برای جابهجا کردن جسم روی سطح افقی زبر، کشیدن با نیروی مایل معمولاً از هلدادن آسانتر است: مؤلفه روبهبالای نیروی کشش، نیروی عمودی سطح N و در نتیجه اصطکاک μN را کم میکند؛ مؤلفه روبهپایین نیروی هلدادن برعکس عمل میکند. اگر نیروی F با افق زاویه θ بسازد و جسم در آستانه حرکت باشد، برای کشیدن F = μs mg/(cosθ + μs sinθ) و برای هلدادن F = μs mg/(cosθ − μs sinθ) است. این رابطهها را فقط پس از رسم نیروها به کار ببر؛ علامت مؤلفه قائم، پاسخ را تعیین میکند.
نمودار جسم آزاد را برای کشیدن و هلدادن جدا بکش
جسمی به جرم m روی سطح افقی در نظر بگیر. وزن mg رو به پایین، نیروی عمودی سطح N رو به بالا و اصطکاک خلاف حرکت یا تمایل به حرکت است. نیروی F را به دو مؤلفه F cosθ در راستای افق و F sinθ در راستای قائم تجزیه کن؛ θ زاویه نیرو با افق است.
در کشیدن، مؤلفه قائم F رو به بالاست و بخشی از وزن را خنثی میکند. در هلدادن مایل به پایین، همان مؤلفه به وزن اضافه میشود. جسم در راستای قائم شتاب ندارد، اما این به معنای N = mg نیست؛ نیروی مایل نیز در معادله قائم حضور دارد.
- کشیدن: N = mg − F sinθ
- هلدادن: N = mg + F sinθ
- مؤلفه پیشبرنده در هر دو حالت: F cosθ
نوع اصطکاک را از وضعیت حرکت انتخاب کن
اگر جسم هنوز ساکن است، اصطکاک ایستایی خود را با نیروی افقی تطبیق میدهد و الزاماً برابر μsN نیست. فقط در آستانه لغزش میتوان fs,max = μsN نوشت. اگر جسم روی سطح میلغزد، در مدل کتاب درسی اندازه اصطکاک جنبشی fk = μkN است.
پس عبارتهای «در آستانه حرکت» و «با سرعت ثابت در حال لغزش» یک معادله یکسان ندارند: در اولی ضریب ایستایی وارد میشود؛ در دومی ضریب جنبشی و شتاب صفر است. اگر شتاب a داده شده باشد، معادله افقی باید به جای صفر برابر ma شود.
نیروی لازم برای کشیدن جسم را مرحلهبهمرحله به دست آور
در آستانه حرکت به راست، معادله افقی F cosθ = μsN است. از تعادل قائم N = mg − F sinθ را جایگذاری کن: F cosθ = μs(mg − F sinθ). جملههای شامل F را در یک طرف جمع کن تا F(cosθ + μs sinθ) = μs mg به دست آید.
بنابراین نیروی کشش لازم برابر Fpull = μs mg/(cosθ + μs sinθ) است. توجه کن که کاهش N همیشه به معنای کاهش نیروی کل نیست؛ با زیادشدن زاویه، مؤلفه افقی F cosθ نیز کوچک میشود. زاویه بهینه نتیجه رقابت همین دو اثر است.
- تعادل قائم: N + F sinθ = mg
- آستانه افقی: F cosθ = μsN
- نتیجه: Fpull = μs mg/(cosθ + μs sinθ)
در حالت هلدادن، علامت مؤلفه قائم را عوض کن
برای نیرویی که با زاویه θ به سمت پایین وارد میشود، N = mg + F sinθ است. در آستانه حرکت، F cosθ = μs(mg + F sinθ) و پس از مرتبکردن داریم F(cosθ − μs sinθ) = μs mg.
