کشش سطحی و مویینگی؛ محاسبه نیروی سطح و ارتفاع مایع

کشش سطحی را نیروی وارد بر طول مرز ببین

مولکول‌های درون مایع از اطراف جذب می‌شوند، اما مولکول‌های سطح برآیند جذب نامتقارنی دارند؛ به همین دلیل سطح مایع تمایل دارد مساحت خود را کم کند. در مدل دبیرستانی، ضریب کشش سطحی γ اندازه نیروی وارد بر واحد طول مرز تماس است و واحد آن N/m نوشته می‌شود.

رابطه F = γL فقط وقتی درست استفاده می‌شود که L طول مؤثر خط تماس باشد. جهت نیرو در راستای سطح مایع و عمود بر خط تماس است. پس پیش از جای‌گذاری عدد، باید مرزی را که سطح مایع در امتداد آن جسم را می‌کشد روی شکل پررنگ کنی.

• γ ویژگی مایع و شرایط آن است؛ واحد رایج آن نیوتن بر متر است.
• L طول خط تماس است، نه مساحت سطح مایع.
• هر سطح آزادِ مؤثر سهم جداگانه‌ای در نیرو دارد.

تعداد سطح‌ها را در طول مؤثر حساب کن

اگر یک سیم مستقیم به طول ℓ فقط با یک سطح آزاد مایع در تماس مؤثر باشد، اندازه نیرو γℓ است. اما یک لایه نازک صابون دو رویه، یکی در جلو و دیگری در پشت، دارد؛ هر دو رویه سیم متحرک را می‌کشند و در حالت معمول نیروی کل F = 2γℓ می‌شود.

ضریب ۲ را نباید برای همه مسئله‌ها حفظ کرد. در حلقه، قاب یا تیغه ممکن است چند خط تماس وجود داشته باشد و باید مجموع طول آن‌ها را پیدا کنی. روش مطمئن این است که بنویسی Leffective = مجموع طول همه مرزهای مؤثر و سپس F = γLeffective را به کار ببری.

مثال حل‌شده: نیروی لازم برای نگه‌داشتن سیم روی لایه صابون

سیم متحرکی به طول ۵ سانتی‌متر مرز یک لایه صابون با ضریب کشش سطحی 0.030 N/m است. از جرم سیم صرف‌نظر می‌کنیم و می‌خواهیم نیروی خارجی لازم برای نگه‌داشتن آن را بیابیم. چون لایه صابون دو رویه دارد، طول مؤثر 2ℓ = 2×0.050 = 0.100 m است.

پس F = γLeffective = 0.030×0.100 = 0.0030 N. نیروی کشش سطحی سیم را به سمت کوچک‌شدن مساحت لایه می‌کشد؛ بنابراین نیروی نگهدارنده هم‌اندازه و در جهت مخالف آن است. اگر صورت سؤال یک سطح مایع را توصیف می‌کرد، ضریب ۲ وجود نداشت.

زاویه تماس، جهت مویینگی را تعیین می‌کند

زاویه تماس θ را از داخل مایع و میان مماس سطح مایع و دیواره اندازه می‌گیریم. اگر θ کمتر از ۹۰ درجه باشد، cosθ مثبت است و مؤلفه قائم کشش سطحی رو به بالا خواهد بود؛ آب در شیشه نمونه آشنای این حالت است. اگر θ بیشتر از ۹۰ درجه باشد، cosθ منفی و سطح مایع در لوله پایین‌تر از سطح بیرون قرار می‌گیرد.

شکل سطح نیز یک کنترل کیفی است: مایع ترکننده سطح مقعر و مایع ناترکننده سطح محدب می‌سازد. در سؤال‌هایی که θ داده نشده و عبارت «ترشوندگی کامل» آمده است، مدل آرمانی θ = 0 و cosθ = 1 را به کار می‌برد.

