پاسخ مستقیم این است: در ماشین آتوود با قرقره جرمدار، دو کشش برابر نیستند؛ اختلاف آنها گشتاور لازم برای چرخاندن قرقره را میسازد. اگر جرمها m₁ و m₂، شعاع قرقره R و لختی دورانی آن I باشد و m₂ > m₁، با نخِ بیکشش و بدون لغزش داریم a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂ + I/R²). سپس T₁ = m₁(g + a) و T₂ = m₂(g − a) است. جمله I/R² نقش یک جرم مؤثر دورانی را دارد و باعث میشود شتاب از حالت قرقره بیجرم کمتر شود.
مدل مسئله و جهت حرکت را پیش از معادلهنویسی مشخص کن
دو جرم m₁ و m₂ از دو سوی نخی آویزاناند که روی قرقرهای با شعاع R قرار دارد. نخ بیجرم و بیکشش فرض میشود، روی قرقره نمیلغزد و اصطکاک محور ناچیز است؛ اما خود قرقره لختی دورانی I دارد. اگر m₂ > m₁ باشد، جرم دوم پایین و جرم اول بالا میرود و اندازه شتاب خطی هر دو a است.
نلغزیدن نخ رابطه حرکت خطی و دورانی را میسازد: a = αR. این رابطه فقط اندازهها را به هم وصل نمیکند؛ جهت چرخش قرقره نیز باید با پایینرفتن جرم سنگینتر سازگار باشد. اگر صورت سؤال اصطکاک محور یا لغزش نخ را مطرح کند، مدل ساده این مقاله کافی نیست و باید گشتاور اضافی یا رابطه حرکتی دیگری وارد شود.
- جهت مثبت برای m₁: رو به بالا
- جهت مثبت برای m₂: رو به پایین
- شرط نلغزیدن نخ: a = αR
سه معادله انتقالی و دورانی را جدا بنویس
برای جرم سبکتر که رو به بالا شتاب میگیرد، T₁ − m₁g = m₁a. برای جرم سنگینتر که رو به پایین شتاب میگیرد، m₂g − T₂ = m₂a. کششها را از ابتدا با دو نماد بنویس؛ زیرا قرقره برای گرفتن شتاب زاویهای به گشتاور خالص نیاز دارد.
دو کشش در دو سوی محور، گشتاورهایی مخالف میسازند. با انتخاب جهت چرخش ناشی از پایینرفتن m₂ بهعنوان جهت مثبت، معادله قرقره (T₂ − T₁)R = Iα است. حال α = a/R را جایگذاری میکنیم و به T₂ − T₁ = Ia/R² میرسیم. پس در این جهت حرکت، T₂ از T₁ بزرگتر است.
- وزنه اول: T₁ − m₁g = m₁a
- وزنه دوم: m₂g − T₂ = m₂a
- قرقره: (T₂ − T₁)R = Iα
رابطه شتاب را بدون حفظکردن استخراج کن
سه معادله را جمع کن. کششها حذف نمیشوند مگر اینکه سهم معادله دورانی نیز وارد شده باشد. از دو معادله وزنهها داریم T₁ = m₁(g + a) و T₂ = m₂(g − a). قرار دادن این دو در T₂ − T₁ = Ia/R² نتیجه میدهد: (m₂ − m₁)g = (m₁ + m₂ + I/R²)a.
بنابراین a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂ + I/R²). کمیت I/R² واحد کیلوگرم دارد و میتوان آن را جرم مؤثر دورانی قرقره دید. هرچه I برای شعاع معین بزرگتر باشد، سهم بیشتری از انرژی و گشتاور صرف چرخاندن قرقره میشود و شتاب خطی کمتر خواهد بود.
لختی دورانی قرقره را از شکل آن انتخاب کن
اگر قرقره دیسک یکنواخت با جرم M باشد، I = MR²/2 و در نتیجه I/R² = M/2 است. برای حلقه نازک یکنواخت I = MR² و جرم مؤثر دورانی M میشود. پس دو قرقره با جرم و شعاع یکسان، اگر توزیع جرم متفاوتی داشته باشند، شتاب یکسانی به دستگاه نمیدهند.
