وقتی یک مدار را نتوان فقط با اتصالهای سری و موازی ساده کرد، قانونهای کیرشهف مسیر مستقیم حلاند: در هر گره، مجموع جریانهای ورودی با مجموع جریانهای خروجی برابر است و در هر حلقه بسته، مجموع جبری تغییرات پتانسیل صفر میشود. برای حل، جهت جریان هر شاخه را دلخواه فرض کن، یک معادله مستقل برای گره و معادلههای مستقل حلقه بنویس و دستگاه را حل کن. اگر جریانی منفی شد، اندازه آن درست است و فقط جهت واقعیاش خلاف جهت فرضی توست.
تشخیص بده چه زمانی به قانونهای کیرشهف نیاز داری
اگر همه مقاومتها را بتوان مرحلهبهمرحله به اتصال سری یا موازی تبدیل کرد، روش مقاومت معادل کوتاهتر است. اما در مداری با چند شاخه و چند مولد، ممکن است دو مقاومت نه جریان یکسان داشته باشند و نه به دو گره یکسان وصل باشند؛ در این وضعیت نسبتدادن سری یا موازی به آنها اشتباه است و باید معادلههای مدار را بنویسی.
شاخه بخشی از مدار میان دو گره اصلی است و جریان یکتایی دارد. گره محل پیوند چند شاخه و حلقه هر مسیر بسته در مدار است. پیش از فرمولنویسی، گرههای اصلی را علامت بزن و برای جریان هر شاخه نمادی مانند I₁، I₂ و I₃ انتخاب کن؛ این کار تعداد مجهولها را روشن میکند.
- سری: دو عنصر جریان یکسان دارند و گره میان آنها انشعاب ندارد.
- موازی: دو عنصر دقیقاً میان دو گره یکسان قرار دارند.
- مدار پلدار یا چندمولدی معمولاً به معادلههای کیرشهف نیاز دارد.
قانون گره را با جهت جریانها بنویس
بار الکتریکی در یک گره انباشته نمیشود؛ بنابراین مجموع جریانهای واردشونده به گره با مجموع جریانهای خارجشونده برابر است. اگر I₁ وارد گره و I₂ و I₃ از آن خارج شوند، معادله گره I₁ = I₂ + I₃ است. میتوان همه جملهها را نیز به یک طرف برد و با یک قرارداد علامت ثابت نوشت.
جهت جریانها را لازم نیست از ابتدا حدس درست بزنی. فلشها را دلخواه اما واضح رسم کن و تا پایان به همان قرارداد وفادار بمان. پاسخ منفی برای I₂ یعنی جریان واقعی به اندازه قدرمطلق جواب، خلاف فلش I₂ حرکت میکند. جهت را وسط محاسبه عوض نکن، چون علامت معادلههای دیگر را نیز به هم میزند.
علامت مقاومت و مولد را در قانون حلقه تعیین کن
یک جهت پیمایش برای حلقه انتخاب کن. هنگام عبور از مقاومت در جهت جریان فرضی، پتانسیل به اندازه IR کم میشود و جمله −IR است؛ اگر خلاف جریان از مقاومت بگذری، تغییر پتانسیل +IR خواهد بود. این علامت به جهت پیمایش نسبت به جریان وابسته است، نه به چپ یا راست بودن مقاومت در شکل.
برای مولد آرمانی، عبور از پایانه منفی به پایانه مثبت افزایش پتانسیل +ε و عبور از مثبت به منفی کاهش −ε میدهد. سپس همه تغییرات پتانسیل مسیر بسته را جمع و برابر صفر قرار بده. میتوان جهت پیمایش هر حلقه را مستقل انتخاب کرد؛ انتخاب دیگر فقط شکل معادله را تغییر میدهد، نه پاسخ فیزیکی را.
- مقاومت، همجهت جریان: −IR؛ خلاف جریان: +IR.
- مولد، از منفی به مثبت: +ε؛ از مثبت به منفی: −ε.
- پس از یک دور کامل: مجموع جبری تغییرات پتانسیل برابر صفر.
مثال حلشده: دو حلقه با یک مقاومت مشترک
دو حلقه کنار هم یک مقاومت مشترک ۲ اهمی دارند. در شاخه چپ، مولد ۱۰ ولتی و مقاومت ۲ اهمی و در شاخه راست، مولد ۴ ولتی و مقاومت ۲ اهمی قرار دارد؛ پایانه مثبت هر دو مولد در بالاست. جریانهای حلقهای I₁ و I₂ را هر دو ساعتگرد فرض میکنیم. در مقاومت مشترک، این دو جریان خلاف جهت یکدیگرند، پس جریان رو به پایین آن را I₁ − I₂ میگیریم.
