اگر گوهای به جرم M روی زمین افقیِ بدون اصطکاک آزاد باشد و جسمی به جرم m روی سطح شیبدارِ بدون اصطکاک آن بلغزد، شتاب جسم نسبت به گوه برابر g sinθ نیست؛ چون خود گوه هم حرکت میکند. برای شیبی که به سمت راست بالا میرود و جسم روی آن پایین میلغزد، اندازه شتاب گوه به راست a_W = mg sinθ cosθ/(M + m sin²θ) و شتاب نسبی جسم روی شیب a_rel = (M + m)g sinθ/(M + m sin²θ) است. نکته اصلی این است که مختصات جسم نسبت به زمین از جمع حرکت گوه و حرکت جسم نسبت به گوه ساخته میشود.
مدل گوه آزاد و مختصات را پیش از نوشتن نیروها بساز
گوه را به جرم M روی سطح افقی بدون اصطکاک در نظر بگیر. سطح شیبدار با افق زاویه θ میسازد و به سمت راست بالا میرود. جسم m روی شیب به سمت چپ و پایین میلغزد؛ در واکنش، گوه به سمت راست حرکت میکند. X را جابهجایی گوه به راست و s را مسافت پیمودهشده جسم نسبت به گوه در جهت پایین شیب بگیر.
مختصات جسم نسبت به زمین x = X − s cosθ و y = y₀ − s sinθ است. با دو بار مشتقگیری، a_x = a_W − a_rel cosθ و a_y = −a_rel sinθ به دست میآید. همین دو رابطه جلوی خطای رایج را میگیرند: شتاب نسبی روی شیب، خودِ شتاب جسم نسبت به زمین نیست.
- X: حرکت گوه نسبت به زمین
- s: حرکت جسم نسبت به گوه
- شتاب افقی جسم: a_x = a_W − a_rel cosθ
- شتاب قائم جسم: a_y = −a_rel sinθ
از پایستگی تکانه افقی رابطه نخست را به دست آور
بر دستگاهِ جسم و گوه، نیروی خارجی افقی وارد نمیشود: زمین فقط نیروی عمودی به گوه میدهد و وزنها نیز قائماند. اگر دستگاه از سکون رها شود، تکانه افقی کل در تمام حرکت صفر میماند. بنابراین Mv_W + m(v_W − v_rel cosθ) = 0 است.
با مشتقگیری نسبت به زمان میرسیم به (M + m)a_W = m a_rel cosθ. این رابطه هم جهتها را روشن میکند و هم نشان میدهد گوه و جسم چگونه حرکت افقی یکدیگر را جبران میکنند. پایستگی تکانه افقی به معنی صفر بودن تکانه قائم نیست، چون زمین به دستگاه نیروی خارجی قائم وارد میکند.
- نیروی خارجی افقی: صفر
- تکانه افقی آغازین: صفر
- رابطه شتابها: (M + m)a_W = m a_rel cosθ
معادله دوم را در راستای شیب بنویس
در چارچوب زمین، نیروهای جسم وزن mg و نیروی عمودی سطح N هستند. تصویر قانون دوم روی راستای پایین شیب، پس از جایگذاری مؤلفه شتاب جسم، رابطه a_rel − a_W cosθ = g sinθ را میدهد. اگر ترجیح میدهی از چارچوب گوه استفاده کنی، باید نیروی لختی ma_W خلاف شتاب گوه را هم وارد کنی و به همین رابطه برسی.
اکنون دو معادله داریم: (M + m)a_W = m a_rel cosθ و a_rel − a_W cosθ = g sinθ. حل همزمان آنها نتیجه میدهد a_W = mg sinθ cosθ/(M + m sin²θ) و a_rel = (M + m)g sinθ/(M + m sin²θ).
- روی شیب: a_rel − a_W cosθ = g sinθ
- شتاب گوه: a_W = mg sinθ cosθ/(M + m sin²θ)
- شتاب نسبی: a_rel = (M + m)g sinθ/(M + m sin²θ)
شتاب جسم نسبت به زمین و نیروی عمودی سطح را جدا حساب کن
پس از یافتن a_W و a_rel، برای پاسخ درباره شتاب جسم نسبت به زمین باید به مؤلفهها برگردی. سادهسازی رابطهها میدهد a_x = −Mg sinθ cosθ/(M + m sin²θ) و a_y = −(M + m)g sin²θ/(M + m sin²θ). علامت منفی افقی در مدل ما یعنی جسم نسبت به زمین به چپ شتاب دارد، هرچند گوه به راست شتاب میگیرد.
