در منشوری با زاویه رأس A، اگر زاویه تابش و خروج را i و e و زاویههای شکست داخل منشور را r₁ و r₂ بگیریم، هندسه پرتو میدهد r₁ + r₂ = A و زاویه انحراف برابر δ = i + e − A است. در حالت کمینه انحراف، مسیر داخل منشور متقارن میشود؛ پس i = e و r₁ = r₂ = A/2. برای منشوری در هوا، قانون اسنل نتیجه میدهد n = sin[(A + δ_min)/2] / sin(A/2). این رابطه فقط برای کمینه انحراف است؛ در حالت عمومی باید قانون اسنل را در هر دو سطح جدا بنویسی.
زاویههای منشور و انحراف را روی شکل نامگذاری کن
زاویه رأس A زاویه میان دو سطح شکست منشور است. در سطح نخست، i زاویه پرتو تابشی با خط عمود و r₁ زاویه پرتو شکسته با همان خط عمود است. در سطح دوم، r₂ زاویه داخلی با عمود دوم و e زاویه پرتو خروجی با آن عمود است. همه این زاویهها از خط عمود سنجیده میشوند، نه از سطح منشور.
زاویه انحراف δ زاویه میان امتداد جهت اولیه پرتو و جهت نهایی پرتو خروجی است. اگر پرتو در سطح اول به اندازه i − r₁ و در سطح دوم به اندازه e − r₂ منحرف شود، مجموع آنها δ = i + e − (r₁ + r₂) خواهد بود. هندسه مثلث داخل منشور نیز r₁ + r₂ = A را میدهد؛ بنابراین δ = i + e − A.
- هندسه داخل منشور: r₁ + r₂ = A
- انحراف کل: δ = i + e − A
- همه زاویههای شکست و تابش از خط عمود خوانده میشوند.
حالت کمینه انحراف را از تقارن مسیر تشخیص بده
با تغییر زاویه ورود، زاویه انحراف ابتدا کاهش مییابد، به یک مقدار کمینه میرسد و سپس افزایش پیدا میکند. در نقطه کمینه، مسیر پرتو نسبت به نیمساز منشور متقارن است؛ یعنی زاویه ورود و خروج برابرند: i = e. زاویههای داخلی نیز برابر میشوند و چون مجموعشان A است، r₁ = r₂ = A/2.
از δ_min = i + e − A و i = e نتیجه میشود i = e = (A + δ_min)/2. این برابریها نشانه حالت ویژهاند. اگر سؤال فقط زاویه انحرافی دلخواه را بدهد و واژه کمینه یا تقارن مسیر را نگوید، نمیتوان بیدلیل i و e را برابر گرفت.
- در کمینه انحراف: i = e
- در کمینه انحراف: r₁ = r₂ = A/2
- زاویه ورود: i = (A + δ_min)/2
رابطه ضریب شکست را از قانون اسنل به دست آور
برای منشوری با ضریب شکست n که در هوا قرار دارد، قانون اسنل در سطح ورودی به صورت sin i = n sin r₁ نوشته میشود؛ ضریب شکست هوا را تقریباً یک گرفتهایم. در حالت کمینه، i = (A + δ_min)/2 و r₁ = A/2 است. با جایگذاری، رابطه n = sin[(A + δ_min)/2] / sin(A/2) به دست میآید.
اگر محیط بیرون ضریب شکست n₀ داشته باشد، شکل درست رابطه n/n₀ = sin[(A + δ_min)/2] / sin(A/2) است. پس فرمول رایج مستقیماً ضریب شکست نسبی منشور به محیط بیرون را میدهد؛ نوشتن آن برای منشور غوطهور در مایع بدون واردکردن n₀ درست نیست.
مثال حلشده: منشور ۶۰ درجه با انحراف کمینه ۴۰ درجه
پرتوی تکرنگ از منشوری در هوا با زاویه رأس A = 60° میگذرد و کمینه انحراف آن δ_min = 40° اندازهگیری میشود. ضریب شکست منشور و زاویههای ورود و شکست داخل منشور را پیدا کن.
