هیدرومتر یا شناورسنج چگالی مایع را از عمق فرورفتن یک جسم شناور به دست میآورد. در حالت سکون، وزن ثابت هیدرومتر با نیروی شناوری برابر است؛ پس مایع چگالتر برای تأمین همان نیروی شناوری به حجم جابهجاشده کمتری نیاز دارد و هیدرومتر در آن بالاتر میایستد. برای حل مسئله کافی است تعادل mg = ρمایع gVفرورفته را بنویسی، g را حذف کنی و حجم فرورفته را با شکل ساقه مرتبط کنی. همین مسیر هم محاسبه عددی را میدهد و هم جهت تغییر قرائت را روشن میکند.
کار هیدرومتر را با تعادل دو نیرو توضیح بده
هیدرومتر معمولاً حبابی سنگین در پایین و ساقهای باریک و مدرج در بالا دارد. وزنه پایین، ابزار را قائم نگه میدارد و ساقه باریک باعث میشود تغییر کوچک حجم جابهجاشده به تغییر ارتفاع قابلمشاهدهای تبدیل شود. هیدرومتر را آزادانه در مایع میگذارند؛ نباید به کف یا دیواره ظرف تکیه داشته باشد، چون در آن صورت نیروی تکیهگاه وارد معادله میشود.
در سکون، دو نیروی اصلی وارد بر هیدرومتر وزن mg رو به پایین و نیروی شناوری FB رو به بالاست. طبق اصل ارشمیدس، FB = ρمایع gVفرورفته؛ پس تعادل میدهد mg = ρمایع gVفرورفته. جرم هیدرومتر ثابت است و g از دو طرف حذف میشود، بنابراین ρمایع Vفرورفته = m رابطه پایه خواندن شناورسنج است.
- وزن به جرم کل هیدرومتر وابسته است.
- نیروی شناوری به چگالی مایع و حجم بخش فرورفته وابسته است.
- در تعادل، جرم مایع جابهجاشده با جرم هیدرومتر برابر است.
در مایع چگالتر، هیدرومتر را بالاتر قرار بده
از Vفرورفته = m/ρمایع پیداست که برای یک هیدرومتر ثابت، چگالی و حجم فرورفته رابطه وارون دارند. اگر ابزار را از مایع کمچگال به مایع چگالتر منتقل کنیم، پیش از رسیدن به تعادل نیروی شناوری بیشتر میشود؛ هیدرومتر بالا میآید تا حجم کمتری در مایع بماند و دوباره نیروی شناوری با وزن برابر شود.
پس جمله حفظی را با یک کنترل فیزیکی جایگزین کن: مایع چگالتر، حجم کمتری برای جابهجاکردن جرم ثابت لازم دارد. روی بسیاری از هیدرومترهای چگالی، عددهای بزرگتر در بخش پایینتر ساقه نوشته میشوند؛ چون در مایع چگالتر سطح مایع پایینتر روی ساقه را قطع میکند. جهت عددهای یک مقیاس خاص را از تعریف همان مقیاس بخوان، اما جهت حرکت خود ابزار همیشه از تعادل شناوری نتیجه میشود.
کسر حجم فرورفته جسم یکنواخت را از نسبت چگالیها بساز
اگر جسم شناور چگالی متوسط یکنواخت ρجسم و حجم کل Vکل داشته باشد، جرم آن m = ρجسمVکل است. جایگذاری در تعادل شناوری میدهد ρجسمVکلg = ρمایعVفرورفتهg؛ در نتیجه Vفرورفته/Vکل = ρجسم/ρمایع. این رابطه فقط درباره کسر حجم است، نه لزوماً کسر ارتفاع.
برای منشور یا استوانهای با سطح مقطع ثابت، حجم با ارتفاع متناسب است و میتوان نوشت hفرورفته/hکل = ρجسم/ρمایع. اما هیدرومتر معمولی حباب پهن و ساقه باریک دارد؛ بنابراین تقسیم طول فرورفته بر طول کل، نسبت حجم را نمیدهد. در این شکلها باید حجم حباب و بخش فرورفته ساقه را جدا حساب کرد.
- جسم شناور باید چگالی متوسطی کمتر از چگالی مایع داشته باشد.
- نسبت حجم فرورفته عددی بیبعد و بین صفر و یک است.
- نسبت ارتفاعها فقط برای سطح مقطع ثابت جای نسبت حجمها مینشیند.
مثال حلشده: کسر فرورفته یک شناور یکنواخت
یک استوانه یکنواخت با چگالی 750 kg/m³ بهصورت قائم در مایعی با چگالی 1200 kg/m³ شناور است. چه کسری از ارتفاع آن زیر سطح مایع قرار میگیرد؟ چون سطح مقطع استوانه ثابت است، نسبت ارتفاع فرورفته با نسبت حجم فرورفته برابر خواهد بود.
