برای تشخیص واژگونی، از مرکز ثقل جسم یک خط قائم در جهت وزن رسم کن. تا وقتی محل برخورد این خط با زمین داخل سطح اتکا باشد، جسم از نظر واژگونی پایدار است؛ رسیدن خط اثر وزن به لبه، حالت مرزی و عبور آن از لبه آغاز واژگونی است. برای مکعبمستطیلی با ارتفاع h و پهنای قاعده b روی سطحی که آرام کج میشود، اگر جسم نلغزد زاویه بحرانی از tanθc = b/h به دست میآید. پیش از استفاده از این رابطه باید لغزش را نیز جداگانه بررسی کنی.
مرکز ثقل و سطح اتکا را روی شکل مشخص کن
مرکز ثقل نقطهای است که میتوان برآیند نیروهای گرانشی وارد بر جسم را در آن در نظر گرفت. در میدان گرانشی تقریباً یکنواخت نزدیک سطح زمین، مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است. برای جسم یکنواخت و متقارن، مانند مکعبمستطیل، این نقطه در مرکز هندسی قرار دارد؛ برای جسم نامتقارن نباید بدون دلیل مرکز هندسی را انتخاب کرد.
سطح اتکا ناحیهای است که نقاط تماس جسم با تکیهگاه در بر میگیرند. برای یک جعبه روی زمین، همان قاعده جعبه است؛ برای چهارپایه، چندضلعی میان پایهها سطح اتکا را میسازد. پهنترشدن این ناحیه یا پایینآمدن مرکز ثقل معمولاً فاصله خط اثر وزن تا لبه را بیشتر میکند و پایداری را افزایش میدهد.
- وزن mg از مرکز ثقل و قائم رو به پایین میگذرد.
- سطح اتکا را از همه نقاط تماس بساز.
- در جسم یکنواخت و متقارن، مرکز ثقل در مرکز هندسی است.
پایداری را از محل خط اثر وزن تشخیص بده
خط اثر وزن، خط قائمی است که از مرکز ثقل میگذرد. اگر این خط سطح اتکا را در نقطهای داخلی قطع کند، وزن نسبت به لبه احتمالی واژگونی گشتاوری بازگرداننده دارد. اگر خط دقیقاً از لبه بگذرد، بازوی گشتاور وزن نسبت به آن لبه صفر میشود و جسم در حالت مرزی قرار میگیرد.
وقتی تصویر قائم مرکز ثقل از سطح اتکا بیرون برود، وزن نسبت به لبه گشتاوری در جهت واژگونی ایجاد میکند. عبارت «مرکز ثقل باید داخل جسم باشد» معیار درستی نیست؛ مرکز ثقل برخی اجسام میتواند در فضای خالی قرار گیرد. معیار، جای خط اثر وزن نسبت به سطح اتکاست.
- خط اثر داخل سطح اتکا: پایدار
- خط اثر روی لبه: حالت بحرانی
- خط اثر بیرون سطح اتکا: تمایل به واژگونی
زاویه بحرانی مکعبمستطیل روی سطح شیبدار را بساز
جعبه یکنواختی را در نظر بگیر که قاعده آن در راستای شیب پهنای b و ارتفاع عمود بر قاعده h دارد. با افزایش زاویه θ سطح، خط قائم وزن به لبه پاییندست نزدیک میشود. در آستانه واژگونی، خط اثر وزن دقیقاً از این لبه میگذرد و جسم میخواهد حول همان لبه دوران کند.
مرکز ثقل نسبت به لبه پاییندست، به اندازه b/2 در راستای سطح و h/2 در راستای عمود بر سطح فاصله دارد. از مثلث هندسی حالت مرزی داریم tanθc = (b/2)/(h/2) = b/h. این نتیجه فقط وقتی کاربرد دارد که اصطکاک مانع لغزش تا زاویه θc شده باشد.
- بعد قاعده در راستای شیب: b
- ارتفاع عمود بر قاعده: h
- شرط مرزی واژگونی: tanθc = b/h
مثال حلشده: زاویه واژگونی یک جعبه
جعبهای یکنواخت با پهنای قاعده 30 cm در راستای شیب و ارتفاع 50 cm روی تختهای زبر قرار دارد. فرض کن جعبه تا شروع واژگونی نمیلغزد. زاویه بحرانی را پیدا کن و وضعیت آن را در زاویه 25 درجه تعیین کن.
