برای محاسبه اتلاف انرژی جنبشی در برخورد ناکشسان، ابتدا با پایستگی تکانه سرعت یا سرعت‌های بلافاصله پس از برخورد را پیدا کن؛ سپس انرژی جنبشی کل پیش از ضربه Ki و پس از آن Kf را جداگانه بساز و مقدار اتلاف را از Eloss = Ki − Kf به دست آور. در برخورد کاملاً ناکشسان دو جسم به هم می‌چسبند و سرعت مشترک دارند، اما انرژی کل از بین نمی‌رود؛ فقط بخشی از انرژی جنبشی به تغییر شکل، گرما و صدا تبدیل می‌شود. این روش وقتی معتبر است که ضربه خارجی در راستای بررسی طی زمان کوتاه برخورد ناچیز باشد.
اتلاف انرژی جنبشی در برخورد ناکشسان را در سه مرحله حساب کن
مرحله اول، دستگاه را شامل هر دو جسم انتخاب و یک جهت مثبت تعیین کن. اگر ضربه خارجی در راستای برخورد ناچیز باشد، m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ برقرار است. در برخورد کاملاً ناکشسان که دو جسم به هم می‌چسبند، v₁ = v₂ = V و سرعت مشترک از V = (m₁u₁ + m₂u₂)/(m₁ + m₂) به دست می‌آید.
مرحله دوم، انرژی جنبشی کل را در دو لحظه بسیار نزدیک به ضربه حساب کن: Ki = ½m₁u₁² + ½m₂u₂² و Kf = ½m₁v₁² + ½m₂v₂². مرحله سوم، مقدار تبدیل‌شده از انرژی جنبشی را مثبت تعریف کن: Eloss = Ki − Kf. اگر به‌جای مقدار اتلاف، تغییر انرژی جنبشی خواسته شده باشد، ΔK = Kf − Ki = −Eloss است؛ این دو را از نظر علامت یکی نگیر.
- تکانه: سرعت‌ها را با علامت وارد کن.
- انرژی جنبشی: مربع سرعت‌ها را به‌کار ببر.
- مقدار اتلاف: Ki − Kf و با واحد ژول
بدان چرا تکانه پایسته است اما انرژی جنبشی نه
در بازه کوتاه برخورد، نیروهای بسیار بزرگ میان دو جسم داخلی‌اند و ضربه‌هایشان بر کل دستگاه یکدیگر را خنثی می‌کنند. اگر ضربه خارجی افقی ناچیز باشد، تکانه افقی کل ثابت می‌ماند. وزن و نیروی عمودی روی سطح افقی وجود دارند، اما ضربه افقی ایجاد نمی‌کنند؛ بنابراین مانع پایستگی تکانه افقی نیستند.
انرژی کل همچنان پایسته است، ولی انرژی جنبشی می‌تواند به انرژی درونی، تغییر شکل و صدا تبدیل شود. OpenStax نیز برای برخورد ناکشسان ابتدا سرعت نهایی را از تکانه به دست می‌آورد و سپس انرژی جنبشی پیش و پس از برخورد را مقایسه می‌کند. پس نوشتن Ki = Kf در برخورد ناکشسان، قانون پایستگی انرژی نیست؛ حذف شکل‌های دیگر انرژی از حساب است.
مثال حل‌شده: دو واگن روبه‌رو و چسبنده
واگن اول با جرم ۲ کیلوگرم و سرعت ۶ متر بر ثانیه به راست حرکت می‌کند. واگن دوم با جرم ۳ کیلوگرم و سرعت ۲ متر بر ثانیه به چپ می‌آید. دو واگن پس از برخورد به هم می‌چسبند. سرعت مشترک و انرژی جنبشی تبدیل‌شده در ضربه را پیدا کن. راست را مثبت می‌گیریم؛ بنابراین u₁ = +6 m/s و u₂ = −2 m/s است.
از پایستگی تکانه داریم 2×6 + 3×(−2) = (2+3)V. تکانه آغازین 6 kg·m/s و در نتیجه V = 6/5 = 1.2 m/s است. علامت مثبت نشان می‌دهد مجموعه پس از برخورد به راست حرکت می‌کند. این سرعت میان دو سرعت آغازین −۲ و +۶ قرار دارد و از نظر جهت با تکانه کل سازگار است.
انرژی آغازین Ki = ½×2×6² + ½×3×(−2)² = 36 + 6 = 42 J است. انرژی پایانی Kf = ½×5×1.2² = 3.6 J می‌شود. بنابراین Eloss = 42 − 3.6 = 38.4 J و ΔK = −38.4 J است. مربع سرعت دوم مثبت است؛ منفی‌بودن جهت آن نباید انرژی جنبشی منفی بسازد.
