پاسخ مستقیم این است: یک قرارداد انتخاب کن، مثلاً x(t) = A cos(ωt + φ). سپس از شرایط آغازین بنویس x₀ = A cosφ و v₀ = −Aω sinφ. دامنه از A = √(x₀² + (v₀/ω)²) به دست میآید و علامتهای x₀ و v₀ ربع درست فاز اولیه را مشخص میکنند. جایگذاری مستقیم در تانژانت بدون تعیین ربع میتواند فاز اشتباه بدهد؛ در پایان باید معادله ساختهشده را در t = 0 هم برای مکان و هم برای سرعت کنترل کنی.
قرارداد معادله و محور را پیش از حل ثابت کن
نوسان هماهنگ ساده را میتوان با سینوس یا کسینوس نوشت. در این راهنما قرارداد x(t) = A cos(ωt + φ) را به کار میبریم؛ A دامنه مثبت، ω بسامد زاویهای و φ فاز اولیه است. مبدأ مکان باید نقطه تعادل باشد، نه یکی از دو انتهای مسیر. جهت مثبت محور نیز دلخواه است، اما پس از انتخاب نباید در میانه حل عوض شود.
فرم سینوسی معادل است و جواب متفاوتی از نظر فیزیکی نمیسازد؛ چون sinα = cos(α − π/2). بنابراین x = A sin(ωt + φ_s) و x = A cos(ωt + φ_c) میتوانند یک حرکت باشند، به شرط آنکه فازها متناسب با قرارداد انتخاب شوند. مقایسه عدد فاز دو پاسخ بدون توجه به فرم سینوس یا کسینوس معتبر نیست.
- قرارداد این مقاله: x = A cos(ωt + φ)
- A همیشه نامنفی است.
- x نسبت به نقطه تعادل سنجیده میشود.
- فاز بر حسب رادیان نوشته میشود.
شرط سرعت اولیه را با مشتق درست بساز
با مشتقگرفتن از مکان داریم v(t) = −Aω sin(ωt + φ). پس در لحظه آغاز، x₀ = A cosφ و v₀ = −Aω sinφ است. علامت منفیِ رابطه سرعت مهم است: اگر نوسانگر در t = 0 در مکان مثبت و رو به نقطه تعادل حرکت کند، x₀ مثبت اما v₀ منفی خواهد بود.
شتاب نیز a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x(t) است. بنابراین شتاب همیشه به سوی تعادل جهت دارد. این رابطه یک کنترل مستقل میدهد: اگر معادلهای برای مکان مثبت، شتاب مثبت پیشبینی کند، یا مشتقگیری یا قرارداد علامت در آن اشتباه شده است.
- x₀ = A cosφ
- v₀ = −Aω sinφ
- a = −ω²x
دامنه را از مکان و سرعت اولیه پیدا کن
دو رابطه شرایط اولیه را بهترتیب بر A و Aω تقسیم کن: x₀/A = cosφ و −v₀/(Aω) = sinφ. با مربعکردن و جمع آنها، sin²φ + cos²φ = 1 فاز را حذف میکند و نتیجه میدهد A² = x₀² + (v₀/ω)². پس A = √(x₀² + (v₀/ω)²).
جمله v₀/ω واحد طول دارد و میتواند با x₀ جمع شود. همچنین A باید دستکم به اندازه |x₀| باشد. اگر دامنه محاسبهشده از قدرمطلق مکان اولیه کوچکتر شد، خطای واحد، توان دوم یا تقسیم بر ω رخ داده است. برای یافتن ω میتوان از ω = 2πf = 2π/T استفاده کرد.
ربع فاز اولیه را از علامت مکان و سرعت تعیین کن
پس از یافتن A، مقدار cosφ = x₀/A و sinφ = −v₀/(Aω) را جدا بنویس. علامت کسینوس از x₀ و علامت سینوس از منفیِ v₀ میآید. این دو علامت ربع φ را تعیین میکنند؛ سپس زاویه مرجع را از یکی از نسبتها به دست آور. این روش از ابهام تابع معکوس تانژانت جلوگیری میکند.