در حالت مرزی tanθc = b/h = 30/50 = 0.60 است؛ بنابراین θc = arctan(0.60) و تقریباً 31 درجه میشود. چون 25 درجه از زاویه بحرانی کمتر است، خط اثر وزن هنوز داخل قاعده قرار دارد و جعبه از نظر واژگونی پایدار است.
لازم نیست سانتیمترها را به متر تبدیل کنیم، زیرا نسبت b/h بیواحد است و هر دو طول با یک واحد داده شدهاند. اگر جعبه را روی وجهی بخوابانیم که b بزرگتر و h کوچکتر شود، نسبت b/h و در نتیجه زاویه بحرانی افزایش مییابد.
بررسی کن جسم اول میلغزد یا واژگون میشود
روی سطح شیبدار، لغزش و واژگونی دو شرط مستقلاند. برای جسم ساکن با ضریب اصطکاک ایستایی μs، مرز لغزش از mg sinθ = μs mg cosθ و در نتیجه tanθslide = μs به دست میآید. مرز واژگونی همان tanθtip = b/h است.
زاویهای که کوچکتر است، زودتر رخ میدهد. اگر μs < b/h باشد، θslide < θtip و جسم ابتدا میلغزد. اگر μs > b/h باشد، در مدل جسم صلب ابتدا واژگونی ممکن است. در حالت برابری، دو آستانه همزماناند. این مقایسه مانع استفاده خودکار و نادرست از رابطه زاویه واژگونی میشود.
- مرز لغزش: tanθslide = μs
- مرز واژگونی: tanθtip = b/h
- رخداد نخست با مقدار کوچکتر tanθ تعیین میشود.
مسئله پایداری و واژگونی را در پنج گام حل کن
یک: شکل جسم و همه نقاط تماس را رسم کن. دو: مرکز ثقل را با توجه به تقارن یا اطلاعات مسئله پیدا کن. سه: خط قائم وزن را بکش و لبهای را که محور احتمالی واژگونی است مشخص کن. چهار: در حالت بحرانی خط اثر وزن را از همان لبه عبور بده و با هندسه یا تعادل گشتاور رابطه لازم را بساز. پنج: اگر اصطکاک داده شده، آستانه لغزش را نیز محاسبه و دو آستانه را مقایسه کن.
در کنترل پاسخ، جسم پهنتر باید زاویه بحرانی بزرگتری و جسم بلندتر باید زاویه بحرانی کوچکتری داشته باشد. همچنین جرم در رابطه tanθc = b/h ظاهر نمیشود، زیرا هم نیروی وزن و هم گشتاور آن متناسب با جرماند. برای مرور ساختن معادله گشتاور، راهنمای تعادل میله و برای مسائل چندجرمی، مقاله مرکز جرم را بخوان.
سه خطای رایج در سؤالهای واژگونی را کنار بگذار
خطای نخست، سنجیدن محل خود مرکز ثقل بهجای تصویر قائم آن روی سطح اتکاست. خطای دوم، استفاده از کل طول قاعده و کل ارتفاع از مرکز ثقل تا لبه است؛ برای جسم یکنواخت این فاصلهها b/2 و h/2 هستند، هرچند نسبت نهایی ساده میشود. خطای سوم، فرضکردن نبود لغزش بدون بررسی اصطکاک است.
اگر نیروی افقی خارجی نیز به جسم وارد شود، دیگر خط اثر وزن بهتنهایی کافی نیست. در آن حالت، گشتاور وزن و نیروی خارجی را نسبت به لبه واژگونی بنویس و مرز را از مجموع گشتاورها برابر صفر پیدا کن. همیشه فقط نیروهای واقعی را وارد نمودار جسم آزاد کن.
پایداری جسم را با جای خط اثر وزن نسبت به سطح اتکا بسنج: داخل قاعده یعنی پایدار، روی لبه یعنی مرز واژگونی و بیرون قاعده یعنی گشتاور وزن جسم را واژگون میکند. برای مکعبمستطیل یکنواخت روی سطح شیبدار و در نبود لغزش، tanθc = b/h است؛ b بعد قاعده در راستای شیب و h ارتفاع عمود بر قاعده است. اگر اصطکاک کافی نباشد، جسم ممکن است پیش از رسیدن به این زاویه بلغزد، پس شرط لغزش و شرط واژگونی را مستقل محاسبه و زاویه کوچکتر را بهعنوان رخداد نخست انتخاب کن.