برای حلقه چپ مینویسیم 10 − 2I₁ − 2(I₁ − I₂) = 0، پس 4I₁ − 2I₂ = 10. برای حلقه راست داریم −4 − 2I₂ + 2(I₁ − I₂) = 0، پس 2I₁ − 4I₂ = 4. با حل دستگاه، I₁ = 8/3 A و I₂ = 1/3 A به دست میآید؛ بنابراین جریان مقاومت مشترک I₁ − I₂ = 7/3 A و رو به پایین است.
برای کنترل، در حلقه چپ افزایش ۱۰ ولتی باید با افتهای 2×(8/3) و 2×(7/3) برابر باشد: مجموع این دو افت 10 V است. در حلقه راست نیز علامت مولد را بر اساس جهت پیمایش نوشتهایم؛ کنترل عددی حلقه، خطای علامت را سریع آشکار میکند.
فقط معادلههای مستقل را انتخاب کن
تعداد معادلههای مستقل باید با تعداد مجهولها برابر باشد. نوشتن قانون گره برای همه گرهها معمولاً یک معادله تکراری تولید میکند؛ همچنین حلقه بزرگ بیرونی ممکن است از جمع یا تفریق دو حلقه کوچک به دست آید. چنین معادلهای اطلاعات تازهای نمیدهد، حتی اگر از نظر فیزیکی درست باشد.
یک روش عملی این است که ابتدا برای جریان شاخهها مجهول تعریف کنی، به تعداد لازم معادله گره بنویسی و بقیه را با حلقههای کوچک مستقل کامل کنی. اگر از جریان حلقهای استفاده میکنی، جریان عنصر مشترک را جمع یا تفاضل جریانهای حلقهای قرار بده؛ جهت فلشها تعیین میکند کدام حالت درست است.
مقاومت داخلی باتری و دستگاه اندازهگیری را وارد مدار کن
باتری واقعی را میتوان مولدی با نیروی محرکه ε و مقاومت داخلی r در سری با آن مدل کرد. در قانون حلقه، مقاومت داخلی نیز مانند هر مقاومت دیگر افت ±Ir میسازد. علامت جمله مولد همچنان از پایانههایی میآید که هنگام پیمایش از آنها عبور میکنی. برای تفاوت حالت شارژ و دشارژ، راهنمای نیروی محرکه و مقاومت داخلی باتری را ببین.
آمپرسنج آرمانی را شاخهای با مقاومت صفر و ولتسنج آرمانی را شاخهای با مقاومت بینهایت در نظر بگیر. پس ولتسنج جریان شاخه تازهای به معادله گره اضافه نمیکند، اما آمپرسنج باید در جریان همان شاخه حساب شود. مقاله اتصال آمپرسنج و ولتسنج، روش جایگذاری این ابزارها را با مثال توضیح میدهد.
مسیر حل مدار چندحلقهای را در شش گام اجرا کن
یک: گرهها و شاخهها را مشخص کن. دو: برای هر جریان مجهول یک فلش بکش. سه: قانون گره را با جریانهای ورودی و خروجی بنویس. چهار: جهت پیمایش حلقههای مستقل را تعیین کن و علامت هر تغییر پتانسیل را همان لحظه ثبت کن. پنج: دستگاه معادلهها را بدون تغییر قرارداد حل کن. شش: جواب را در قانون گره و یکی از حلقهها جایگذاری و واحد آمپر را کنترل کن.
سه دام رایج عبارتاند از سری دانستن مقاومتهایی که گره میانیشان انشعاب دارد، منفی دانستن همیشگی جمله مقاومت بدون توجه به جهت پیمایش، و حذف جواب منفی جریان. اگر مدار با سری و موازی ساده میشود، ابتدا راهنمای مدارهای الکتریکی را مرور کن؛ قانونهای کیرشهف ادامه همان گرهخوانی دقیق برای مدارهای حلنشدنی با مقاومت معادل سادهاند.
- جهت فرضی جریان میتواند دلخواه باشد؛ قرارداد باید ثابت بماند.
- منفیشدن جریان فقط جهت واقعی را اصلاح میکند.
- کنترل قانون گره، پایستگی بار را میسنجد.
- کنترل قانون حلقه، پایستگی انرژی را میسنجد.
در مدار چندحلقهای، ابتدا شاخهها و گرهها را مشخص و برای هر شاخه یک جهت جریان فرض کن. قانون گره از پایستگی بار و قانون حلقه از پایستگی انرژی میآید. هنگام پیمودن حلقه، عبور همجهت جریان از مقاومت تغییر پتانسیل −IR و عبور از پایانه منفی به مثبت مولد تغییر +ε دارد. فقط معادلههای مستقل را بنویس، دستگاه را همراه واحد حل کن و علامت منفی جریان را بهعنوان اصلاح جهت تفسیر کن، نه نشانه خراببودن پاسخ.