برای تعیین جهت حرکت قرقرهای که نخ از هسته داخلی آن باز میشود، گشتاور نیروی کشش را حول نقطه تماس قرقره با زمین بررسی کن. وزن، نیروی عمودی سطح و اصطکاک نسبت به این نقطه گشتاور ندارند؛ پس جهت گشتاور کشش، جهت شتاب زاویهای و غلتش را مشخص میکند. در آرایش رایج این مقاله، نخ از زیر هستهای با شعاع r خارج شده، نیروی F با زاویه θ بالای افق وارد میشود و شعاع بیرونی قرقره R است. حالت مرزی وقتی رخ میدهد که خط اثر F از نقطه تماس بگذرد: cosθc = r/R. برای θ < θc قرقره در جهت کشیدن نخ و برای θ > θc در خلاف آن میغلتد؛ این نتیجه به برقرارماندن غلتش بدون لغزش وابسته است.
آرایش قرقره و زاویه نخ را دقیق تعریف کن
قرقره روی سطح افقی زبری قرار دارد. شعاع تماس بیرونی R و شعاع هستهای که نخ دور آن پیچیده r است؛ پس 0 < r < R. سر آزاد نخ از زیر هسته بیرون میآید و به سمت راست و بالا کشیده میشود. θ زاویه نیروی کشش با افق است، نه با قائم یا شعاع محل تماس نخ.
عبارت «نخ از زیر هسته خارج میشود» ضروری است. اگر نخ از بالای هسته باز شود، جای خط اثر نیرو عوض میشود و نباید نتیجه زاویه بحرانی این آرایش را بیبررسی منتقل کرد. پیش از هر فرمول، R، r، نقطه تماس با زمین و خط مستقیم امتداد نخ را روی شکل علامت بزن.
- R: شعاع بیرونی قرقره
- r: شعاع هسته داخلی
- θ: زاویه نخ با افق
- فرض حرکتی: غلتش بدون لغزش
گشتاور را حول نقطه تماس با زمین بسنج
در غلتش خالص، نقطه تماس در همان لحظه نسبت به زمین ساکن است و انتخاب آن بهعنوان محور، تشخیص جهت را کوتاه میکند. وزن از خط قائم مرکز میگذرد که به تماس میرسد؛ نیروی عمودی سطح و اصطکاک نیز در تماس وارد میشوند. بنابراین گشتاور هر سه نیرو حول این نقطه صفر است و فقط خط اثر F جهت گشتاور کل را تعیین میکند.
نیروی مرکزگرا یا عبارت ma را نیروی تازهای روی نمودار جسم آزاد نکش. نیروهای واقعی همان وزن، نیروی عمودی، اصطکاک و کششاند. همچنین صفرشدن گشتاور اصطکاک حول تماس به معنی صفر بودن خود اصطکاک نیست؛ اصطکاک میتواند برای برقرارکردن قید غلتش لازم باشد.
زاویه بحرانی را از خط اثر نیرو بساز
مرز تغییر جهت زمانی است که خط اثر F دقیقاً از نقطه تماس با زمین بگذرد؛ در این وضعیت بازوی عمود نیرو نسبت به تماس صفر است. فاصله عمودی مرکز قرقره تا زمین R است و فاصله عمود مرکز تا خط مماس نخ r. هندسه مثلث قائم میدهد r = R cosθc و در نتیجه cosθc = r/R.
چون r/R بین صفر و یک است، زاویه بحرانی وجود دارد. برای θ < θc، خط اثر در سمتی قرار میگیرد که گشتاور، قرقره را به سمت راست یعنی همجهت مؤلفه افقی کشش میغلتاند. برای θ > θc، علامت گشتاور عوض میشود و قرقره با وجود کشیدهشدن نخ به راست، به چپ شتاب میگیرد.
- حالت بحرانی: خط اثر F از تماس میگذرد.
- رابطه هندسی: cosθc = r/R
- زاویه کمتر: حرکت همجهت کشش
- زاویه بیشتر: حرکت خلاف جهت کشش
مثال حلشده: قرقره با شعاعهای ۵ و ۱۰ سانتیمتر
قرقرهای با شعاع بیرونی R = 10 cm و شعاع هسته r = 5 cm روی سطح زبر بدون لغزش حرکت میکند. نخ از زیر هسته باز شده است. جهت شتاب قرقره را برای θ = 30°، θ = 60° و θ = 75° تعیین کن.