پس Fpush = μs mg/(cosθ − μs sinθ). مخرج این کسر از مخرج حالت کشیدن کوچکتر است؛ بنابراین برای جرم، ضریب اصطکاک و زاویه یکسان، هلدادن نیروی بیشتری میخواهد. اگر cosθ − μs sinθ صفر یا منفی شود، این مدل نیروی متناهی برای آغاز حرکت افقی پیشبینی نمیکند؛ فشار روبهپایین اصطکاک را سریعتر از اثر پیشبرنده زیاد میکند.
مثال حلشده: مقایسه نیروی کشیدن و هلدادن
جعبهای 10 kg روی سطح افقی با ضریب اصطکاک ایستایی 0.25 قرار دارد. نیرو با زاویه 30° نسبت به افق وارد میشود. با g = 10 m/s²، کمترین نیروی لازم برای شروع حرکت را در دو حالت کشیدن روبهبالا و هلدادن روبهپایین پیدا کن.
برای کشیدن، F = 0.25×10×10/(cos30° + 0.25 sin30°) = 25/(0.866 + 0.125) ≈ 25.2 N. نیروی عمودی سطح نیز N = 100 − 25.2×0.5 ≈ 87.4 N است.
برای هلدادن، F = 25/(0.866 − 0.125) ≈ 33.7 N و N = 100 + 33.7×0.5 ≈ 116.9 N میشود. پس در این شرایط هلدادن حدود 8.5 نیوتون نیروی بیشتری میخواهد؛ علت، افزایش نیروی عمودی سطح و اصطکاک است.
زاویه بهینه کشیدن را بدون حفظکردن پیدا کن
برای کمینهشدن Fpull باید مخرج cosθ + μs sinθ بیشینه شود. این عبارت را میتوان به صورت √(1 + μs²) cos(θ − φ) نوشت که tanφ = μs است. کسینوس در صفر بیشینه میشود؛ پس زاویه بهینه از tanθopt = μs به دست میآید.
در همان زاویه، کمترین نیروی کشش Fmin = μs mg/√(1 + μs²) است. زاویه بهینه به جرم وابسته نیست، اما مقدار نیرو با mg متناسب است. این نتیجه برای طنابی است که جسم را از سطح جدا نمیکند؛ باید پس از محاسبه، N ≥ 0 را کنترل کنی.
- شرط زاویه بهینه: tanθopt = μs
- کمترین نیرو: Fmin = μs mg/√(1 + μs²)
- کنترل تماس با سطح: N ≥ 0
مسیر حل و خطاهای رایج را یکجا مرور کن
یک: جهت حرکت محتمل را تعیین کن تا جهت اصطکاک روشن شود. دو: F را نسبت به افق تجزیه کن. سه: از معادله قائم N را بساز. چهار: با توجه به سکون، آستانه یا لغزش، رابطه درست اصطکاک را انتخاب کن. پنج: معادله افقی را برابر صفر یا ma قرار بده و در پایان N و واحد نیرو را کنترل کن.
سه خطای پرتکرار عبارتاند از ثابتگرفتن N = mg، استفاده از μsN پیش از آستانه لغزش و یکساننوشتن علامت مؤلفه قائم در کشیدن و هلدادن. برای تمرین تشخیص نیروها، راهنمای نمودار جسم آزاد را بخوان؛ مقاله اصطکاک ایستایی و جنبشی انتخاب مدل اصطکاک و راهنمای تجزیه بردارها انتخاب سینوس و کسینوس را تکمیل میکنند.
در مسئله جسم روی سطح افقی زبر، ابتدا جهت مؤلفه قائم نیروی اعمالی را مشخص کن. هنگام کشیدن، N = mg − F sinθ و هنگام هلدادن، N = mg + F sinθ است؛ سپس اصطکاک را از fs,max = μsN برای آستانه حرکت یا fk = μkN برای حرکت لغزشی بساز. مؤلفه افقی F cosθ باید بر اصطکاک و هر شتاب خواستهشده غلبه کند. برای کشیدن در آستانه حرکت، کمترین نیرو در زاویهای رخ میدهد که tanθ = μs؛ اما این نتیجه به سطح افقی، تماس برقرار و مدل اصطکاک خشک وابسته است.