اگر جرم m به فنری با ثابت k وصل باشد و روی سطح شیبدارِ بدون اصطکاک با زاویه θ حرکت کند، مؤلفه وزن در امتداد سطح فقط مکان تعادل را جابهجا میکند: کشیدگی فنر در تعادل x_eq = mg sinθ/k است. اگر جابهجایی از همین تعادل را ξ بگیریم، نیروی خالص F = −kξ میشود؛ بنابراین ω = √(k/m) و T = 2π√(m/k) است و زاویه سطح در دوره ظاهر نمیشود. نکته تعیینکننده این است که کشیدگی از طول طبیعی را با جابهجایی از تعادل یکی نگیری.
مدل و نیروهای موازی سطح را مشخص کن
جرم را روی سطحی با زاویه θ نسبت به افق در نظر بگیر؛ فنر موازی سطح است و سر دیگرش در بالای سطح ثابت شده. محور x را در امتداد سطح و رو به پایین بگیر و x را کشیدگی فنر نسبت به طول طبیعی تعریف کن. وزن دو مؤلفه دارد: mg sinθ در امتداد سطح و رو به پایین، و mg cosθ عمود بر سطح. نیروی فنر برای x > 0 برابر kx و رو به بالای سطح است.
در راستای عمود بر سطح شتابی نداریم، پس نیروی عمودی سطح N = mg cosθ است. این نیرو و مؤلفه عمودی وزن وارد معادله حرکت روی سطح نمیشوند. با فرض سطح بدون اصطکاک، معادله راستای حرکت m(d²x/dt²) = mg sinθ − kx خواهد بود.
- محور حرکت: موازی سطح
- مؤلفه وزن رو به پایین سطح: mg sinθ
- نیروی فنر رو به بالا: kx
- نیروی عمودی سطح: N = mg cosθ
کشیدگی فنر در تعادل را از برآیند صفر پیدا کن
در تعادل شتاب صفر است؛ بنابراین mg sinθ − kx_eq = 0 و در نتیجه x_eq = mg sinθ/k. این x_eq کشیدگی فنر نسبت به طول طبیعی است، نه دامنه نوسان. با زیادشدن زاویه، مؤلفه موازی وزن و کشیدگی تعادل بیشتر میشود؛ در θ = 0 نیز کشیدگی تعادل در این مدل صفر است.
این رابطه یک کنترل ابعادی ساده دارد: mg/k از تقسیم نیوتون بر نیوتونبرمتر به متر میرسد و sinθ بیواحد است. اگر در پاسخ تعادل جرم یا sinθ دیده نشود، احتمالاً مؤلفه وزن حذف یا نادرست نوشته شده است.
- شرط تعادل: mg sinθ = kx_eq
- کشیدگی تعادل: x_eq = mg sinθ/k
- x_eq با دامنه نوسان یکسان نیست.
مبدأ را به تعادل منتقل کن تا معادله نوسان آشکار شود
جابهجایی جرم از تعادل را ξ = x − x_eq تعریف کن؛ پس x = x_eq + ξ است. با جایگذاری در معادله حرکت داریم mξ¨ = mg sinθ − k(x_eq + ξ). چون mg sinθ = kx_eq، دو جمله ثابت حذف میشوند و mξ¨ = −kξ باقی میماند.
این همان معادله حرکت هماهنگ ساده است. بنابراین ω = √(k/m)، دوره T = 2π√(m/k) و بسامد f = (1/2π)√(k/m) خواهد بود. زاویه و g در این روابط دیده نمیشوند، زیرا نیروی ثابت وزن فقط مرکز نوسان را جابهجا کرده است؛ سختی نیروی بازگرداننده نسبت به ξ همچنان k است.
- مختصات نوسان: ξ = x − x_eq
- نیروی بازگرداننده: F_net = −kξ
- دوره: T = 2π√(m/k)
دامنه را از مکان رهاسازی نسبت به تعادل تعیین کن
اگر جسم از سکون رها شود، همان نقطه یکی از دو انتهای مسیر است و دامنه برابر فاصله آن تا تعادل میشود: A = |x_release − x_eq|. برای مثال، اگر فنر در لحظه رهاسازی در طول طبیعی باشد، x_release = 0 و A = x_eq است. جسم ابتدا روی سطح پایین میرود، از تعادل با بیشینه سرعت میگذرد و در سوی دیگر تا کشیدگی 2x_eq پیش میرود.
