حرکت دورانی با شتاب زاویه‌ای ثابت یعنی سرعت زاویه‌ای در بازه‌های زمانی مساوی، به اندازه‌ای برابر تغییر کند. برای حل آن همان الگوی حرکت خطی با شتاب ثابت را به زبان زاویه می‌نویسیم: ω = ω₀ + αt، Δθ = ω₀t + ½αt² و ω² = ω₀² + 2αΔθ. پیش از جای‌گذاری، جهت مثبت چرخش را مشخص کن، همه زاویه‌ها را به رادیان ببر و علامت α را از تندشدن یا کندشدن دوران نسبت به جهت ω تعیین کن.
حرکت دورانی با شتاب زاویه‌ای ثابت را با علامت‌ها مدل کن
یک جسم صلب را در نظر بگیر که حول محوری ثابت می‌چرخد. مکان زاویه‌ای آن θ، تغییر مکان زاویه‌ای آن Δθ = θ − θ₀، سرعت زاویه‌ای آن ω و شتاب زاویه‌ای آن α است. اگر جهت پادساعتگرد را مثبت بگیری، چرخش پادساعتگرد ω مثبت و چرخش ساعتگرد ω منفی دارد. انتخاب جهت مثبت اختیاری است، اما باید تا پایان حل ثابت بماند.
علامت α را از جهت تغییر ω بفهم. اگر جسم در جهت مثبت می‌چرخد و تندتر می‌شود، ω و α هر دو مثبت‌اند؛ اگر همان جسم کند شود، α منفی است. برای چرخش ساعتگرد نیز ممکن است ω منفی و هنگام تندشدن α منفی باشد. بنابراین منفی‌بودن α همیشه به معنی کندشدن نیست؛ مخالف‌علامت‌بودن ω و α نشانه کم‌شدن اندازه سرعت زاویه‌ای است.
- θ و Δθ: رادیان
- ω: رادیان بر ثانیه
- α: رادیان بر مجذور ثانیه
- یک دور کامل: 2π رادیان
سه معادله اصلی حرکت دورانی را از مدل خطی بشناس
برای α ثابت، روابط دورانی دقیقاً هم‌ساخت روابط حرکت خطی با شتاب ثابت‌اند. جای x، v و a به‌ترتیب θ، ω و α می‌نشینند: ω = ω₀ + αt، Δθ = ω₀t + ½αt² و ω² = ω₀² + 2αΔθ. رابطه چهارمِ مفید نیز Δθ = ½(ω₀ + ω)t است، زیرا در شتاب ثابت سرعت زاویه‌ای متوسط برابر میانگین سرعت آغاز و پایان است.
این معادله‌ها فقط وقتی در کل بازه معتبرند که α ثابت باشد. اگر نمودار ω–t خمیده باشد یا شتاب زاویه‌ای با زمان تغییر کند، نمی‌توان یک α ثابت را بی‌بررسی در این روابط گذاشت. در سؤال نموداری، ثابت‌بودن شیب نمودار ω–t همان شرط ثابت‌بودن α است.
- ω = ω₀ + αt
- Δθ = ω₀t + ½αt²
- ω² = ω₀² + 2αΔθ
- Δθ = ½(ω₀ + ω)t
رابطه‌ای را انتخاب کن که داده اضافی نخواهد
به‌جای حفظ‌کردن یک ترتیب ثابت، پنج کمیت θ یا Δθ، ω₀، ω، α و t را فهرست کن. معمولاً سه کمیت معلوم و یک کمیت مجهول‌اند؛ رابطه‌ای را بردار که هر دو را دارد و کمیت پنجمِ نامعلوم در آن دیده نمی‌شود. اگر زمان داده نشده و خواسته هم نیست، رابطه ω² = ω₀² + 2αΔθ مستقیم‌ترین انتخاب است.
اگر جسم از سکون شروع کند، ω₀ = 0 است؛ اما عبارت «در لحظه آغاز مشاهده» الزاماً سکون را نمی‌رساند. همچنین هنگام توقف، سرعت زاویه‌ای نهایی صفر است، نه شتاب زاویه‌ای. جسم می‌تواند در همان لحظه‌ای که ω = 0 می‌شود هنوز α ناصفر داشته باشد و سپس جهت چرخش خود را عوض کند.
مثال حل‌شده: زمان و زاویه توقف یک چرخ را پیدا کن
چرخی با سرعت زاویه‌ای اولیه ω₀ = 20 rad/s در جهت مثبت می‌چرخد و با شتاب زاویه‌ای ثابت α = −5 rad/s² ترمز می‌کند. برای زمان توقف، ω = 0 را در ω = ω₀ + αt می‌گذاریم: 0 = 20 − 5t؛ پس t = 4 s. مثبت‌شدن زمان با انتخاب علامت‌ها سازگار است.
