مرکز جرم، میانگین وزنی مکان اجزای یک دستگاه است؛ یعنی جسم سنگینتر سهم بیشتری در تعیین جای آن دارد. روی محور x، مکان مرکز جرم از xCM = (m₁x₁ + m₂x₂ + …)/(m₁ + m₂ + …) به دست میآید. اگر برآیند نیروی خارجی در یک راستا صفر باشد، مکان مرکز جرم در همان راستا ثابت میماند؛ پس هنگام جابهجایی داخلی اجزا میتوان تغییر صورت کسر را صفر قرار داد: ΣmiΔxi = 0. این دو رابطه، هسته حل مسئلههای مرکز جرم در فیزیک دبیرستاناند.
مرکز جرم را یک میانگین وزنی ببین
برای ذرههایی روی یک خط، xCM = Σmixi/Σmi است. مختصات xi را از یک مبدأ مشترک و با علامت مینویسیم؛ جرمها همیشه مثبتاند. اگر دو جسم در x₁ و x₂ باشند، مرکز جرم میان آن دو قرار میگیرد و به جسم سنگینتر نزدیکتر است. میانگین ساده (x₁ + x₂)/2 فقط وقتی درست است که جرمها برابر باشند.
انتخاب مبدأ دلخواه است و نتیجه فیزیکی را عوض نمیکند. مبدأیی انتخاب کن که مختصاتها کوتاه شوند؛ مثلاً محل جسم اول را صفر بگیر. اگر مبدأ را جابهجا کنی، عدد مختصات مرکز جرم نیز به همان اندازه تغییر میکند، اما فاصله آن تا اجزای دستگاه ثابت میماند.
- صورت کسر: مجموع جرم × مختصات هر جزء.
- مخرج: جرم کل دستگاه.
- واحد پاسخ همان واحد مختصات، مانند متر یا سانتیمتر، است.
مسئله مکان مرکز جرم را در پنج گام حل کن
یک: اجزای متعلق به دستگاه را مشخص کن. دو: یک محور و مبدأ رسم کن. سه: جدول کوچکی از mi، xi و mixi بساز. چهار: مجموع ستون mixi را بر جرم کل تقسیم کن. پنج: بررسی کن پاسخ میان کمترین و بیشترین مختصات و نزدیکتر به جرم بزرگتر باشد.
اگر جسم گسترده یکنواختی مانند میله در مسئله است، میتوان جرم آن را برای محاسبه مرکز جرم دستگاه در مرکز هندسی خودش متمرکز در نظر گرفت. برای جسم غیریکنواخت، محل مرکز جرم باید از صورت سؤال یا اطلاعات توزیع جرم به دست آید؛ قرار دادن خودکار آن در مرکز هندسی مجاز نیست.
مثال حلشده: مرکز جرم سه جسم روی یک محور
سه جسم با جرمهای ۲، ۳ و ۵ کیلوگرم بهترتیب در مختصات x = −2 m، x = 1 m و x = 4 m قرار دارند. مکان مرکز جرم را پیدا کن.
جرم کل 10 kg است. صورت میانگین وزنی برابر 2(−2) + 3(1) + 5(4) = 19 kg·m میشود؛ بنابراین xCM = 19/10 = 1.9 m. پاسخ میان −2 و 4 متر است و به جسم ۵ کیلوگرمی در 4 متر تمایل دارد، پس کنترل کیفی نیز تأییدش میکند.
اگر بهاشتباه میانگین ساده مختصاتها را بگیریم، جواب 1 m میشود و تفاوت جرمها نادیده میماند. نوشتن جدول جرم و مختصات جلوی همین خطای رایج را میگیرد.
در صفحه، مؤلفههای مرکز جرم را جدا حساب کن
برای اجزای واقع در صفحه، دو میانگین مستقل مینویسیم: xCM = Σmixi/Σmi و yCM = Σmiyi/Σmi. جرم کل در هر دو مخرج یکسان است. پس لازم نیست ابتدا فاصله یا زاویه هر جزء تا مبدأ را پیدا کنی؛ مؤلفههای مختصات مستقیم وارد رابطه میشوند.
تقارن محاسبه را کوتاه میکند. اگر توزیع جرم نسبت به محور y متقارن باشد، xCM روی همان محور است. اگر دو جرم برابر در مختصاتهای متقارن +a و −a قرار داشته باشند، سهم آنها در صورت کسر x یکدیگر را خنثی میکند. پیش از محاسبه عددی، محورهای تقارن را بررسی کن.
ثابتماندن مرکز جرم را فقط با شرط نیروی خارجی به کار ببر
حرکت اجزای داخل دستگاه بهتنهایی نمیتواند حرکت مرکز جرم را تغییر دهد. در راستایی که برآیند نیروی خارجی صفر است، سرعت مرکز جرم ثابت میماند. اگر دستگاه در آغاز ساکن باشد، مکان مرکز جرم نیز در آن راستا ثابت میماند و از ΣmiΔxi = 0 استفاده میکنیم.
