پاسخ مستقیم این است: لختی دورانی فقط به جرم جسم وابسته نیست؛ توزیع جرم و محور دوران نیز آن را تعیین میکنند. برای انتقال لختی دورانی از محور گذرنده از مرکز جرم به محوری موازی با فاصله d، از I = I_cm + Md² استفاده کن. در جسم مرکب، لختی هر قطعه را ابتدا نسبت به همان محور نهایی به دست آور و سپس جمع بزن. بنابراین مهمترین کار در این سؤالها انتخاب یک محور مشترک و اندازهگیری عمودی فاصله مرکز جرم هر قطعه تا آن محور است.
لختی دورانی را همیشه همراه محور بنویس
تعریف ذرهای لختی دورانی I = Σmᵢrᵢ² است؛ rᵢ کوتاهترین فاصله هر جزء جرم تا محور دوران است. چون فاصله به توان دو میرسد، جابهجایی مقدار کمی جرم به ناحیه دورتر از محور میتواند I را بهطور محسوسی زیاد کند. یکای SI لختی دورانی kg·m² است.
یک میله یکنواخت با جرم M و طول L درباره محور عمود بر میله و گذرنده از مرکز، I_cm = ML²/12 دارد؛ همان میله درباره محور عمود بر میله و گذرنده از انتها، I = ML²/3 دارد. جسم تغییر نکرده است، اما فاصله اجزای آن از محور عوض شده؛ پس نوشتن «لختی میله» بدون مشخصکردن محور، اطلاعات کافی نمیدهد.
- میله نازک حول مرکز: I = ML²/12
- دیسک توپر حول محور مرکزی: I = MR²/2
- حلقه نازک حول محور مرکزی: I = MR²
- جرم نقطهای در فاصله r: I = mr²
قضیه محورهای موازی دقیقاً چه زمانی کاربرد دارد؟
اگر I_cm جسم را درباره محوری گذرنده از مرکز جرم بدانیم، لختی آن درباره محور دیگری که با محور اول موازی و به فاصله عمودی d از آن قرار دارد برابر I = I_cm + Md² است. M جرم کل همان جسمی است که I_cm برای آن نوشته شده، نه جرم کل دستگاه مرکب.
این رابطه جهت انتقال را نیز روشن میکند: از محور مرکز جرم به محور موازی دیگر میرویم و جمله Md² را اضافه میکنیم. نمیتوان هر دو محور دلخواه را مستقیماً با این فرمول به هم مرتبط کرد، مگر یکی از آنها از مرکز جرم همان قطعه بگذرد. دو محور نیز باید موازی باشند؛ برای محورهای متقاطع یا کج، این قضیه به این شکل معتبر نیست.
- محور شناختهشده باید از مرکز جرم قطعه بگذرد.
- محور مقصد باید با آن موازی باشد.
- d فاصله عمودی دو محور است.
- در انتقال به بیرون از مرکز جرم، I هرگز کم نمیشود.
مسئله را با جدول سهستونی حل کن
یک: محور نهایی دوران را روی شکل پررنگ کن. دو: جسم مرکب را به قطعههای ساده مانند میله، دیسک و جرم نقطهای تقسیم کن. سه: برای هر قطعه سه داده بنویس: I_cm، جرم M و فاصله d مرکز جرم آن تا محور نهایی. چهار: برای هر قطعه I_axis = I_cm + Md² را بساز؛ اگر محور نهایی از مرکز جرم همان قطعه میگذرد، d = 0 است. پنج: همه I_axisها را جمع و یکا را کنترل کن.
جدول جلوی دو خطای رایج را میگیرد: استفاده از یک فاصله برای همه قطعهها و جمعکردن لختیهایی که نسبت به محورهای متفاوت نوشته شدهاند. اگر قطعهای در مدل جرم نقطهای است، I_cm آن حول محوری از خود نقطه صفر است و سهمش مستقیماً Md² خواهد بود.
مثال حلشده: میله و دیسک حول انتهای میله
میلهای یکنواخت با جرم 2 kg و طول 1 m از یک انتها به محوری عمود بر صفحه وصل است. دیسکی توپر با جرم 3 kg و شعاع 0.20 m طوری به انتهای دیگر میله متصل شده که مرکز دیسک در فاصله 1 m از محور قرار دارد و محور مرکزی دیسک با محور دوران موازی است. لختی دورانی دستگاه را بیاب.
