اگر ذرهای با بار q و جرم m با سرعت v و زاویه θ نسبت به میدان مغناطیسی یکنواخت B وارد شود، سرعت را به دو مؤلفه v∥ = v cosθ و v⊥ = v sinθ بشکن. مؤلفه موازی بدون تغییر ذره را در امتداد میدان پیش میبرد و مؤلفه عمود، حرکت دایرهای میسازد؛ ترکیب آنها مسیر مارپیچی است. شعاع مارپیچ r = mv⊥/(|q|B)، دوره T = 2πm/(|q|B) و گام، یعنی پیشروی در یک دور، برابر d = v∥T است. علامت بار فقط جهت چرخش را عوض میکند و در اندازه این سه کمیت از |q| استفاده میشود.
سرعت را نسبت به جهت میدان تجزیه کن
زاویه θ باید زاویه میان بردار سرعت و بردار میدان مغناطیسی باشد. مؤلفه همراستا با میدان v∥ = v cosθ و مؤلفه عمود بر آن v⊥ = v sinθ است. اگر زاویه در شکل نسبت به خطی عمود بر میدان داده شده باشد، جای سینوس و کسینوس عوض میشود؛ پس رابطه را از روی مثلث مؤلفهها انتخاب کن، نه از حفظ.
اندازه نیروی مغناطیسی F = |q|vB sinθ = |q|v⊥B است. بنابراین فقط مؤلفه عمود بر میدان در نیروی مغناطیسی سهم دارد. مؤلفه موازی نیرویی از سوی میدان حس نمیکند و ثابت میماند. همین جدایی دو مؤلفه، شکل مسیر را بدون حل معادله پیچیده روشن میکند.
- موازی میدان: v∥ = v cosθ
- عمود بر میدان: v⊥ = v sinθ
- نیروی مغناطیسی: F = |q|v⊥B
از ترکیب حرکت دایرهای و مستقیم، مارپیچ بساز
نیروی مغناطیسی در هر لحظه بر v⊥ عمود است و نقش نیروی مرکزگرا را بازی میکند؛ در نتیجه تصویر حرکت روی صفحه عمود بر میدان یک دایره است. همزمان، ذره با سرعت ثابت v∥ در راستای میدان جابهجا میشود. اگر این دو حرکت را کنار هم ببینی، دایره در امتداد میدان پیش میرود و مسیر سهبعدی مارپیچ شکل میگیرد.
سه حالت مرزی را سریع تشخیص بده: اگر θ = 90° باشد، v∥ صفر و مسیر فقط دایرهای است؛ اگر θ = 0° یا 180° باشد، v⊥ صفر، نیروی مغناطیسی صفر و مسیر خط راست است؛ در زاویههای بین این دو، مسیر مارپیچی خواهد بود.
شعاع، دوره و گام مارپیچ را محاسبه کن
در صفحه عمود بر میدان، نیروی مغناطیسی را با نیروی مرکزگرا برابر بگذار: |q|v⊥B = mv⊥²/r. با سادهسازی، r = mv⊥/(|q|B) به دست میآید. پس جرم و سرعت عمودی بیشتر، شعاع را بزرگتر و بار یا میدان قویتر، شعاع را کوچکتر میکند.
دوره یک دور از T = 2πr/v⊥ به دست میآید. با جایگذاری شعاع، T = 2πm/(|q|B) میشود و به تندی وابسته نیست. ذره طی همین زمان در امتداد میدان به اندازه d = v∥T جلو میرود؛ d فاصله دو دور پیاپی یا گام مارپیچ است.
- شعاع: r = mv⊥/(|q|B)
- دوره: T = 2πm/(|q|B)
- گام: d = v∥T
مسئله مسیر مارپیچی را در پنج گام حل کن
یک: جهت B و زاویه آن با v را روی شکل مشخص کن. دو: v∥ و v⊥ را با علامت مناسب بنویس. سه: برای شعاع فقط v⊥ را در r = mv⊥/(|q|B) قرار بده. چهار: دوره را مستقل از سرعت محاسبه کن. پنج: برای گام، دوره را در اندازه مؤلفه موازی ضرب کن و جهت پیشروی را از علامت v∥ بخوان.