تصویر قانون دوم در راستای عمود بر شیب، نیروی تماس را N = mMg cosθ/(M + m sin²θ) میدهد. این مقدار از mg cosθ برای سطح ثابت کوچکتر است، زیرا حرکت گوه شتاب عمود بر سطحِ جسم را نیز تغییر میدهد. مثبتبودن N در این مدل نشان میدهد تماس حفظ میشود.
مثال حلشده: گوه ۶ کیلوگرمی و جسم ۲ کیلوگرمی
گوهای با جرم M = 6 kg روی زمین صاف آزاد است. جسمی با جرم m = 2 kg روی شیب بدون اصطکاک 30 درجه از سکون رها میشود. با g = 10 m/s²، شتاب گوه، شتاب نسبی جسم و مؤلفههای شتاب جسم نسبت به زمین را پیدا کن.
مخرج مشترک برابر M + m sin²θ = 6 + 2×(0.5)² = 6.5 kg است. پس a_W = [2×10×0.5×0.866]/6.5 ≈ 1.33 m/s² به راست. همچنین a_rel = [(6+2)×10×0.5]/6.5 ≈ 6.15 m/s² در جهت پایین شیب است.
برای جسم، a_x = a_W − a_rel cos30° ≈ 1.33 − 6.15×0.866 = −4.00 m/s² و a_y = −a_rel sin30° ≈ −3.08 m/s². کنترل تکانه افقی نیز درست است: (M + m)a_W تقریباً 10.64 و m a_rel cos30° تقریباً 10.65 میشود؛ اختلاف کوچک از گردکردن عددهاست.
مسئله گوه متحرک را با مسیر حل ششگامی پیش ببر
یک: دستگاه جسم و گوه و نیروهای خارجی آن را مشخص کن. دو: جهت مثبت X و s را روی شکل بنویس. سه: مختصات جسم نسبت به زمین را با X و s بساز. چهار: از نبود نیروی خارجی افقی، رابطه تکانه یا شتاب افقی را بنویس. پنج: قانون دوم را در راستای شیب اجرا و دو مجهول a_W و a_rel را حل کن. شش: فقط اگر شتاب جسم نسبت به زمین خواسته شده، مؤلفههای a_x و a_y را از ترکیب دو حرکت بساز.
اگر سطح زیر گوه اصطکاک داشته باشد، نیروی خارجی افقی صفر نیست و رابطه تکانه افقی بالا خودکار برقرار نخواهد بود. اگر بین جسم و گوه اصطکاک باشد نیز باید نیروی اصطکاک و احتمال سکون نسبی را بررسی کنی. پس پیش از استفاده از فرمولهای نهایی، فرضهای صورت سؤال را با مدل این راهنما تطبیق بده.
پاسخ را با حالتهای حدی و دامهای رایج کنترل کن
اگر M بسیار بزرگ شود، a_W به صفر و a_rel به g sinθ نزدیک میشود؛ یعنی گوه عملاً مانند سطح ثابت رفتار میکند. اگر θ به صفر برسد، هر دو شتاب صفر میشوند. همچنین a_W در θ = 90° صفر است، چون سطح قائم نیروی تماس افقی لازم برای لغزاندن گوه در این مدل حدی ایجاد نمیکند. این سه حد، علامت و مخرج رابطهها را سریع میآزمایند.
دام نخست، نوشتن بیدرنگ a = g sinθ برای جسم است. دام دوم، پایستهگرفتن تکانه قائم با وجود نیروی زمین است. دام سوم، رسم «نیروی مرکزگرا» یا «نیروی حرکت» بهعنوان نیروی اضافی است؛ روی جسم فقط وزن و نیروی تماس وارد میشوند. برای تمرین تفکیک نیروهای واقعی، راهنمای نمودار جسم آزاد را بخوان و اگر اصطکاک به مدل افزوده شد، مقاله اصطکاک ایستایی و جنبشی را مرور کن.
- M → ∞: سطح ثابت و a_rel → g sinθ
- θ → 0: هر دو شتاب صفر
- تکانه فقط در راستای افقی پایسته است.
- a_rel را با شتاب جسم نسبت به زمین یکی نگیر.
در مسئله گوه آزاد، ابتدا جهت مثبت گوه و جهت لغزش نسبی جسم را مشخص کن. اگر جابهجایی گوه X و جابهجایی جسم روی شیب s باشد، برای شیب بالارونده به راست میتوان x = X − s cosθ و y = y₀ − s sinθ نوشت. پایستگی تکانه افقی و معادله حرکت روی شیب، a_W = mg sinθ cosθ/(M + m sin²θ) و a_rel = (M + m)g sinθ/(M + m sin²θ) را میدهند. این روابط فقط برای گوه آزاد روی سطح افقی بدون اصطکاک، تماس پایدار و سطح شیبدار بدون اصطکاکاند؛ در حالت گوه ثابت باید دوباره به a_rel = g sinθ برسی.