از رابطه تعادل داریم hفرورفته/hکل = ρجسم/ρمایع = 750/1200 = 0.625. پس 62.5 درصد ارتفاع زیر مایع و 37.5 درصد بالای سطح است. پاسخ با رفتار فیزیکی سازگار است: چگالی جسم کمتر از مایع است، بنابراین شناور میماند و کسر فرورفته نیز از یک کوچکتر شده است.
دو قرائت هیدرومتر را بدون دانستن جرم مقایسه کن
وقتی همان هیدرومتر در دو مایع شناور میشود، جرم و وزن آن تغییر نمیکند. برای مایع اول m = ρ₁V₁ و برای مایع دوم m = ρ₂V₂ است؛ پس ρ₁V₁ = ρ₂V₂. این رابطه جرم هیدرومتر را حذف میکند و برای سؤالهایی که دو حجم یا دو موقعیت ساقه میدهند کوتاهترین مسیر است.
فرض کن حجم فرورفته هیدرومتر در مایع A برابر 80 cm³ و در مایع B برابر 64 cm³ باشد و چگالی A برابر 0.80 g/cm³ داده شود. داریم 0.80×80 = ρB×64، پس ρB = 1.00 g/cm³. کوچکتر بودن حجم فرورفته در B نیز پیش از محاسبه نشان میدهد B باید چگالتر از A باشد.
تغییر ارتفاع ساقه را به تغییر حجم تبدیل کن
اگر سطح مقطع ساقه باریک A و جابهجایی سطح مایع روی ساقه Δh باشد، تغییر حجم فرورفته از ΔV = AΔh به دست میآید؛ به شرط آنکه در این بازه فقط ساقه با سطح مقطع ثابت از سطح مایع عبور کند. برای استفاده از علامتها، ابتدا با شکل مشخص کن هیدرومتر در حالت دوم بالاتر رفته یا پایینتر؛ سپس حجمهای واقعی و مثبت را در معادله تعادل قرار بده.
مثلاً هیدرومتری با جرم 40 g در مایعی با چگالی 0.80 g/cm³ شناور است. حجم فرورفته V = m/ρ = 40/0.80 = 50 cm³ است. اگر حجم حباب و بخش زیر آغاز درجهبندی 46 cm³ و سطح مقطع ساقه 0.50 cm² باشد، حجم ساقه فرورفته 4 cm³ و طول فرورفته آن h = 4/0.50 = 8 cm میشود. سازگاری cm³ بر cm² با واحد cm یک کنترل ابعادی فوری است.
مسیر حل و خطاهای رایج هیدرومتر را کنترل کن
یک: دستگاه را جدا و نیروهایش را رسم کن. دو: مطمئن شو آزادانه شناور است و نیروی دیگری ندارد. سه: تعادل mg = ρمایعgVفرورفته را بنویس. چهار: اگر جسم یکنواخت و سطح مقطع ثابت است نسبت حجم یا ارتفاع را به کار ببر؛ اگر حباب و ساقه دارد، حجم بخشها را جدا بساز. پنج: در مقایسه دو مایع از ρ₁V₁ = ρ₂V₂ استفاده کن و در پایان جهت حرکت را با چگالی کنترل کن.
رایجترین خطاها برابرگرفتن حجم کل با حجم فرورفته، استفاده از چگالی ماده شیشه بهجای چگالی متوسط کل ابزار، فرض تناسب طول و حجم برای هیدرومتر با مقطع متغیر و نتیجهگیری برعکس درباره مایع چگالتر است. دما نیز در اندازهگیری واقعی مهم است، چون چگالی مایع و ابعاد ابزار میتوانند با دما تغییر کنند؛ به همین دلیل قرائت دقیق باید مطابق دمای مرجع و دستور همان ابزار باشد. برای مرور منشأ نیروی رو به بالا، راهنمای نیروی ارشمیدس و برای ساخت چگالی متوسط اجسام مرکب، مقاله چگالی مخلوط و جسم توخالی را بخوان.
- مایع چگالتر: حجم فرورفته کمتر و جایگاه هیدرومتر بالاتر
- همان هیدرومتر در دو مایع: ρ₁V₁ = ρ₂V₂
- ساقه با سطح مقطع ثابت: ΔV = AΔh
هیدرومتر در تعادل به اندازه وزن ثابت خود، مایع جابهجا میکند؛ بنابراین رابطه مرکزی همه سؤالها mg = ρمایع gVفرورفته است. با افزایش چگالی مایع، حجم فرورفته کم و هیدرومتر بالاتر میرود. برای جسم یکنواخت میتوان از Vفرورفته/Vکل = ρجسم/ρمایع استفاده کرد، اما برای هیدرومتر واقعی که حباب و ساقه همسطحمقطع نیستند باید حجم جابهجاشده را از هندسه هر بخش ساخت. در مقایسه دو مایع، ثابتبودن جرم رابطه ρ₁V₁ = ρ₂V₂ را میدهد. پاسخ را با یکا، جهت حرکت، قرارداشتن نسبت حجمی بین صفر و یک و شناورماندن ابزار کنترل کن.