رابطه tanφ = −v₀/(ωx₀) بهتنهایی کافی نیست، زیرا تانژانت در دو ربع علامت یکسان دارد و وقتی x₀ = 0 نیز تعریف نمیشود. برای نمونه، x₀ > 0 و v₀ > 0 یعنی cosφ مثبت و sinφ منفی است؛ پس فاز در ربع چهارم قرار دارد، نه ربع دوم. میتوان φ را در بازه 0 تا 2π یا بازه −π تا π گزارش کرد.
مسئله را در پنج گام حل کن
یک: مبدأ تعادل، جهت مثبت و فرم x = A cos(ωt + φ) را مشخص کن. دو: ω را از دوره یا بسامد به دست آور. سه: x₀ و v₀ را با علامت درست از صورت یا شکل بخوان. چهار: ابتدا دامنه را از A = √(x₀² + (v₀/ω)²) و سپس ربع و مقدار φ را از سینوس و کسینوس پیدا کن. پنج: معادله نهایی را در t = 0 آزمایش و مشتق آن را با سرعت اولیه مقایسه کن.
اگر صورت سؤال مکان را از انتهای فنر یا یک مرجع هندسی دیگر بدهد، پیش از این پنج گام آن را به جابهجایی از نقطه تعادل تبدیل کن. در فنر قائم، اثر وزن محل تعادل را جابهجا میکند؛ اما وقتی x از تعادل سنجیده شود، معادله نوسان همان ساختار را دارد.
مثال حلشده: ساخت معادله از مکان و سرعت اولیه
نوسانگری با بسامد زاویهای ω = 4 rad/s در لحظه t = 0 در مکان x₀ = 3 cm است و در جهت مثبت با سرعت v₀ = 16 cm/s حرکت میکند. معادله مکان را با فرم کسینوسی بساز. همه دادهها را میتوان بر حسب سانتیمتر نگه داشت، چون v₀/ω نیز سانتیمتر میشود.
دامنه برابر A = √(3² + (16/4)²) = √(9 + 16) = 5 cm است. حالا cosφ = 3/5 و sinφ = −16/(5×4) = −4/5. کسینوس مثبت و سینوس منفیاند، پس φ در ربع چهارم است و میتوان φ ≈ −0.927 rad نوشت.
معادله نهایی x(t) = 5 cos(4t − 0.927) cm است. کنترل مکان: x(0) = 5 cos(−0.927) = 3 cm. کنترل سرعت: v(0) = −20 sin(−0.927) = 16 cm/s. هر دو شرط آغازین بازسازی میشوند، پس هم اندازه فاز و هم ربع آن درست انتخاب شده است.
حالتهای ویژه و دامهای رایج را بشناس
اگر نوسانگر از انتهای مثبت و از سکون رها شود، x₀ = A و v₀ = 0 است؛ در قرارداد کسینوسی میتوان φ = 0 گرفت. اگر از نقطه تعادل در جهت مثبت بگذرد، x₀ = 0 و v₀ > 0 است؛ پس cosφ = 0 و sinφ = −1 و یک انتخاب مناسب φ = −π/2 است. این حالتها راهی سریع برای کنترل شهودی فازند.
خطاهای رایج شامل حذف علامت منفی سرعت، استفاده از درجه در عبارتی که ωt بر حسب رادیان است، قراردادن طول فنر به جای جابهجایی از تعادل و انتخاب فاز فقط با ماشینحساب تانژانت است. همچنین φ و φ + 2π یک حرکت یکسان میسازند؛ متفاوتبودن ظاهری این دو عدد به معنای وجود دو پاسخ فیزیکی نیست. برای تفسیر همزمان x، v و a، راهنمای نمودارهای نوسان ساده را ادامه بده.
برای ساخت معادله نوسان هماهنگ، ابتدا قرارداد x = A cos(ωt + φ) و جهت مثبت محور را ثابت نگه دار. با ω = 2π/T یا ω = 2πf، از x₀ = A cosφ و v₀ = −Aω sinφ استفاده کن؛ دامنه را از A = √(x₀² + (v₀/ω)²) بیاب و ربع φ را از علامت کسینوس و منفیِ سینوس تعیین کن. فازهایی که به اندازه 2π تفاوت دارند یک حرکت را توصیف میکنند. کنترل نهایی نیز ساده است: معادله را در t = 0 مشتق بگیر و مطمئن شو دقیقاً x₀ و v₀ دادهشده را بازمیسازد.