نسبت شعاعها r/R = 0.50 است؛ پس cosθc = 0.50 و θc = 60° میشود. در 30 درجه، θ < θc است و قرقره به سمت راست، همجهت کشیدن نخ، شتاب میگیرد. در 75 درجه، θ > θc است و قرقره به سمت چپ حرکت آغاز میکند.
در 60 درجه خط اثر کشش از نقطه تماس میگذرد و گشتاور کشش حول تماس صفر است؛ در مدل آرمانی شتاب غلتشی صفر میشود. این حالت را با F cosθ = 0 اشتباه نگیر: مؤلفه افقی نیرو صفر نیست، اما اثر انتقالی و دورانی نیرو همراه با اصطکاک ایستایی به حالت مرزی میرسد.
اگر اندازه شتاب خواسته شد، سه معادله را کنار هم بنویس
برای محاسبه عددی شتاب، راست را مثبت و پادساعتگرد را مثبت بگیر. معادله انتقالی افقی F cosθ + f = ma است. برای دوران حول مرکز، گشتاور کشش و اصطکاک را با جهت واقعی شکل در Στ_cm = I_cmα وارد کن. سپس شرط غلتش بدون لغزش را با همان قرارداد علامت، a = −αR، اضافه کن.
حل این دستگاه مقدار و علامت a و اصطکاک لازم f را میدهد. جهت اصطکاک را از ابتدا حدس قطعی نزن؛ f را با یک جهت فرضی وارد کن و علامت جواب را تفسیر کن. در پایان باید |f| ≤ μsN و N = mg − F sinθ برقرار باشد. اگر N نامثبت شود یا اصطکاک لازم از بیشینه بگذرد، مدل تماس و غلتش خالص معتبر نیست.
مسیر حل پنجگامی را در تست اجرا کن
یک: محل خروج نخ و تعریف θ را از شکل بخوان. دو: نقطه تماس را محور بگیر و خط اثر کشش را امتداد بده. سه: اگر فقط جهت خواسته شده، جای خط نسبت به تماس یا مقایسه θ با arccos(r/R) کافی است. چهار: اگر شتاب یا اصطکاک خواسته شده، معادله انتقالی، معادله دورانی و قید غلتش را حل کن. پنج: تماس و شرط اصطکاک ایستایی را کنترل کن.
میانبُر زاویه بحرانی به جرم، اندازه F و ممان لختی وابسته نیست، زیرا فقط از صفرشدن بازوی گشتاور و هندسه ساخته شده است. این استقلال به معنی بیاثر بودن این کمیتها بر اندازه شتاب نیست؛ آنها در حل کامل دینامیکی حضور دارند.
چهار دام رایج مسئله قرقره را حذف کن
نخست، گشتاور را فقط حول مرکز نگیر و سپس جهت اصطکاک را حدس نزن؛ محور تماس برای پرسش جهت روشنتر است. دوم، r و R را جابهجا نکن. سوم، زاویه با افق را بهجای زاویه با قائم نخوان. چهارم، اصطکاک را الزاماً خلاف جهت حرکت مرکز جرم رسم نکن؛ اصطکاک ایستایی خلاف تمایل لغزش نقطه تماس است، نه لزوماً خلاف حرکت کل جسم.
نتیجه cosθc = r/R مخصوص آرایش تعریفشده و تماسِ بدون لغزش است. اگر سطح صاف باشد، نخ بلغزد، قرقره از زمین جدا شود یا محل خروج نخ عوض شود، باید نمودار و معادلهها را از نو ساخت. برای پیشنیاز، راهنمای غلتش بدون لغزش و مقاله گشتاور را بخوان؛ راهنمای اصطکاک نیز آزمون |f| ≤ μsN را تکمیل میکند.
- خط اثر نیرو را رسم کن، نه فقط پیکان کوتاه آن را.
- صفر بودن گشتاور حول تماس، صفر بودن نیرو نیست.
- علامت اصطکاک را از جواب معادله بخوان.
- اعتبار غلتش را پس از حل بررسی کن.
در مسئله قرقره و نخ، نقطه تماس با زمین را محور لحظهای گشتاور بگیر. خط اثر نیروی کشش را امتداد بده: عبور آن از یک سوی نقطه تماس قرقره را همجهت نیرو و عبور از سوی دیگر آن را خلاف جهت نیرو میغلتاند؛ عبور دقیق از تماس حالت بحرانی است. برای نخی که از زیر هسته باز میشود، cosθc = r/R. این معیار فقط جهت شتاب را میدهد؛ برای مقدار شتاب باید معادلههای انتقالی و دورانی و شرط a = αR را با قرارداد علامت سازگار حل کنی و در پایان کافیبودن اصطکاک ایستایی را بیازمایی.