برای حرکت یکبعدی با شتاب ثابت، ابتدا جهت مثبت محور را انتخاب کن و سرعت و شتاب را با علامت بنویس. سپس معادلهای را بردار که فقط یک مجهول داشته باشد: v = v₀ + at برای ارتباط سرعت و زمان، Δx = v₀t + 1/2 at² برای جابهجایی و زمان، و v² = v₀² + 2aΔx برای ارتباط سرعت و جابهجایی بدون زمان. در مسئله ترمز، شتاب خلاف جهت سرعت است؛ اگر جهت حرکت را مثبت بگیری، a منفی میشود و در لحظه توقف v = 0 است.
اول مطمئن شو شتاب در بازه موردنظر ثابت است
معادلات این راهنما فقط وقتی مستقیماً کاربرد دارند که شتاب در بازه بررسیشده ثابت باشد. ثابتبودن شتاب به معنی ثابتبودن سرعت نیست؛ سرعت در زمانهای مساوی، به اندازههای مساوی تغییر میکند. اگر حرکت چند مرحله دارد، مانند واکنش راننده و سپس ترمز، هر مرحله را جدا مدل کن.
برای یک بازه با شتاب ثابت چهار رابطه پرکاربرد داریم: v = v₀ + at، Δx = v₀t + 1/2 at²، v² = v₀² + 2aΔx و Δx = (v₀ + v)t/2. رابطه آخر از سرعت متوسط در شتاب ثابت به دست میآید و هنگامی مفید است که سرعت ابتدا، سرعت انتها و زمان را داری.
- v₀: سرعت ابتدای بازه
- v: سرعت انتهای بازه
- a: شتاب ثابت
- Δx: جابهجایی در همان بازه
علامت سرعت و شتاب را از روی محور تعیین کن
مثبت و منفیبودن، جهت را نشان میدهد و بهتنهایی درباره تند یا کندشدن چیزی نمیگوید. اگر v و a همعلامت باشند، اندازه سرعت افزایش مییابد؛ اگر خلاف علامت باشند، جسم کند میشود. پس در خودرویی که در جهت مثبت حرکت میکند و ترمز میگیرد، v₀ مثبت و a منفی است.
اگر محور را برعکس انتخاب کنی، هم سرعت و هم شتاب علامتهای دیگری میگیرند، اما پاسخ فیزیکی تغییر نمیکند. خطا زمانی رخ میدهد که قرارداد محور در میانه حل عوض شود یا اندازه شتاب ترمز، مثلاً 5 m/s²، بدون علامت منفی در معادله قرار گیرد.
معادله را با حذف کمیت اضافی انتخاب کن
فهرست دادهها و خواسته را بنویس. اگر جابهجایی در سؤال نیست، v = v₀ + at کوتاهترین انتخاب است. اگر سرعت انتهایی را نمیخواهی یا نداری، از Δx = v₀t + 1/2 at² استفاده کن. اگر زمان داده نشده و خواسته هم نیست، رابطه v² = v₀² + 2aΔx مستقیماً زمان را حذف میکند.
نوشتن همه معادلهها معمولاً حل را مطمئنتر نمیکند؛ فقط مجهولهای بیشتری وارد کار میکند. پس از انتخاب رابطه، واحدها را یکسان کن. بهویژه سرعت km/h را پیش از استفاده با تقسیم بر 3.6 به m/s تبدیل کن.
- بدون جابهجایی: v = v₀ + at
- بدون سرعت انتهایی: Δx = v₀t + 1/2 at²
- بدون زمان: v² = v₀² + 2aΔx
مثال حلشده: زمان و مسافت ترمز یک خودرو
خودرویی با سرعت 72 km/h حرکت میکند و با شتاب ثابت به اندازه 5 m/s² ترمز میگیرد. زمان و مسافت لازم تا توقف را بیاب. جهت حرکت را مثبت میگیریم؛ بنابراین v₀ = 72/3.6 = 20 m/s، شتاب a = −5 m/s² و در توقف v = 0 است.
از v = v₀ + at داریم 0 = 20 − 5t، پس t = 4 s. برای مسافت، رابطه بدون زمان نیز مناسب است: 0² = 20² + 2(−5)Δx. در نتیجه Δx = 40 m.
پاسخ را با سرعت متوسط کنترل میکنیم. در شتاب ثابت، سرعت متوسط برابر (v₀ + v)/2 = 10 m/s است؛ بنابراین Δx = v_avg t = 10 × 4 = 40 m. سازگاری دو روش نشان میدهد علامت شتاب و تبدیل واحد درست بودهاند.
مسافت واکنش را از مسافت ترمز جدا نگه دار
خودرو معمولاً همزمان با دیدن مانع شروع به کاهش سرعت نمیکند. در زمان واکنش، مدل ساده دبیرستانی سرعت را ثابت میگیرد؛ پس d_reaction = v₀t_r. پس از شروع ترمز، d_braking = (v² − v₀²)/(2a) است و برای توقف v = 0 قرار میگیرد. مسافت توقف مجموع این دو است.
اگر خودروی مثال قبل زمان واکنش 0.8 s داشته باشد، پیش از ترمز 20 × 0.8 = 16 m حرکت میکند. با افزودن مسافت ترمز 40 m، مسافت توقف از لحظه دیدن مانع 56 m میشود. زمان توقف کامل نیز 0.8 + 4 = 4.8 s است.
اثر افزایش سرعت بر مسافت توقف را از رابطه بخوان
برای توقف با اندازه شتاب ثابت، d_braking = v₀²/(2|a|) است. بنابراین مسافت ترمز با مربع سرعت اولیه متناسب است: دو برابرشدن سرعت اولیه، در همین مدل، مسافت ترمز را چهار برابر میکند. در مقابل، مسافت واکنش v₀t_r با خود سرعت متناسب است و با دو برابرشدن سرعت، دو برابر میشود.
این مقایسه یک نتیجه از مدل ریاضی با شتاب و زمان واکنش ثابت است. در مسئلههای واقعی عواملی مانند وضعیت سطح، تایر و تغییر شتاب میتوانند نتیجه را عوض کنند؛ در تست، فقط فرضها و دادههای صورت سؤال را وارد محاسبه کن.
پاسخ را با چهار کنترل کوتاه بازبینی کن
یک: سرعت را به واحد سازگار تبدیل کن. دو: توقف را با v = 0 نمایش بده. سه: اگر جهت حرکت مثبت است، برای کاهش سرعت a < 0 بنویس. چهار: اگر مسئله زمان واکنش دارد، آن بخش را با حرکت یکنواخت جداگانه حساب کن.
زمان فیزیکی مرحله پس از آغاز بازه باید نامنفی باشد. مسافت ترمز نیز بهعنوان اندازه، مثبت گزارش میشود. اگر از حل معادله درجهدو دو زمان به دست آمد، هر پاسخ را با بازه زمانی و وضعیت حرکت بسنج؛ ریشهای که به زمانی پیش از شروع بازه مربوط است، پاسخ مسئله نیست.
در حرکت با شتاب ثابت، یک قرارداد علامت را تا پایان حفظ کن و پیش از جایگذاری مشخص کن کدام کمیتها معلوماند. برای ترمز، توقف یعنی v = 0، نه v₀ = 0؛ شتاب نیز در خلاف جهت سرعت علامت میگیرد. زمان واکنش را با حرکت یکنواخت و مرحله ترمز را با معادلات شتاب ثابت جدا حساب کن. در پایان، منفیشدن زمان یا مسافت در مسئلهای که اندازه آن خواسته شده، هشداری برای بازبینی علامتهاست.