برای زاویه طی‌شده تا توقف می‌توان از رابطه بی‌زمان استفاده کرد: 0² = 20² + 2(−5)Δθ. بنابراین Δθ = 40 rad است. شمار دورها برابر N = Δθ/(2π) ≈ 6.37 دور می‌شود. کنترل دوم از سرعت زاویه‌ای متوسط به دست می‌آید: Δθ = ½(20 + 0)×4 = 40 rad؛ پس دو مسیر یک پاسخ می‌دهند.
- داده‌ها: ω₀ = 20، ω = 0، α = −5
- زمان توقف: 4 s
- زاویه تا توقف: 40 rad
- تعداد چرخش: حدود 6.37 دور
نمودار سرعت زاویه‌ای–زمان را برای کنترل جواب بخوان
در نمودار ω–t، شیب خط برابر α و مساحت علامت‌دار زیر نمودار برابر Δθ است. در مثال ترمز، نمودار از 20 در t = 0 تا صفر در t = 4 یک خط راست است. مساحت مثلث زیر آن ½×4×20 = 40 rad می‌شود؛ همان نتیجه معادله‌ها.
اگر نمودار از محور زمان عبور کند، ω علامت عوض می‌کند و جسم در جهت مخالف می‌چرخد. مساحت بخش زیر محور منفی است و باید در جابه‌جایی زاویه‌ای با علامت منفی جمع شود. برای یافتن کل زاویه پیموده‌شده یا تعداد کل دورها، قدرمطلق مساحت هر بخش را جداگانه جمع کن.
کمیت‌های زاویه‌ای را به حرکت نقطه روی لبه وصل کن
برای نقطه‌ای در فاصله r از محور، طول قوس s = rΔθ، تندی مماسی v = r|ω| و شتاب مماسی a_t = r|α| است. در یک جسم صلب همه نقطه‌ها Δθ، ω و α یکسان دارند، اما نقطه دورتر از محور قوس بلندتر، تندی مماسی بیشتر و شتاب مماسی بزرگ‌تری دارد.
شتاب مماسی را با شتاب مرکزگرا یکی نگیر. حتی اگر α = 0 و دوران یکنواخت باشد، نقطه روی جسم به علت تغییر جهت سرعت، شتاب مرکزگرای a_c = ω²r دارد. در دوران شتاب‌دار معمولاً هر دو مؤلفه a_t و a_c وجود دارند و بر هم عمودند.
چک‌لیست حل تست‌های حرکت دورانی
پیش از محاسبه، جهت مثبت را روی یک شکل کوچک علامت بزن. سپس دور و درجه را به رادیان، rpm را در صورت نیاز به rad/s و زمان‌ها را به ثانیه تبدیل کن. داده‌ها را با علامت بنویس، رابطه کم‌مجهول را انتخاب کن و فقط پس از حل نمادی عددها را قرار بده.
در پایان چهار کنترل انجام بده: آیا α واقعاً ثابت است؟ آیا علامت جواب با جهت چرخش سازگار است؟ آیا تعداد دور از تقسیم رادیان بر 2π به دست آمده؟ آیا نتیجه با نمودار ω–t جور است؟ این کنترل‌ها خطاهای رایجِ حذف علامت، یکی‌گرفتن رادیان و دور و صفرگرفتن اشتباه α در لحظه توقف را آشکار می‌کنند.
- محور و جهت مثبت را تعیین کن.
- واحدهای زاویه و زمان را یکدست کن.
- ω و α را با علامت وارد کن.
- رابطه‌ای را انتخاب کن که کمیت نامعلوم اضافه ندارد.
- جواب را با نمودار و 2π rad = 1 rev کنترل کن.
در حرکت دورانی با شتاب ثابت، ابتدا محور و جهت مثبت را تعیین کن و داده‌ها را با علامت بنویس. سپس رابطه‌ای را انتخاب کن که مجهول را داشته باشد و کمیتِ داده‌نشده را حذف کند: رابطه زمان‌دار برای یافتن وضعیت پس از چند ثانیه و رابطه بی‌زمان برای پیوند سرعت و زاویه. پاسخ را با شیب نمودار ω–t، مساحت زیر آن، تبدیل 2π رادیان به یک دور و سازگاری علامت‌ها کنترل کن. برای ادامه، راهنمای سرعت زاویه‌ای و خطی، لختی دورانی و غلتش بدون لغزش سه پیوند مکمل این مبحث‌اند.