مقاومت 12 Ω قرار دارد و یک منبع 10 V میان دو رأس مقابل وصل شده است. مقاومت معادل و جریان کل منبع را پیدا کن.
سه مقاومت آغازین معادل 12/3 = 4 Ω، شش مقاومت میانی معادل 12/6 = 2 Ω و سه مقاومت پایانی نیز معادل 4 Ω هستند. این سه مقدار سریاند؛ پس R_eq = 4 + 2 + 4 = 10 Ω که همان 5×12/6 است.
جریان کل از قانون اهم I = V/R_eq = 10/10 = 1 A به دست میآید. به دلیل تقارن، این جریان هنگام خروج از A به سه سهم برابر 1/3 A تقسیم میشود. در هر مقاومت میانی جریان 1/6 A است و سه شاخه پایانی دوباره جریان کل 1 A را در B جمع میکنند. جمع جریانها در هر گره، نتیجه را کنترل میکند.
مسیر حل پنجگامی برای تست شبکه مکعبی
یک: محل دو پایانه را مشخص کن و مطمئن شو واقعاً رأسهای مقابل فضاییاند. دو: مساویبودن هر دوازده مقاومت را بررسی کن. سه: با دوران حول محور دو پایانه، گروههای گره همپتانسیل را پیدا کن. چهار: مدار را پس از ادغام گرهها دوباره رسم و فقط سپس اتصالهای موازی و سری را ساده کن. پنج: پاسخ را با حدها، واحد اهم و قانون جریان گره کنترل کن.
یک کنترل سریع این است که مقاومت معادل باید از R کمتر باشد، چون از پایانه ورودی چند مسیر رسانا وجود دارد؛ مقدار 5R/6 این شرط را دارد. اما چنین مقایسهای اثبات پاسخ نیست. استدلال اصلی باید نشان دهد چرا سه شاخه نخست، شش شاخه میانی و سه شاخه آخر دقیقاً شرایط موازی و سری را دارند.
بدان چه زمانی فرمول 5R/6 قابل استفاده نیست
اگر باتری میان دو رأس مجاور یا میان دو رأس روی قطر یک وجه وصل شود، دوران 120 درجهایِ مورد استفاده دیگر پایانهها را ثابت نگه نمیدارد؛ در نتیجه گروهبندی گرهها فرق میکند و 5R/6 پاسخ آن حالتها نیست. همچنین با تغییر مقدار حتی یکی از مقاومتها، تقارن کامل میشکند و نمیتوان همان گرهها را بدون بررسی همپتانسیل دانست.
در شبکه نامتقارن، برای هر گره مجهول یک پتانسیل تعریف کن، جریان هر شاخه را با (V_i − V_j)/R بنویس و قانون جریان کیرشهف را اعمال کن. راهنمای مدارهای متقارن سایت منطق گره همپتانسیل را بیشتر توضیح میدهد و مقاله قوانین کیرشهف مسیر حل حالتهایی را پوشش میدهد که با تقارن ساده نمیشوند.
- رأسهای مقابل فضایی: فرمول این مقاله
- نوع اتصال متفاوت: تقارن و جواب متفاوت
- مقاومتهای نابرابر: نیاز به تحلیل دوباره
- تقارن ناکافی: استفاده از معادلههای گره
چهار خطای رایج را پیش از پاسخ حذف کن
خطای نخست این است که سه مقاومت متصل به A را سری بدانیم؛ این سه فقط یک سر مشترک دارند و پس از اثبات همپتانسیلبودن سرهای دیگر، موازی میشوند. خطای دوم، شمردن سه مقاومت بهجای شش مقاومت در بخش میانی است. خطای سوم، ادغام رأسها صرفاً به علت تقارن ظاهری بدون توجه به محل باتری و خطای چهارم، استفاده از پاسخ حفظی برای اتصال دیگری از مکعب است.
روی شکل، جریان کل را در A وارد کن و تقسیم مساوی آن را روی سه شاخه بنویس. سپس شش جریان برابر میانی و جمعشدن جریانها در B را کنترل کن. اگر جمع جریان ورودی و خروجی هر گره برابر نباشد یا واحد پاسخ اهم نباشد، بازطراحی یا محاسبه نیاز به اصلاح دارد.
در مکعبی با دوازده مقاومت برابر R و اتصال میان دو رأس مقابل، ابتدا تقارن را نسبت به محور گذرنده از پایانهها بررسی کن. سه رأس نزدیک هر پایانه همپتانسیلاند؛ بنابراین سه مقاومت آغازین R/3، شش مقاومت میانی R/6 و سه مقاومت پایانی R/3 میسازند. جمع سری آنها R_eq = 5R/6 است. اگر پایانهها مجاور یا روی قطر یک وجه باشند، یا حتی یک مقاومت متفاوت باشد، این ادغام دیگر همان مدار را نمیسازد و باید تقارن تازه یا قوانین کیرشهف را به کار برد.