این شرط را بدون بررسی نیروها ننویس. برای فرد و قایق شناور، نیروهای خارجی افقی در مدل آرمانی ناچیزند، اما وزن و نیروی شناوری عمودیاند؛ بنابراین فقط مختصه افقی مرکز جرم ثابت میماند. روی سطح زبر، اصطکاک خارجی افقی میتواند این استدلال ساده را نامعتبر کند.
- دستگاه را طوری انتخاب کن که جابهجاییها داخلی باشند.
- مؤلفه برآیند نیروی خارجی را در راستای حل بررسی کن.
- جابهجایی هر جزء را نسبت به یک چارچوب مشترک، معمولاً زمین، بنویس.
مثال حلشده: حرکت فرد روی قایق بدون نیروی افقی خارجی
فردی ۶۰ کیلوگرمی روی قایقی ۱۲۰ کیلوگرمی و به طول ۳ متر از یک سر قایق به سر دیگر میرود. مقاومت افقی آب را ناچیز بگیر. قایق نسبت به ساحل چه مقدار و در چه جهتی جابهجا میشود؟
جهت حرکت فرد روی قایق را مثبت و جابهجایی قایق نسبت به ساحل را X میگیریم. چون قایق هنگام راهرفتن فرد حرکت میکند، جابهجایی فرد نسبت به ساحل 3 + X است، نه 3 متر. ثابتماندن مرکز جرم میدهد 60(3 + X) + 120X = 0. از این رابطه X = −1 m به دست میآید؛ قایق یک متر خلاف جهت حرکت فرد جابهجا میشود.
فرد نسبت به ساحل 2 متر جابهجا شده است. کنترل رابطه 60(2) + 120(−1) = 0 نشان میدهد تغییر صورت میانگین وزنی صفر است. سنگینتر بودن قایق نیز با کوچکتر بودن اندازه جابهجایی آن سازگار است.
مرکز جرم را با نقطه تعادل یا مرکز هندسی یکی نگیر
مرکز هندسی فقط به شکل وابسته است، اما مرکز جرم به توزیع جرم بستگی دارد. برای جسم یکنواخت و متقارن این دو ممکن است منطبق باشند؛ افزودن یک جرم به یک سمت، مرکز جرم دستگاه را به همان سمت میکشد. مرکز جرم حتی میتواند در نقطهای خالی از ماده باشد، مانند مرکز یک حلقه یکنواخت.
در میدان گرانشی تقریباً یکنواخت نزدیک سطح زمین، وزن کل جسم را میتوان در مرکز جرم اثر داد؛ به همین دلیل محل مرکز جرم در مسئلههای گشتاور و تعادل مهم است. بااینحال، یافتن مرکز جرم و نوشتن شرط تعادل گشتاور دو مرحله جدا هستند. مقاله گشتاور و تعادل میله مسیر مرحله دوم را توضیح میدهد.
پنج خطای رایج مرکز جرم را پیش از پاسخ کنترل کن
خطاهای رایج عبارتاند از میانگینگیری بدون وزن جرم، حذف علامت مختصات منفی، استفاده از چند مبدأ متفاوت، سنجیدن حرکت فرد نسبت به قایق در حالی که رابطه به جابهجایی نسبت به زمین نیاز دارد و ثابت فرضکردن مرکز جرم با وجود نیروی خارجی در راستای حرکت.
در پایان سه کنترل انجام بده: xCM باید در بازه مختصات اجزا باشد، با افزایش یک جرم به محل همان جرم نزدیکتر شود و واحد طول داشته باشد. در مسئله جابهجایی داخلی نیز مجموع ΣmiΔxi باید صفر شود و اجزای دستگاه معمولاً در جهتهای مخالف جابهجا شوند. مبنای روابط مرکز جرم و حرکت دستگاه در منابع علمی انتهای مقاله آمده است؛ برای تحلیل تغییر تکانه بر اثر نیروی خارجی نیز راهنمای تکانه، ضربه و برخورد را ادامه بده.
برای حل مرکز جرم، ابتدا دستگاه و مبدأ را مشخص کن، جرم و مختصات هر جزء را با علامت بنویس و سپس میانگین وزنی مکانها را بساز. جواب باید میان بیرونیترین اجزا و به جسم سنگینتر نزدیکتر باشد. در مسئله جابهجایی داخلی، فقط وقتی مؤلفه نیروی خارجی در راستای موردنظر صفر است از ΣmiΔxi = 0 استفاده کن؛ جابهجاییها را نسبت به زمین بسنج و حرکت قایق یا واگن را در مکان نهایی فرد وارد کن. تقارن، بازه جواب و واحد طول سه کنترل سریع پایان حلاند.