پاسخ مستقیم این است: کلید باز مانند بریدگی سیم است و جریان شاخه خودش را صفر میکند؛ کلید بسته مانند سیم ایدهآل، دو سر خود را همپتانسیل میکند. اگر این سیم دقیقاً دو سر یک مقاومت را به هم وصل کند، اختلاف پتانسیل آن مقاومت صفر و جریانش صفر میشود؛ میگوییم مقاومت اتصال کوتاه شده است. برای حل سؤال، مدار را در هر وضعیت کلید جداگانه بکش، گرههایی را که با سیم پیوستهاند یکی کن و فقط بعد از آن سراغ سری و موازی و قانون اهم برو.
کلید را پیش از هر محاسبه با مدل درست جایگزین کن
در مدل آرمانی، مقاومت کلید بسته و سیمهای رابط صفر است؛ بنابراین همه نقاط روی یک مسیر سیمیِ پیوسته، یک گره و همپتانسیلاند. کلید باز مقاومت بسیار بزرگی دارد و مسیر رسانایی را قطع میکند. پس وضعیت کلید فقط یک جزئیات روی شکل نیست و میتواند تعداد گرهها و نوع اتصال مقاومتها را عوض کند.
برای هر حالت، روی شکل اولیه خط نکش و همان شکل شلوغ را حل نکن. کلید باز را پاک کن و دو سر جدا باقی بگذار؛ کلید بسته را با یک خط سیم جایگزین کن. سپس گرهها را نامگذاری و مدار سادهشده را از نو رسم کن. این کار مشخص میکند کدام مقاومتها واقعاً دو سر مشترک دارند.
- کلید باز: جریان شاخه صفر
- کلید بسته: اختلاف پتانسیل دو سر کلید صفر
- هر وضعیت کلید: یک بازطراحی مستقل
شاخه باز را حذف کن، اما ولتاژ دو سر آن را صفر نگیر
اگر در یک شاخه شکاف وجود داشته باشد، مسیر بستهای برای عبور بار نداریم و جریان پایدار آن شاخه صفر است. در نتیجه مقاومتهای داخل همان شاخه در محاسبه جریان کل نقشی ندارند؛ البته باید مطمئن شوی مسیر دیگری از گره میانی آنها خارج نشده باشد.
صفرشدن جریان به معنی صفرشدن همه اختلاف پتانسیلها نیست. دو سر کلید باز میتوانند در پتانسیلهای متفاوت باشند. برای مثال اگر یک سر کلید به قطب مثبت و سر دیگر از راه مقاومتی بیجریان به قطب منفی باتری وصل باشد، افت روی مقاومت IR = 0 است و تقریباً تمام ولتاژ باتری روی کلید باز قرار میگیرد.
مقاومت اتصالکوتاهشده را از روی گرهها تشخیص بده
فرض کن دو سر یک مقاومت R علاوه بر خود مقاومت، با یک سیم ایدهآل به هم وصل شدهاند. سیم، آن دو نقطه را به یک گره تبدیل میکند؛ پس ΔV_R = 0 و از I_R = ΔV_R/R نتیجه میشود جریان مقاومت صفر است. جریان مسیر کممقاومت سیم را انتخاب میکند، اما دلیل دقیقتر، صفرشدن اختلاف پتانسیل دو سر مقاومت است.
هر سیمی کنار یک مقاومت به معنی اتصال کوتاه نیست. سیم باید دقیقاً همان دو گره دو سر مقاومت را به هم پیوند دهد. همچنین اتصال کوتاه دو سر منبع آرمانی مسئلهای ناسازگار با جریان محدود میسازد؛ در باتری واقعی، مقاومت داخلی جریان را محدود میکند. چنین اتصالی خطرناک است و نباید برای آزمایش کلاسی ساخته شود.
- دو سر مقاومت را نامگذاری کن.
- بررسی کن سیم مستقیم همان دو گره را وصل کرده است.
- اگر دو سر یک گرهاند: ΔV = 0 و I مقاومت = 0.
مسئلههای کلیددار را با یک مسیر ششمرحلهای حل کن
یک: وضعیت خواستهشده هر کلید را مشخص کن. دو: کلید باز را شکاف و کلید بسته را سیم بگیر. سه: نقاط متصل با سیم ایدهآل را با یک حرف نامگذاری کن. چهار: شاخههای باز و مقاومتهای اتصالکوتاهشده را کنار بگذار. پنج: مدار باقیمانده را تمیز رسم و سری یا موازیبودن را فقط از روی گرهها تعیین کن. شش: مقاومت معادل، جریان کل و سپس کمیت هر شاخه را حساب کن.