در حالت کمینه، r₁ = r₂ = A/2 = 30° و i = e = (A + δ_min)/2 = (60° + 40°)/2 = 50° است. اکنون n = sin50°/sin30°؛ با sin50° ≈ 0.766 و sin30° = 0.5، ضریب شکست n ≈ 1.53 میشود.
کنترل هندسی: r₁ + r₂ = 30° + 30° = 60° و i + e − A = 50° + 50° − 60° = 40° است. ضریب شکست نیز بیواحد و بزرگتر از یک است؛ پس نتیجه با مدل منشور شیشهای در هوا سازگار است.
اگر ضریب شکست داده شد، انحراف کمینه را پیدا کن
گاهی A و n داده میشوند و δ_min مجهول است. رابطه را به شکل sin[(A + δ_min)/2] = n sin(A/2) بنویس. سپس ابتدا زاویه i = arcsin[n sin(A/2)] را به دست آور و در پایان از δ_min = 2i − A استفاده کن.
پیش از گرفتن وارون سینوس بررسی کن n sin(A/2) از یک بزرگتر نباشد. اگر بزرگتر از یک شد، دادهها با مسیر متقارنِ عبوری در این مدل سازگار نیستند. همچنین ماشینحساب باید در همان واحد زاویه صورت سؤال، معمولاً درجه، تنظیم شده باشد.
مسیر حل پنجگامی مسئله کمینه انحراف
یک: A و δ را از شکل جدا کن و زاویهها را نسبت به عمود نامگذاری کن. دو: بنویس r₁ + r₂ = A و δ = i + e − A. سه: فقط با وجود شرط کمینه، تقارن i = e و r₁ = r₂ را اعمال کن. چهار: قانون اسنل سطح نخست را بنویس و مجهول را حساب کن. پنج: پاسخ را با هندسه زاویهها، بازه سینوس و ضریب شکست نسبی کنترل کن.
اگر نور سفید باشد، ضریب شکست برای رنگها یکسان نیست و هر رنگ δ_min متفاوتی دارد؛ راهنمای پاشندگی منشور ترتیب این انحرافها را توضیح میدهد. برای مرور جهت شکست و تعریف زاویهها نیز مقاله قانون اسنل پیشنیاز مستقیم این محاسبه است.
سه دام رایج را پیش از انتخاب گزینه حذف کن
دام اول، یکیگرفتن زاویه رأس با زاویه میان خطهای عمود یا خواندن i از سطح منشور است. دام دوم، استفاده از رابطه کمینه برای هر مسیر عبوری است؛ تقارن فقط در نقطه کمینه برقرار است. دام سوم، جایگذاری درجه سلسیوسگونه یا عدد زاویه بدون تنظیم حالت درجه و رادیان ماشینحساب است.
در پایان به نوع ضریب شکست دقت کن: رابطه قانون اسنل نسبت ضریب شکست دو محیط را در خود دارد. اگر منشور در هوا نیست، ضریب محیط بیرون را حذف نکن. همچنین δ و A باید همواحد باشند و آرگومان تابع سینوس باید یک زاویه باشد، نه عددی با واحد طول یا ضریب شکست.
برای مسئله منشور ابتدا چهار زاویه i، e، r₁ و r₂ را نسبت به خطهای عمود مشخص کن. دو رابطه هندسی r₁ + r₂ = A و δ = i + e − A در حالت عمومی برقرارند. فقط وقتی صورت سؤال کمینه انحراف یا مسیر متقارن را بیان میکند، i = e و r₁ = r₂ = A/2 را به کار ببر؛ سپس برای منشور در هوا از n = sin[(A + δ_min)/2] / sin(A/2) استفاده کن. پاسخ را با n > 1، δ_min ≥ 0 و یکسانبودن واحد زاویهها کنترل کن.