اگر جسم در لحظه آغاز سرعت داشته باشد، فاصله اولیه بهتنهایی دامنه نیست. در این حالت با ξ₀ = x₀ − x_eq و ω = √(k/m) میتوان از A = √[ξ₀² + (v₀/ω)²] استفاده کرد. علامت v₀ برای تعیین فاز و جهت حرکت لازم است، هرچند در رابطه دامنه به توان دو میرسد.
مثال حلشده: رهاسازی جرم از طول طبیعی فنر
جرم 2 kg به فنری با ثابت 50 N/m روی سطح بدون اصطکاک 30 درجه متصل است. فنر را در طول طبیعی نگه میداریم و جرم را از سکون رها میکنیم. با g = 10 m/s²، کشیدگی تعادل، دامنه، دوره و بیشینه سرعت را بیاب.
ابتدا x_eq = mg sin30°/k = (2×10×0.5)/50 = 0.20 m. چون رهاسازی از طول طبیعی و از سکون است، فاصله نقطه آغاز تا تعادل 0.20 m و دامنه A = 0.20 m خواهد بود. بسامد زاویهای ω = √(50/2) = 5 rad/s و دوره T = 2π/5 ≈ 1.26 s است.
بیشینه سرعت هنگام عبور از تعادل رخ میدهد: v_max = Aω = 0.20×5 = 1.0 m/s. برای کنترل انرژی، کاهش انرژی گرانشی تا تعادل mg(x_eq sin30°) = 2 J است و انرژی کشسانی در تعادل ½kx_eq² = 1 J؛ اختلاف 1 J به انرژی جنبشی تبدیل میشود. از ½mv² = 1 J نیز v = 1 m/s به دست میآید.
اثر زاویه و گرانش را بدون تناقض تفسیر کن
افزایش θ یا g، x_eq و در مثال رهاسازی از طول طبیعی دامنه را بیشتر میکند؛ پس بیشینه سرعت میتواند تغییر کند. بااینحال اگر m و k ثابت بمانند، دوره تغییر نمیکند. دوره نشان میدهد بازگشت نسبت به تعادل با چه آهنگی رخ میدهد، اما مکان تعادل را تعیین نمیکند.
فنر قائم حالت ویژه همین مدل با θ = 90° است و x_eq = mg/k میدهد؛ سطح افقیِ بدون اصطکاک نیز θ = 0 دارد و تعادل در طول طبیعی است. این دو حد، راه خوبی برای کنترل رابطه sinθ و تشخیص اشتباهگرفتن آن با cosθ هستند.
اصطکاک و دامهای رایج را پیش از استفاده از فرمول بررسی کن
با وجود اصطکاک، نتیجه ساده بالا خودکار معتبر نیست. اصطکاک جنبشی جهتش با حرکت عوض میشود و انرژی مکانیکی را کاهش میدهد؛ اصطکاک ایستایی نیز ممکن است جسم را در بازهای از مکانها ساکن نگه دارد. بنابراین برای سطح زبر باید جهت حرکت، نوع اصطکاک و شرط لغزش را جداگانه تحلیل کرد و نمیتوان فقط g را با مقدار دیگری جایگزین کرد.
سه خطای رایج عبارتاند از نوشتن mg cosθ در امتداد سطح، گرفتن x از تعادل و همزمان استفاده از نیروی وزن در معادله بازگرداننده، و برابرگرفتن x_eq با A در هر شرایط آغازین. برای مقایسه حالت قائم، راهنمای فنر قائم را بخوان؛ برای سرعت در مکانهای مختلف از مقاله انرژی نوسانگر جرم–فنر و برای مدل سطح زبر از راهنمای اصطکاک ایستایی و جنبشی استفاده کن.
- پیش از حل مشخص کن x از طول طبیعی است یا از تعادل.
- مؤلفه موازی وزن mg sinθ است.
- دوره مستقل از زاویه، اما مکان تعادل وابسته به زاویه است.
- فرمول دوره به مدل فنر خطی و سطح بدون اصطکاک وابسته است.
برای جرم–فنر روی سطح شیبدار، ابتدا محور را موازی سطح و جهت مثبت را رو به پایین انتخاب کن. از تعادل mg sinθ = kx_eq، محل تعادل را بیاب؛ سپس مختصات نوسان را ξ = x − x_eq تعریف کن تا معادله mξ¨ = −kξ به دست آید. در مدل بدون اصطکاک، زاویه و گرانش کشیدگی تعادل را تغییر میدهند، اما دوره T = 2π√(m/k) را نه. دامنه را از فاصله مکان رهاسازی تا تعادل بگیر و پیش از استفاده از نتیجه، نبود اصطکاک و خطیبودن فنر را بررسی کن.