رابطه ارتفاع مویینگی را از تعادل نیروها بساز

در لوله دایره‌ای با شعاع r، طول خط تماس مایع با دیواره برابر محیط دایره، یعنی 2πr است. مؤلفه قائم نیروی کشش سطحی برابر Fup = γ(2πr)cosθ می‌شود. وزن ستون مایع با ارتفاع h نسبت به سطح آزاد بیرون نیز W = ρ(πr²h)g است.

در تعادل، γ(2πr)cosθ = ρπr²hg. با حذف π و یک عامل r به h = 2γcosθ/(ρgr) می‌رسیم. این مسیر نشان می‌دهد چرا شعاع در مخرج است و چرا نباید به‌جای شعاع از قطر استفاده کرد. h علامت‌دار است: مقدار مثبت بالا‌آمدن و مقدار منفی پایین‌رفتن سطح در لوله را نشان می‌دهد.

• نیروی سطحی با محیط لوله، یعنی r، متناسب است.
• وزن ستون با سطح مقطع، یعنی r²، متناسب است.
• به همین دلیل اندازه ارتفاع با 1/r تغییر می‌کند.

مثال حل‌شده: بالا‌آمدن آب در لوله باریک

لوله‌ای شیشه‌ای با شعاع 0.50 mm در آب قرار دارد. برای این مثال γ = 0.072 N/m، چگالی آب 1000 kg/m³، g = 10 m/s² و ترشوندگی کامل با cosθ = 1 در نظر گرفته شده است. نخست شعاع را به متر تبدیل می‌کنیم: r = 5.0×10⁻⁴ m.

از h = 2γ/(ρgr) داریم h = (2×0.072)/(1000×10×5.0×10⁻⁴) = 0.0288 m، یعنی حدود ۲٫۹ سانتی‌متر. مثبت‌بودن پاسخ با بالا‌آمدن آب سازگار است. اگر شعاع لوله دو برابر شود و بقیه شرایط ثابت بماند، ارتفاع نصف خواهد شد.

تناسب‌ها و واحدها را برای کنترل پاسخ به کار ببر

از رابطه مویینگی نتیجه می‌شود |h| با γ و |cosθ| نسبت مستقیم و با ρ و r نسبت وارون دارد. بنابراین لوله باریک‌تر تغییر ارتفاع بیشتری می‌دهد. این مقایسه فقط وقتی معتبر است که کمیت‌های دیگر، به‌ویژه مایع، جنس دیواره و دما، یکسان بمانند.

کنترل واحد نیز مفید است: صورت کسر N/m و مخرج ρgr با واحد (kg/m³)(m/s²)(m) است؛ حاصل متر می‌شود. اگر شعاع بر حسب میلی‌متر را بدون تبدیل در رابطه SI بگذاری، پاسخ هزار برابر خطا خواهد داشت. برای مرور این کنترل، راهنمای تحلیل ابعادی و کنترل واحد مرتبط است.

دامنه مدل و خطاهای رایج را بشناس

رابطه ارتفاع مویینگی برای لوله باریک، مقطع دایره‌ای یکنواخت، حالت تعادل و سطح آزاد بیرونیِ بزرگ نسبت به لوله نوشته شده است. در لوله بسیار پهن، هندسه نامنظم یا هنگام حرکت سریع مایع، این مدل ساده همه جزئیات را توصیف نمی‌کند.

سه خطای رایج عبارت‌اند از استفاده خودکار از ضریب ۲، جای‌گذاری قطر به‌جای شعاع و نادیده‌گرفتن cosθ. تعریف کشش سطحی، نیروی وارد بر خط تماس و استخراج رابطه مویینگی در این راهنما با بخش Surface Tension and Capillary Action از کتاب آزاد University Physics, Volume 1 نوشته OpenStax سازگار شده است. برای مقایسه نیروهای شاره‌ای دیگر، راهنمای نیروی ارشمیدس و برای تحلیل اختلاف فشار، مقاله فشار شاره و لوله U را ادامه بده.