در ماشین آتوود آرمانی با دو جرم m₁ و m₂، نخ سبک و کششناپذیر است و قرقره جرم و اصطکاک ندارد؛ بنابراین اندازه شتاب دو جرم برابر و کشش در دو سوی نخ یکسان است. اگر m₂ > m₁ باشد، جرم m₂ پایین میرود و اندازه شتاب از a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂) به دست میآید. سپس با یکی از رابطههای T − m₁g = m₁a یا m₂g − T = m₂a کشش را پیدا میکنیم. راه مطمئن این است که برای هر جرم نمودار جسم آزاد و معادله جدا بنویسیم و فقط در پایان معادلهها را با هم ترکیب کنیم.
مدل آرمانی ماشین آتوود چه فرضهایی دارد؟
ماشین آتوود ساده از دو جرم تشکیل میشود که با یک نخ از روی قرقره به هم وصلاند. در مدل آرمانی، جرم نخ ناچیز، طول نخ ثابت و قرقره بیجرم و بدون اصطکاک است. ثابتبودن طول نخ یعنی اگر یک جرم به اندازهای پایین برود، جرم دیگر به همان اندازه بالا میآید؛ پس سرعتها و شتابهای دو جرم اندازه برابر و جهت مخالف دارند.
بیجرمبودن نخ و قرقره آرمانی سبب میشود کشش در تمام نخ یکسان باشد. این نتیجه را نباید به هر قرقره واقعی تعمیم داد: اگر جرم قرقره یا نخ مهم باشد، کشش دو طرف میتواند متفاوت شود و برای چرخش قرقره نیز معادله گشتاور لازم است. در سؤالهای دبیرستانی، فرضهای دادهشده در صورت مسئله تعیین میکنند کدام مدل را به کار ببری.
- نخ کششناپذیر: اندازه شتاب دو سر نخ برابر است.
- نخ و قرقره آرمانی: کشش دو سوی نخ برابر است.
- هر جرم نمودار جسم آزاد و معادله نیوتن جداگانه دارد.
جهت حرکت و نمودار جسم آزاد دو جرم را تعیین کن
اگر m₂ از m₁ بزرگتر باشد و نیروی دیگری وجود نداشته باشد، m₂ تمایل دارد پایین و m₁ بالا برود. برای m₁ جهت مثبت را رو به بالا و برای m₂ جهت مثبت را رو به پایین میگیریم؛ این دو محور ظاهراً مخالفاند اما هر دو در امتداد حرکت دستگاه انتخاب شدهاند، بنابراین شتاب هر دو در معادلهها +a است.
بر جرم سبکتر m₁، کشش T رو به بالا و وزن m₁g رو به پایین وارد میشود؛ پس T − m₁g = m₁a. بر جرم سنگینتر m₂، وزن رو به پایین و کشش رو به بالا است؛ پس m₂g − T = m₂a. پیکان شتاب نیرو نیست و نباید در نمودار جسم آزاد به جمع نیروها اضافه شود.
شتاب و کشش نخ را از دو معادله به دست آور
دو معادله را جمع میکنیم تا کشش حذف شود: (m₂ − m₁)g = (m₁ + m₂)a. در نتیجه a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂). تفاضل جرمها نیروی محرک خالص دستگاه را میسازد، درحالیکه مجموع جرمها اینرسی کل دستگاه است.
پس از محاسبه a، آن را در یکی از معادلهها قرار میدهیم. برای نمونه از T = m₁(g + a) استفاده میکنیم. با جایگذاری شتاب، T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂) به دست میآید. لازم نیست این رابطه دوم را حفظ کنی؛ استخراج کشش از معادله یک جسم، احتمال خطای علامت را کمتر میکند.
- ابتدا معادلهها را جمع کن تا T حذف شود.
- شتاب را در معادله یکی از جرمها بگذار تا T پیدا شود.
- در این حالت باید 0 ≤ a < g و m₁g < T < m₂g باشد.
مثال حلشده: دو جرم آویزان ۲ و ۳ کیلوگرمی
دو جرم 2 kg و 3 kg با نخ آرمانی از قرقرهای آرمانی آویزاناند. با g = 10 m/s²، جرم 3 kg پایین میرود. شتاب دستگاه برابر a = [(3 − 2)/(3 + 2)]×10 = 2 m/s² است.
برای جرم 2 kg که رو به بالا شتاب دارد، T − 20 = 2×2؛ پس T = 24 N. کنترل با جرم دوم: 30 − T = 3×2 و از آن نیز T = 24 N به دست میآید. یکسانشدن دو مقدار کشش نشان میدهد علامتها و شتاب مشترک درست وارد شدهاند.
کشش با وزن هیچیک از جرمها برابر نیست؛ چون هر دو جرم شتاب دارند. برای جرم سبکتر T > m₁g است تا رو به بالا شتاب بگیرد و برای جرم سنگینتر T < m₂g است تا برآیند نیرو رو به پایین باشد.