اگر جهت چرخش خواسته شده، ابتدا برای بار مثبت از قاعده دست راست جهت qv⃗×B⃗ را پیدا کن؛ برای بار منفی نتیجه را برعکس کن. جهت نیروی لحظهای به سوی مرکز دایره است. جهت پیشروی مارپیچ نیز با v∥ تعیین میشود و نباید با جهت چرخش روی مقطع دایرهای اشتباه شود.
مثال حلشده: شعاع و گام مسیر یک پروتون
پروتونی با جرم 1.67×10⁻²⁷ kg و بار +1.60×10⁻¹⁹ C با تندی 5.0×10⁵ m/s و زاویه 37° نسبت به میدان B = 0.20 T وارد میشود. با sin37° ≈ 0.60 و cos37° ≈ 0.80، مؤلفهها v⊥ = 3.0×10⁵ m/s و v∥ = 4.0×10⁵ m/s هستند.
شعاع برابر r = (1.67×10⁻²⁷×3.0×10⁵)/(1.60×10⁻¹⁹×0.20) ≈ 1.6×10⁻² m، یعنی حدود 1.6 cm است. دوره T = 2π(1.67×10⁻²⁷)/(1.60×10⁻¹⁹×0.20) ≈ 3.3×10⁻⁷ s به دست میآید.
گام مارپیچ d = v∥T ≈ 4.0×10⁵×3.3×10⁻⁷ ≈ 0.13 m یا 13 cm است. برای کنترل، گام باید یکای طول داشته باشد و چون در هر دور ذره با سرعت موازی ثابت پیش میرود، حاصل ضرب متر بر ثانیه در ثانیه همین یکا را میدهد.
تغییر پارامترها را بدون اشتباه در انرژی پیشبینی کن
نیروی مغناطیسی همواره بر سرعت عمود است، پس کار انجام نمیدهد. در میدان مغناطیسی یکنواخت و بدون نیروی دیگر، تندی و انرژی جنبشی ذره ثابت میمانند؛ میدان جهت سرعت را تغییر میدهد، نه اندازه آن را. بنابراین بزرگترشدن شعاع به معنی افزایش انرژی در طول مسیر نیست.
اگر B دو برابر شود و ورودی ذره ثابت بماند، هم شعاع و هم دوره و گام نصف میشوند. اگر فقط زاویه θ زیاد شود، v⊥ و شعاع افزایش اما v∥ و گام کاهش مییابند؛ دوره ثابت میماند. عوضشدن علامت بار نیز اندازه شعاع، دوره و گام را تغییر نمیدهد و فقط جهت دوران را وارونه میکند.
چهار خطای رایج را با کنترل نهایی حذف کن
خطای اول، قراردادن کل v در رابطه شعاع با وجود ورود مایل است. خطای دوم، استفاده از q علامتدار در شعاع و رسیدن به طول منفی است؛ برای اندازهها |q| را بنویس. خطای سوم، محاسبه گام با v⊥ است، در حالی که پیشروی در راستای محور مارپیچ با v∥ انجام میشود. خطای چهارم، تصور افزایش تندی بر اثر نیروی مغناطیسی است.
در کنترل پاسخ، r و d باید یکای متر و T یکای ثانیه داشته باشند. اگر v∥ را صفر کنی، گام باید صفر و مسیر دایرهای شود؛ اگر v⊥ را صفر کنی، شعاع فرمولی صفر نشانه نبودن حرکت دایرهای و مسیر واقعی خط راست است. برای پایه حرکت دایرهای بار، مقاله نیروی مغناطیسی بر ذره و برای تجزیه درست سرعت، راهنمای مؤلفههای بردار را بخوان.
برای حرکت بار در میدان مغناطیسی، نخست زاویه سرعت با خود میدان را مشخص و v را به v∥ و v⊥ تجزیه کن. v⊥ شعاع r = mv⊥/(|q|B) را میسازد، دوره از T = 2πm/(|q|B) به دست میآید و v∥ گام d = v∥T را تعیین میکند. حالت v∥ = 0 دایرهای و حالت v⊥ = 0 خط راست است. نیروی مغناطیسی تندی و انرژی جنبشی را تغییر نمیدهد؛ فقط جهت سرعت را میچرخاند. در پایان، قدرمطلق بار را در اندازهها و علامت بار را فقط در تعیین جهت چرخش به کار ببر.