فرمول هندسی را فقط وقتی به کار ببر که شکل و توزیع جرم قرقره در صورت سؤال مشخص باشد. اگر I مستقیماً داده شده، همان مقدار را استفاده کن. همچنین R فقط شعاعی است که نخ روی آن حرکت میکند؛ اگر نخ روی شیار کوچکتری قرار داشته باشد، شعاع بیرونی قرقره الزاماً R رابطه a = αR نیست.
مثال حلشده: آتوود با قرقره دیسکی یکنواخت
دو جرم m₁ = 2 kg و m₂ = 4 kg با نخ از دو سوی قرقرهای دیسکی و یکنواخت به جرم M = 2 kg آویزاناند. نخ نمیلغزد، اصطکاک محور ناچیز و g = 10 m/s² است. شتاب دستگاه و کشش هر سوی نخ را پیدا کن.
برای دیسک یکنواخت I/R² = M/2 = 1 kg است. پس a = (4 − 2)×10/(2 + 4 + 1) = 20/7 ≈ 2.86 m/s². جرم 4 کیلوگرمی پایین میرود و جرم 2 کیلوگرمی با همین اندازه شتاب بالا میآید.
از T₁ = m₁(g + a) داریم T₁ = 2(10 + 20/7) = 180/7 ≈ 25.7 N. همچنین T₂ = m₂(g − a) = 4(10 − 20/7) = 200/7 ≈ 28.6 N. اختلاف کششها 20/7 N است و با Ia/R² = (1 kg)(20/7 m/s²) برابر میشود؛ پس معادله دورانی نیز کنترل شده است.
پاسخ را با انرژی و حالتهای مرزی کنترل کن
اگر جرم سنگینتر بهاندازه h پایین برود، کاهش خالص انرژی پتانسیل (m₂ − m₁)gh است. این انرژی به انرژی جنبشی انتقالی دو جرم و انرژی جنبشی دورانی قرقره تبدیل میشود: (m₂ − m₁)gh = ½(m₁ + m₂)v² + ½Iω². با v = ωR و v² = 2ah همان رابطه شتاب به دست میآید.
سه کنترل سریع مفید است. اگر I به صفر میل کند، فرمول باید به شتاب ماشین آتوود ایدهآل برسد. اگر m₁ = m₂ باشد، شتاب صفر میشود. همچنین برای m₂ > m₁ باید 0 < a < g باشد و در حالت دوران شتابدار T₂ − T₁ همعلامت با شتاب زاویهای به دست آید.
مسئله را در پنج گام حل کن و خطاهای رایج را ببین
یک: جرم سنگینتر و جهت حرکت را تعیین کن. دو: برای هر وزنه یک معادله مستقل بنویس. سه: کششها را برابر نگذار و معادله گشتاور قرقره را اضافه کن. چهار: با α = a/R مجهول زاویهای را حذف کن. پنج: ابتدا a و سپس T₁ و T₂ را حساب و با حالتهای مرزی کنترل کن.
خطای رایج اول، نوشتن T₁ = T₂ از عادت حل قرقره بیجرم است؛ این کار گشتاور خالص را صفر میکند. خطای دوم، استفاده از I بهجای I/R² در مخرج شتاب است که از نظر ابعادی نادرست است. خطای سوم، برابرگرفتن جرم مؤثر قرقره با M برای هر شکلی است؛ ضریب به توزیع جرم بستگی دارد. برای مرور حالت قرقره ایدهآل، مقاله ماشین آتوود و برای انتخاب I، راهنمای لختی دورانی را بخوان.
برای ماشین آتوود با قرقره جرمدار، جهت حرکت را مشخص کن و برای هر وزنه قانون دوم نیوتن بنویس. روی قرقره نیز (T₂ − T₁)R = Iα و بهعلت نلغزیدن نخ α = a/R است. ترکیب این سه معادله شتاب a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂ + I/R²) را میدهد. کششها را پس از یافتن شتاب جداگانه حساب کن؛ برابرگرفتن آنها گشتاور قرقره را صفر میکند و با دوران شتابدار سازگار نیست. در پایان، حد I → 0، جهت شتاب و یکای I/R² را کنترل کن.