اگر یک جرم روی میز و جرم دیگر آویزان باشد چه میشود؟
فرض کن جرم m₁ روی میز افقی بدون اصطکاک است و جرم m₂ آویزان. روی m₁ در راستای حرکت فقط کشش وارد میشود، پس T = m₁a. برای جرم آویزان با جهت مثبت رو به پایین، m₂g − T = m₂a. با جمع این دو رابطه، a = m₂g/(m₁ + m₂) به دست میآید.
اگر میز اصطکاک جنبشی داشته باشد و دستگاه در حال لغزش باشد، نیروی fₖ = μₖm₁g خلاف حرکت بر جرم روی میز وارد میشود. آنگاه T − fₖ = m₁a و m₂g − T = m₂a؛ پس a = (m₂g − fₖ)/(m₁ + m₂). پیش از استفاده از اصطکاک جنبشی باید مطمئن باشی جسم واقعاً حرکت میکند؛ در حالت سکون، اصطکاک ایستایی مقدار ثابتی برابر μₛN ندارد.
دستگاه جرم آویزان و جرم روی سطح شیبدار را حل کن
اگر m₁ روی سطح شیبدار بدون اصطکاک با زاویه θ و m₂ آویزان باشد، مؤلفه وزن m₁ در امتداد سطح برابر m₁g sinθ است. جهت حرکت را با مقایسه m₂g و m₁g sinθ حدس میزنیم. اگر m₂g بزرگتر باشد، m₂ پایین میرود و m₁ روی سطح بالا میآید.
در همین جهتگذاری، برای m₁ مینویسیم T − m₁g sinθ = m₁a و برای m₂ مینویسیم m₂g − T = m₂a. جمع آنها میدهد a = [m₂g − m₁g sinθ]/(m₁ + m₂). اگر صورت کسر منفی شود، فقط یعنی جهت واقعی برخلاف فرض اولیه است؛ اندازه شتاب قدرمطلق جواب و جهت آن خلاف محور فرضشده خواهد بود.
مسیر حل استاندارد دستگاههای دو جرم متصل
گام اول، فرضهای نخ، قرقره و سطح را از صورت سؤال استخراج کن. گام دوم، برای هر جسم یک نمودار جسم آزاد بکش و جهت حرکت احتمالی را مشخص کن. گام سوم، محور مثبت هر جسم را در امتداد همان حرکت انتخاب و قانون دوم نیوتن را جداگانه بنویس.
گام چهارم، قید نخ را اعمال کن: در نخ کششناپذیر ساده، اندازه شتاب دو جسم برابر است. معادلهها را طوری جمع کن که کشش حذف شود، شتاب را بیاب و سپس برای کشش به یکی از معادلههای اولیه برگرد. در پایان جواب را در معادله جسم دیگر نیز جایگذاری کن.
- دو جسم، دو نمودار و دو معادله مستقل بساز.
- جهت مثبت را کنار هر نمودار بنویس.
- قید شتاب و کشش را فقط با توجه به فرضهای مسئله اعمال کن.
- علامت و حالتهای حدی پاسخ را کنترل کن.
خطاهای رایج و سه کنترل سریع پاسخ
خطاهای رایج عبارتاند از نوشتن یک معادله برای هر دو جسم بدون مشخصکردن دستگاه، برابرگرفتن کشش با وزن، یکسانگرفتن جهت برداری شتابها و استفاده از جرم بزرگتر بهجای نیروی محرک واقعی در حالت سطح شیبدار. همچنین وجود قرقره همیشه به معنی برابر بودن کشش دو طرف نیست؛ آرمانیبودن آن مهم است.
سه کنترل ساده انجام بده: اگر دو جرم آویزان برابر شوند، شتاب باید صفر شود؛ اگر یکی از جرمها در برابر دیگری بسیار کوچک شود، اندازه شتاب باید به g نزدیک شود؛ و در مدل دو جرم آویزان، شتاب نباید از g بیشتر باشد. برای تقویت مرحله رسم نیروها، راهنمای نمودار جسم آزاد را بخوان و در مسائل دارای سطح زبر به راهنمای اصطکاک ایستایی و جنبشی مراجعه کن.
در دستگاه دو جرم متصل، هر جسم را جدا کن، جهت مثبت را همسو با حرکت احتمالی بگیر و برای هر جسم قانون دوم نیوتن بنویس. قید نخ آرمانی، اندازه شتابها را برابر و کشش دو سوی نخ را یکسان میکند. جمع معادلهها معمولاً کشش را حذف و شتاب دستگاه را آشکار میکند؛ سپس کشش را از معادله یکی از جسمها بیاب. حالت جرمهای برابر، حد شتاب نسبت به g و جایگذاری جواب در هر دو معادله، کنترلهای سریع پاسخاند.