برای میله میتوان مستقیم از رابطه محور انتهایی استفاده کرد: I_rod = ML²/3 = 2×1²/3 = 0.667 kg·m². برای دیسک ابتدا I_cm = MR²/2 = 3×0.20²/2 = 0.060 kg·m² است. فاصله مرکز دیسک تا محور نهایی d = 1 m است؛ پس I_disk = 0.060 + 3×1² = 3.060 kg·m².
اکنون هر دو مقدار نسبت به یک محور نوشته شدهاند، بنابراین I_total = 0.667 + 3.060 = 3.727 kg·m². اگر دیسک را بیدلیل جرم نقطهای فرض میکردیم، سهم 0.060 مربوط به چرخش جرم توزیعشده دیسک حول مرکز خودش حذف میشد؛ این تقریب تنها وقتی مجاز است که صورت سؤال اندازه جسم را ناچیز بداند.
لختی دورانی چگونه وارد انرژی و شتاب زاویهای میشود؟
برای جسم صلبی که با سرعت زاویهای ω حول محور ثابت میچرخد، انرژی جنبشی دورانی K = ½Iω² است. اگر دو جسم ω یکسان داشته باشند، جسم با I بزرگتر انرژی دورانی بیشتری دارد. اما هنگام مقایسه انرژی باید مشخص باشد ω ثابت نگه داشته شده یا تکانه زاویهای؛ تغییر شرط میتواند نتیجه مقایسه را عوض کند.
در دینامیک دورانی حول محور ثابت، τ_net = Iα است. برای گشتاور برآیند یکسان، افزایش I اندازه شتاب زاویهای α را کم میکند. پس انتقال جرم به فاصله دورتر از محور، هم انرژی لازم برای رسیدن به ω معین را بیشتر میکند و هم پاسخ جسم به گشتاور معین را کندتر میسازد.
بدون محاسبه طولانی، گزینهها را مقایسه کن
اگر جرم و شکل ثابت باشند و فقط محور موازی جابهجا شود، محوری که به مرکز جرم نزدیکتر است I کمتری دارد. اختلاف لختی دو محور موازی با فاصلههای d₁ و d₂ از محور مرکزی برابر M(d₂² − d₁²) است؛ بنابراین مقایسه فاصلهها باید پس از مجذورکردن انجام شود.
برای نمونه، انتقال محور یک جسم 2 kg از فاصله 0.10 m به 0.30 m از محور مرکزی، لختی را به اندازه 2×(0.30²−0.10²) = 0.16 kg·m² زیاد میکند. سهبرابرشدن فاصله به معنی سهبرابرشدن جمله انتقال نیست؛ چون d² در رابطه حضور دارد.
دامهای رایج قضیه محورهای موازی را کنترل کن
فاصله d از مرکز جرم تا محور است، نه فاصله لبه جسم تا محور. برای دیسکی که کنار انتهای میله قرار دارد، شکل اتصال تعیین میکند فاصله مرکز دیسک L است یا L+R؛ متن و شکل را با هم بخوان. همچنین شعاع دیسک را نباید بهطور خودکار با d جمع کرد، مگر هندسه واقعاً چنین فاصلهای بدهد.
در جسم مرکب، هر قطعه مرکز جرم و جرم خودش را دارد. ابتدا سهم هر قطعه را به محور مشترک منتقل کن و بعد جمع بزن. برای ادامه، مقاله تکانه زاویهای ارتباط I با L = Iω را بررسی میکند؛ راهنمای گشتاور برای ساخت τ_net و مقاله غلتش بدون لغزش برای کاربرد همزمان انرژی انتقالی و دورانی مفیدند.
در محاسبه لختی دورانی، نام جسم بهتنهایی کافی نیست و محور باید مشخص باشد. برای هر قطعه، فرمول مرکزی مناسب را انتخاب کن؛ اگر محور نهایی موازی و جابهجا است، I = I_cm + Md² را به کار ببر و در پایان لختی همه قطعهها را درباره همان محور جمع کن. جمله Md² همیشه نامنفی است، پس انتقال از محور مرکز جرم به هر محور موازی دیگر لختی را افزایش میدهد. کنترل یکای kg·m²، فاصله عمودی محورها و مقایسه با حالت مرکزی، سه آزمون سریع جواباند.