میان‌بُر جرم کاهیده را برای برخورد چسبنده کنترل کن
برای برخورد کاملاً ناکشسان یک‌بعدی می‌توان پس از حذف سرعت مشترک نوشت Eloss = ½μ(u₁ − u₂)² که در آن μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) جرم کاهیده است. این رابطه نشان می‌دهد اتلاف به سرعت نسبی نزدیک‌شدن وابسته است، نه به سرعت دستگاه نسبت به زمین. سرعت‌ها در u₁ − u₂ همچنان علامت‌دارند.
در مثال بالا μ = (2×3)/(2+3) = 1.2 kg و u₁ − u₂ = 6 − (−2) = 8 m/s است. پس Eloss = ½×1.2×8² = 38.4 J؛ همان نتیجه روش مستقیم. این میان‌بُر فقط برای چسبیدن دو جسم و با فرض پایستگی تکانه در راستای برخورد به کار می‌رود؛ در برخورد ناکشسانی که اجسام جدا می‌شوند، بدون دانستن سرعت‌های نهایی یا ضریب بازگشت کافی نیست.
اگر ضریب بازگشت داده شد، اتلاف را چگونه پیدا کنی؟
وقتی اجسام پس از برخورد جدا می‌شوند، پایستگی تکانه تنها یک معادله برای دو سرعت نهایی می‌دهد. اگر ضریب بازگشت e داده شده باشد، رابطه v₂ − v₁ = e(u₁ − u₂) معادله دوم است. پس از حل دو سرعت، Kf را از مجموع ½mv²ها حساب و از Ki کم کن.
برای برخورد مستقیم دو جسم و در همان فرض دستگاه بسته، نتیجه فشرده Eloss = ½μ(1 − e²)(u₁ − u₂)² است. با e = 1 اتلاف صفر و برخورد کشسان می‌شود؛ با e = 0، دو سرعت نهایی برابر و رابطه به حالت کاملاً ناکشسان برمی‌گردد. اگر سؤال فقط e را می‌خواهد، راهنمای ضریب بازگشت مسیر اصلی است؛ صفحه حاضر روی مقدار انرژی جنبشی تبدیل‌شده تمرکز دارد.
چک‌لیست علامت، زمان و دستگاه را اجرا کن
سرعت‌های خلاف محور را در معادله تکانه منفی وارد کن، اما در انرژی جنبشی آن‌ها را به توان دو برسان. انرژی را درست پیش و درست پس از ضربه مقایسه کن؛ اگر جسم بعد از برخورد روی سطح زبر می‌لغزد و می‌ایستد، کاهش بعدی انرژی بر اثر اصطکاک جدا از اتلاف خود برخورد است. مرز دستگاه نیز باید در هر دو لحظه یکسان باشد.
پاسخ Eloss باید واحد ژول و برای یک برخورد ناکشسان معمولی نامنفی باشد. همچنین Kf نباید از Ki بیشتر شود مگر اینکه منبع انرژی ذخیره‌شده‌ای مانند فنر یا انفجار در فرایند آزاد شود. برای کنترل نهایی، تکانه پیش و پس را جداگانه برابر کن و مطمئن شو انرژی پایانی را برای مجموع هر دو جسم نوشته‌ای، نه فقط یکی از آن‌ها.
- آیا سرعت‌های تکانه علامت‌دارند؟
- آیا Ki و Kf برای کل دستگاه‌اند؟
- آیا دو لحظه به خود برخورد چسبیده‌اند؟
- آیا Eloss و ΔK علامت مخالف دارند؟
- آیا جواب بر حسب ژول و با حالت حدی سازگار است؟
در محاسبه اتلاف انرژی جنبشی در برخورد ناکشسان، تکانه را برای یافتن حرکت پس از ضربه پایسته بگیر، نه انرژی جنبشی را. انرژی‌های Ki و Kf را برای کل دستگاه و در دو لحظه چسبیده به برخورد حساب کن و Eloss = Ki − Kf را مثبت گزارش بده. در مثال دو واگن، سرعت مشترک ۱٫۲ متر بر ثانیه و اتلاف ۳۸٫۴ ژول شد؛ فرمول جرم کاهیده نیز همان پاسخ را داد. اگر اجسام نچسبند، نخست سرعت‌های نهایی را از تکانه و داده مستقل مانند ضریب بازگشت پیدا کن و بعد اختلاف انرژی‌ها را بسنج.