اگر سؤال وضعیت قبل و بعد از تغییر کلید را مقایسه میکند، این شش گام را دو بار انجام بده. استفاده از مقاومت معادل حالت اول در حالت دوم خطاست. پس از یافتن جریان کل نیز مدار را از معادل به اجزای اصلی بازگردان تا ولتاژ یا جریان هر مقاومت را جداگانه پیدا کنی.
مثال حلشده: کلیدی که یک مقاومت را اتصال کوتاه میکند
باتری آرمانی 12 V به دو مقاومت R₁ = 4 Ω و R₂ = 8 Ω متصل است. در حالت کلید باز، دو مقاومت سریاند. کلید بهگونهای موازی با R₂ بسته میشود که دو سر R₂ را با سیم ایدهآل وصل کند. جریان باتری و جریان R₂ را پیش و پس از بستن کلید پیدا کن.
با کلید باز، شاخه کلید حذف میشود و R_eq = 4 + 8 = 12 Ω است؛ پس جریان باتری و هر دو مقاومت I = 12/12 = 1 A میشود. ولتاژ R₂ نیز 8 V است و ممکن است دو سر کلید باز همین اختلاف پتانسیل را داشته باشند.
با بستن کلید، دو سر R₂ به یک گره تبدیل میشوند؛ پس V₂ = 0 و I₂ = 0. فقط R₁ در مدار مؤثر میماند و R_eq = 4 Ω؛ بنابراین جریان باتری 12/4 = 3 A است. افزایش جریان کل با کاهش مقاومت معادل سازگار است و جریان R₂، برخلاف جریان کل، به صفر میرسد.
تغییر جریان و روشنایی را بدون حفظکردن حدس بزن
با ولتاژ ثابت منبع، اگر بستن کلید بخشی از مقاومت مدار را اتصال کوتاه کند، مقاومت معادل کم و جریان کل زیاد میشود. اما نمیتوان گفت جریان همه مقاومتها حتماً زیاد میشود؛ شاخهای که اتصال کوتاه شده جریانش صفر است و تقسیم ولتاژ در شاخههای دیگر نیز ممکن است عوض شود.
برای مقایسه روشنایی لامپها، پس از بازطراحی توان هر لامپ را با P = IV، P = I²R یا P = V²/R بسنج. عبارت کلی «بستن کلید همیشه لامپها را پرنورتر میکند» معتبر نیست. نتیجه به محل کلید و تغییر ولتاژ یا جریان همان لامپ بستگی دارد.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطای اول، صفرگرفتن ولتاژ کلید باز است؛ فقط جریان آن صفر است. خطای دوم، حذف هر مقاومتی است که کنار سیم دیده میشود؛ باید دو سر سیم و مقاومت دقیقاً گرههای یکسان باشند. خطای سوم، سری دانستن مقاومتهایی است که گره میانیشان انشعاب دارد. خطای چهارم، تصور تقسیم جریان میان سیم ایدهآل و مقاومت موازی با آن است؛ ولتاژ شاخه مقاومت صفر و جریان آن نیز صفر است.
سه کنترل نهایی انجام بده: با بستن مسیر موازی تازه، مقاومت معادل نباید بیشتر شود؛ مجموع جریانهای خروجی از هر گره باید با جریان ورودی برابر باشد؛ و جمع افت و افزایش پتانسیل در هر حلقه بسته باید صفر شود. راهنمای مدارهای الکتریکی برای بازطراحی گرهها، مقاله کیرشهف برای مدارهای چندحلقهای و راهنمای مدار متقارن برای تشخیص گرههای همپتانسیل، ادامههای مرتبط این مبحثاند.
در مسائل کلید، هر وضعیت یک مدار تازه است. کلید باز را شکاف و کلید بسته را سیم ایدهآل بگیر، سپس گرههای همپتانسیل را ادغام کن. شاخه باز جریان ندارد و مقاومتی که دو سرش با سیم مستقیم به یک گره وصل شده، ولتاژ و جریان صفر دارد. بعد از بازطراحی، اتصالهای سری و موازی را از روی گرهها تشخیص بده و در پایان با قانون اهم، پایستگی جریان گره و روند مقاومت معادل پاسخ را کنترل کن.