برای جریان سینوسی i(t) = I₀ sin(ωt + φ)، کمیت I₀ بیشینه جریان، ω بسامد زاویهای و φ فاز اولیه است. دوره و بسامد از T = 2π/ω و f = 1/T به دست میآیند. مقدار مؤثر جریان برابر I_rms = I₀/√2 است؛ یعنی همان جریان مستقیمی که در یک مقاومت، توان متوسط یکسانی تولید میکند. برای ولتاژ سینوسی نیز V_rms = V₀/√2 و در یک مقاومت خالص P_avg = V_rms I_rms = I_rms²R = V_rms²/R است.
معادله جریان سینوسی را به زبان نمودار ترجمه کن
در i(t) = I₀ sin(ωt + φ)، جریان لحظهای i میتواند مثبت، صفر یا منفی باشد. علامت فقط جهت جریان را نسبت به جهت مرجع نشان میدهد. I₀ دامنه یا بیشینه اندازه جریان است؛ بنابراین جریان بین −I₀ و +I₀ تغییر میکند و دامنه را نباید دو برابر بیشینه گرفت.
بسامد زاویهای ω بر حسب rad/s است و با f = ω/(2π) به بسامد بر حسب Hz تبدیل میشود. دوره نیز T = 1/f = 2π/ω است. فاز اولیه φ شکل موج را روی محور زمان جابهجا میکند، اما دامنه، دوره و بسامد را تغییر نمیدهد.
- دامنه جریان: I₀
- دوره: T = 2π/ω
- بسامد: f = ω/(2π)
دوره را از دو نقطه واقعاً همفاز روی نمودار بخوان
دوره کوتاهترین زمانی است که پس از آن مقدار و جهت تغییر جریان هر دو تکرار میشوند. فاصله دو قله مثبت پیاپی، دو قله منفی پیاپی یا دو عبور صعودی پیاپی از صفر برابر T است. فاصله یک قله مثبت تا قله منفی بعدی فقط T/2 است.
دو عبور پیاپی از صفر الزاماً همفاز نیستند: یکی ممکن است صعودی و دیگری نزولی باشد و فاصله آنها T/2 شود. پس هنگام نمودارخوانی علاوه بر مقدار جریان، شیب نمودار را نیز مقایسه کن. پس از یافتن T، بسامد را از f = 1/T بساز و اگر زمان بر حسب میلیثانیه است، آن را به ثانیه تبدیل کن.
مقدار مؤثر را از اثر گرمایی جریان تعریف کن
میانگین جریان سینوسی در یک دوره کامل صفر است، اما مقاومت در هر دو نیمچرخه گرم میشود، زیرا توان لحظهای آن p = i²R است و توان دوم علامت جهت را حذف میکند. به همین دلیل برای سنجش اثر گرمایی از مقدار مؤثر یا RMS استفاده میکنیم، نه از میانگین جبری جریان.
برای یک سینوس خالص، I_rms = I₀/√2 و V_rms = V₀/√2 است. رابطه برعکس نیز مهم است: I₀ = √2 I_rms و V₀ = √2 V_rms. این ضریب مخصوص شکل موج سینوسی است و نباید بدون بررسی برای موج مربعی، مثلثی یا شکل موج دلخواه به کار رود.
- میانگین i در یک دوره کامل: صفر
- مقدار مؤثر سینوسی: دامنه تقسیم بر √2
- RMS کمیتی نامنفی برای مقایسه اثر توان است.
توان متوسط مقاومت خالص را با مقادیر مؤثر حساب کن
در مقاومت خالص، ولتاژ و جریان همفازند و قانون اهم برای مقدار لحظهای و مؤثر برقرار است: V_rms = I_rmsR. توان لحظهای همواره نامنفی است و توان متوسط یک دوره را میتوان از P_avg = V_rms I_rms به دست آورد.
شکلهای همارز رابطه توان عبارتاند از P_avg = I_rms²R و P_avg = V_rms²/R. اگر صورت سؤال دامنه V₀ یا I₀ را داده باشد، پیش از استفاده در این رابطهها آن را به مقدار مؤثر تبدیل کن. نوشتن مستقیم P_avg = V₀I₀ برای مقاومت خالص، جواب را دو برابر مقدار درست میکند.
مثال حلشده: از معادله جریان تا توان متوسط
جریان عبوری از یک مقاومت ۲۰ اهمی از رابطه i(t) = 4 sin(100πt) A پیروی میکند. دامنه، بسامد، دوره، مقدار مؤثر جریان و توان متوسط مقاومت را پیدا کن.
از معادله، I₀ = 4 A و ω = 100π rad/s است. پس f = ω/(2π) = 50 Hz و T = 1/f = 0.020 s یا 20 ms. مقدار مؤثر جریان I_rms = 4/√2 = 2√2 A است.
برای توان متوسط از P_avg = I_rms²R استفاده میکنیم: P_avg = (2√2)² × 20 = 8 × 20 = 160 W. کنترل پاسخ: بیشینه توان لحظهای I₀²R = 320 W است و میانگین آن برای سینوس باید نصف بیشینه باشد؛ ۱۶۰ وات با این کنترل سازگار است.
سؤال جریان متناوب را با مسیر پنجگامی حل کن
یک: مشخص کن داده، مقدار لحظهای، دامنه یا مقدار مؤثر است. دو: از ضریب بیرون سینوس دامنه و از ضریب زمان ω را بخوان. سه: T و f را با واحد درست حساب کن. چهار: فقط اگر موج سینوسی است، مقدار دامنه و مؤثر را با ضریب √2 تبدیل کن. پنج: برای مقاومت خالص، قانون اهم و توان را با مقادیر مؤثر به کار ببر.
اگر سؤال فقط مقدار جریان در یک لحظه را میخواهد، همان t را در معادله قرار بده و نیازی به RMS نیست. اگر درباره گرمشدن یا توان متوسط میپرسد، مقدار مؤثر مسیر مناسب است. این تفکیک از جایگذاری یک عدد درست در رابطهای نامربوط جلوگیری میکند.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطای اول، یکیگرفتن ω و f است؛ میان آنها ضریب 2π وجود دارد. خطای دوم، خواندن فاصله قله مثبت تا قله منفی بهعنوان یک دوره است. خطای سوم، تقسیم مقدار مؤثر بر √2 برای رسیدن به دامنه است؛ جهت درست تبدیل I₀ = √2 I_rms است.
خطای چهارم، نتیجهگیری توان صفر از میانگین جریان صفر است. توان به مربع جریان وابسته است و در مقاومت خالص میانگین مثبتی دارد. برای کنترل نهایی، I_rms باید از I₀ کوچکتر باشد، T و f باید معکوس هم باشند و واحد توان باید وات باشد.
در سؤال جریان متناوب، ابتدا دامنه را از بیشترین مقدار و دوره را از فاصله زمانی دو حالت همفاز بخوان. سپس برای موج سینوسی I_rms = I₀/√2 و V_rms = V₀/√2 را به کار ببر. اگر بار یک مقاومت خالص است، توان متوسط را با مقادیر مؤثر درست مانند مدار جریان مستقیم حساب کن. مقدار لحظهای را با مقدار مؤثر، و میانگین خود جریان را با میانگین اثر گرمایی آن اشتباه نگیر؛ در پایان واحد زمان، هرتز، آمپر، ولت و وات را کنترل کن.