پاسخ مستقیم این است: صفحه را به شکلهای ساده تقسیم کن و برای هر بخش جرم و مختصات مرکز هندسیاش را بنویس. سپس از x_cm = Σ(mᵢxᵢ)/Σmᵢ و رابطه مشابه برای y استفاده کن. اگر بخشی از صفحه بریده شده باشد، همان بخش را با جرم منفی وارد صورت و مخرج کسر کن. در ورقهای با چگالی سطحی یکنواخت، جرم هر قسمت با مساحت آن متناسب است؛ بنابراین میتوان بهجای جرم مستقیماً از مساحت مثبت برای قسمتهای موجود و مساحت منفی برای حفره استفاده کرد.
مرکز جرم را میانگین وزنی مکانها ببین
برای چند جزء با جرمهای mᵢ، مختصات مرکز جرم از x_cm = Σ(mᵢxᵢ)/Σmᵢ و y_cm = Σ(mᵢyᵢ)/Σmᵢ به دست میآید. در جسم گسترده، هر جزء ساده را میتوان مانند ذرهای فرض کرد که تمام جرمش در مرکز جرم همان جزء متمرکز است. پس مستطیل، دایره یا مثلث را با جرم کل و مختصات مرکز هندسی آن در محاسبه وارد میکنیم.
این جایگزینی شکل واقعی را برای محاسبه مرکز جرم ساده میکند، اما محل مرکز هر جزء باید درست باشد. مرکز مستطیل و دایره در مرکز هندسی آنهاست. مرکز جرم مثلث یکنواخت روی محل تقاطع میانهها قرار دارد؛ یعنی در فاصله یکسوم ارتفاع از قاعده، نه در نیمه ارتفاع. بهتر است مختصات همه مراکز را نسبت به یک دستگاه مختصات مشترک بنویسی.
- محور و مبدأ مشترک برای همه اجزا
- جرم یا مساحت هر جزء همراه با علامت
- مختصات مرکز هندسی هر جزء، نه لبه آن
برای ورقه یکنواخت، مساحت را جایگزین جرم کن
اگر چگالی سطحی ورقه σ و ضخامت آن در همهجا یکسان باشد، جرم هر بخش mᵢ = σAᵢ است. عامل σ در صورت و مخرج رابطه مرکز جرم ساده میشود؛ در نتیجه x_cm = Σ(Aᵢxᵢ)/ΣAᵢ. همین کار برای مختصه y نیز انجام میشود. بنابراین لازم نیست جرم واقعی ورقه داده شده باشد.
اگر جنس یا ضخامت بخشها متفاوت باشد، نسبت جرمها دیگر فقط نسبت مساحتها نیست. در آن حالت برای هر بخش باید mᵢ = σᵢAᵢ یا، با داشتن چگالی حجمی، mᵢ = ρᵢAᵢtᵢ را جدا حساب کنی. استفاده از مساحت خالی در چنین مسئلهای پاسخ نادرست میدهد.
حفره را با مساحت یا جرم منفی وارد کن
برای صفحه حفرهدار، ابتدا صفحه کامل را تصور کن. سپس قسمت بریدهشده را بهعنوان جزئی با جرم منفی در نظر بگیر. اگر صفحه کامل مساحت A و مرکز آن در x₀ باشد و حفره مساحت a و مرکز آن در x_h، آنگاه x_cm = (Ax₀ − ax_h)/(A − a). علامت منفی فقط ابزار حسابداری برای حذف ماده است؛ حفره واقعاً جرم منفی ندارد.
مرکز جرم از حفره دور میشود، چون ماده از سمت حفره کم شده است. این پیشبینی کیفی یک کنترل مهم است. اگر حفره سمت راست مرکز صفحه باشد، x مرکز جرم نهایی باید به چپ حرکت کند. اگر نتیجه به سمت حفره رفت، معمولاً علامت مساحت حفره یا مختصات آن اشتباه نوشته شده است.
مثال حلشده: مرکز جرم صفحه مربعی با حفره دایرهای
صفحهای مربعی، یکنواخت و به ضلع 12 cm داریم. مبدأ را گوشه پایین چپ میگیریم. حفرهای دایرهای به شعاع 2 cm ایجاد شده که مرکز آن در مختصات (9, 6) cm است. مختصات مرکز جرم صفحه باقیمانده را پیدا کن.
مرکز مربع کامل در (6, 6) است و مساحت آن A = 12² = 144 cm² میشود. مساحت حفره a = π(2)² = 4π cm² است و باید منفی وارد شود. به علت آنکه مرکز مربع و حفره هر دو y = 6 دارند، تقارن نسبت به خط افقی y = 6 باقی میماند؛ پس بدون محاسبه میدانیم y_cm = 6 cm.
برای مختصه افقی مینویسیم x_cm = [144×6 − 4π×9]/[144 − 4π]. با π ≈ 3.14، صورت برابر 750.96 و مخرج برابر 131.44 است؛ بنابراین x_cm ≈ 5.71 cm. پاسخ از x = 6 به سمت چپ رفته و از حفره سمت راست دور شده است، پس جهت نتیجه با انتظار فیزیکی سازگار است.
برای شکل مرکبِ افزایشی، همه مساحتها را مثبت بگیر
اگر شکل از کنار هم قرارگرفتن چند قطعه ساخته شده باشد، همه اجزای موجود علامت مثبت دارند. برای نمونه، یک صفحه L شکل را میتوان به دو مستطیل بدون همپوشانی تقسیم کرد و مرکز هر مستطیل را وارد میانگین وزنی کرد. راه دیگر، دیدن آن بهصورت یک مستطیل بزرگ منهای مستطیل گوشه است؛ هر دو روش باید یک پاسخ بدهند.
در روش جمع اجزا مراقب همپوشانی باش. اگر ناحیهای را در دو مستطیل شمردهای، جرم آن ناحیه دوبار وارد شده است. اجزا را طوری انتخاب کن که روی هم نیفتند، یا همپوشانی را یک بار با علامت منفی کم کن. معمولاً روشی که تعداد اجزای کمتری دارد، احتمال خطای محاسباتی را کاهش میدهد.
مسئله را با یک جدول چهارستونی حل کن
برای هر جزء چهار داده بنویس: نام شکل، مساحت علامتدار Aᵢ، مختصات xᵢ و مختصات yᵢ. سپس دو ستون Aᵢxᵢ و Aᵢyᵢ را حساب کن. مجموع ستون اولِ مساحت، مساحت واقعی باقیمانده است و تقسیم مجموع گشتاورهای مساحتی بر آن، مختصات مرکز جرم را میدهد.
این نظم بهویژه وقتی شکل سه یا چهار جزء دارد مفید است. قبل از عددگذاری نیز از تقارن استفاده کن: اگر صفحه نسبت به یک محور متقارن باشد، مرکز جرم روی همان محور قرار میگیرد و یکی از مختصاتها از ابتدا معلوم است. برای تمرین معنای میانگین وزنی در دستگاههای گسسته، راهنمای مرکز جرم چندذرهای را بخوان.
- ۱. انتخاب مبدأ و رسم محورهای مختصات
- ۲. تقسیم صفحه به شکلهای ساده و بدون همپوشانی
- ۳. منفیکردن مساحت بخشهای بریدهشده
- ۴. محاسبه ΣAᵢ، ΣAᵢxᵢ و ΣAᵢyᵢ
- ۵. کنترل پاسخ با تقارن و جهت جابهجایی
خطاهای رایج و کنترل نهایی را بشناس
خطای رایج اول، منفیکردن مختصات حفره بهجای مساحت آن است. مختصات فقط به انتخاب محور بستگی دارد؛ این جرم یا مساحت حفره است که با علامت منفی وارد میشود. خطای دوم، استفاده از مرکز مستطیل بزرگ برای جزء کوچکی است که از آن بریده شده. خطای سوم نیز جمعکردن مساحت حفره در مخرج بهجای کمکردن آن است.
در پایان بررسی کن که A − a مثبت باشد، مختصاتها همگی از یک مبدأ اندازهگیری شده باشند و پاسخ به سمت ناحیه دارای ماده بیشتر متمایل شده باشد. مرکز جرم لازم نیست همیشه داخل ماده قرار گیرد؛ برای نمونه، مرکز جرم یک حلقه یکنواخت در فضای خالی وسط آن است. پس بهجای شرط «داخل ورقه»، از تقارن و میانگین وزنی برای سنجش معقولبودن جواب استفاده کن.
برای یافتن مرکز جرم صفحه مرکب، یک مبدأ ساده انتخاب کن، مرکز هندسی و مساحت علامتدار هر جزء را در جدول بنویس و میانگین وزنی مختصات را بگیر. قسمت افزوده مساحت مثبت و حفره مساحت منفی دارد. روش مساحت فقط برای ورقههای همجنس و همضخامت معتبر است. در پایان، تقارن، جهت جابهجایی مرکز جرم، قرارگرفتن پاسخ در سمت بخش سنگینتر و مثبتبودن مساحت کل باقیمانده را کنترل کن.